专题14+函数++函数与方程-2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试

专题14+函数++函数与方程-2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试

‎2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试　‎ ‎14 函数 函数与方程 ‎ ‎ 【考点讲解】‎ 一、 具本目标： 了解函数的零点与方程根的个数问题，函数的图象与x轴交点的横坐标之间的关系；‎ 掌握二分法求方程的近似解；在高中本节主要是研究函数零点个数以及判断函数零点的范围.‎ 考纲要求及重点：1.判断函数零点所在的区间 ；2.二分法求相应方程的近似解 ；‎ 3. 备考重点：函数的零点与方程根的分布问题、函数的性质等相结合求解参数问题，更出现了和导数融合的综合性问题.‎ ‎4.函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．‎ 二、知识概述：‎ ‎1.函数的零点：‎ ‎ (1)函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.‎ ‎(2)函数零点与方程根的关系 方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.‎ ‎2.零点存在性定理：如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间（a，b）内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.‎ ‎3.“二分法”的基本内涵是：把函数f(x)的零点所在的区间[a，b]（满足f(a)·f(b)＜0） “一分为二”：[a，m]、[m，b]，根据“f(a)·f(m)＜0”是否成立，取出新的零点所在的区间仍记为[a，b]；将所得的区间 ‎[a，b]重复上述的步骤，直到含零点的区间[a，b] “足够小”，使这个区间内的数作为方程的近似解满足给定的精确度d(即)．‎ ‎4.利用函数处理方程解的问题，方法如下： ‎ ‎(1)方程f(x)＝a在区间I上有解⇔a∈{y|y＝f(x)，x∈I}⇔y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有交点．‎ ‎(2)方程f(x)＝a在区间I上有几个解⇔y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有几个交点．‎ 一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答．‎ ‎5.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：‎ ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎【真题分析】‎ ‎1.【2018年理新课标I卷】已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）‎ A ‎，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.‎ ‎【答案】C ‎2.【2018年浙江卷】已知λ∈R，函数，当时，不等式的解集是___________．若函数恰有2个零点，则的取值范围是___________．‎ ‎【解析】本题考点是不等式组的求解以及分段函数的零点问题.‎ 由题意可得：或解得，所以不等式 的解集为.‎ 当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.‎ ‎【答案】， ‎ 3． ‎【2018年理数天津卷】已知，函数，若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.‎ 当时，方程，也就是，整理可得，很明显可知不是方程的实数解，有，设，其中 ‎，，原问题等价于函数与函数有两个不同的的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图 象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.‎ ‎【答案】‎ 法二：当时，方程，也就是，整理可得，很明显可知不是方程的实数解，有.设，则，由 可得，函数递增，可得，函数递减，所以当时，取得极小值为.‎ 当时，方程，也就是，整理可得，很明显可 知不是方程的实数解，有，设，则，由 可得，函数递增，可得，函数递减，所以当 时，取得极小值为.要使恰有2个互异的实数解，结合图象则的取值范围是 ‎.‎ ‎【答案】‎ ‎4．【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．‎ ‎【答案】–3‎ ‎5.【2018年全国卷Ⅲ理】函数在的零点个数为________．‎ ‎【解析】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，由题意可知，则有，可得此时都有，所以函数在的零点个数有3个.‎ ‎【答案】3‎ ‎6.【2016天津理】已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在上单调递减，且关于x的方程│f(x)│=2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）‎ A.（0，] B.[，] C.[，]{} D.[，）{}‎ ‎【解析】本题考点是函数性质综合应用，由在上单调递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的取值范围是，故选C.‎ ‎【答案】C ‎7.【2016届宁夏银川一中】已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应表 x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ f(x)‎ ‎136.13‎ ‎15. 552‎ ‎－3.92‎ ‎10.88‎ ‎－52.488‎ ‎－232.064‎ 则函数f(x)存在零点的区间有(　　)‎ A．区间[1,2]和[2,3] B．区间[2,3]和[3,4]‎ C．区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]‎ ‎8.【2014山东高考】已知函数若方程 ‎ 有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】由已知，函数 的图象有两个公共点，画图可知当直线介于之间时，符合题意，故选B.‎ ‎【答案】B ‎【模拟考场】‎ ‎1.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)‎ A．0　　　 B．1　　 　C．2　　 　D．3‎ ‎【解析】因为f′(x)＝2xln2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点． ‎