2017-2018学年北京市第101中学高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

2017-2018学年北京市第101中学高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）‎ 一、选择题共8小题，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1. 三条直线l1，l2，l3的位置如图所示，它们的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是（ ）‎ A. k1>k2>k3 B. k1> k3> k2 C. k3> k2> k1 D. k2> k3> k1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图形可得：三条直线l1，l2，l3的倾斜角 满足： ‎ 所以k2> k3> k1‎ 故选D ‎ ‎2. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据向量加法的运算法则：三角形法则、平行四边形法则，可以得到：‎ 考点：空间向量的表示；‎ ‎3. 过点（-l，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程是（ ）‎ A. x-2y-5=0 B. x-2y+7=0 C. 2x+y-1=0 D. 2x+y-5=0‎ ‎【答案】B ‎【解析】与直线x-2y+3=0平行的直线可设为x-2y+C=0因为直线过（-l，3）所以C=7‎ 故所求直线为x-2y+7=0‎ 故选B ‎4. 已知球O与正方体各棱均相切，若正方体棱长为，则球O的表面积为（ ）‎ A. B. 2 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】C 故选C ‎5. 在下列命题中：‎ ‎①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；‎ ‎②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；‎ ‎③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；‎ ‎④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x，y，z，使得。‎ 正确命题的个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎6. 如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos（，）的值为（ ）‎ A. B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 故选B ‎7. 如图，点O为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心，点E为面B'BCC'的中心，点F为B'C'的中点，则空间四边形D'OEF在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知光线从上向下照射，得到C， 光线从前向后照射，得到A 光线从左向右照射得到B 故选D 点睛：本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查正方体的性质，本题是一个基础题，是为后面学习三视图做准备，告诉我们从三个不同的角度观察图形结果不同．‎ ‎8. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意可知，小圆总与大圆相内切，且小圆总经过大圆的圆心，设某时刻两圆相切于点，此时动点所处位置为点，则大圆圆弧与小圆点转过的圆弧相等，以切点在如图上运动为例，记直线与此时小圆的交点为，记 ‎，则，故，大圆圆弧的长为，小圆圆弧的长为 ，即，所以小圆的两段圆弧与圆弧长相等，故点与点重合，即动点在线段上运动，同理可知，此时点在线段上运动，点在其他象限类似可得，、的轨迹为相互垂直的线段；观察各选项，只有选项A符合，故选A.‎ 考点：1、动态分析的方法；2、弧长公式．‎ ‎【思路点睛】本题主要考查动态分析的方法及弧长公式，属于难题.根据已知直径为的小圆沿着直径为的大圆内壁的逆时针方向滚动，和是小圆的一条固定直径的两个端点，画出运动状态下某个位置的图象分析滚动过程中，设出，及点运动过程中的点，根据大圆和小圆上的弧相等得到与重合，进而得到的运动轨迹.‎ 二、填空题共6小题，共30分。‎ ‎9. 若直线ax+4y-l=0与2x-5y+6=0互相垂直，则a的值为__________。‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】直线ax+4y-l=0与2x-5y+6=0互相垂直，所以 ‎ 故答案为10 ‎ ‎10. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截的弦长为__________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过原点且倾斜角为60°的直线方程为 则圆心 到直线的距离为 又半径为 所以弦长为 ‎ 故答案为 ‎11. 正四面体棱长为，则它的体积是_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，‎ 正四面体S-ABC的棱长为， 取BC中点D，连结AD，过S作SO⊥底面ABC，交AD于O， 则AO=∴正四面体的体积： V=×S△ABC×SO = ‎ 故答案为 ‎12. 若直线（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-l与直线2x-3y=5平行，则m的值是_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-l与直线2x-3y=5平行，则（2m2+m-3）=（m2-m） 解得或 检验当时直线（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-l不存在，舍去；当时符合题意 故答案为 ‎13. 如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵在一个60°的二面角的棱上， 有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段， 且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为 ‎14. 在如图所示的棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是_________；截得的平面图形中，面积最大的值是________。‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】截得的三角形中面积最大是以正方体的表面正方形的对角线所构成的等边三角形，如图中的△A1C1B， ∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2， ∴A1C1=C1B=A1B=2∴S△A1C1B=如图平面α截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中MN=2截面面积S=2× ‎ 故答案为 (1). (2). ‎ 点睛：本题考查了正方体的截面图形的面积计算，关键是判断截面的形状，根据形状计算面积．‎ 三、解答题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎15. 已知圆C经过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且圆心在x轴上。‎ ‎（1）求直线PQ的方程；‎ ‎（2）圆C的方程；‎ ‎（3）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程。‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）或 ‎【解析】试题分析：（1）根据直线方程的点斜式求解所求的直线方程（2）根据待定系数法设出圆心坐标和半径，寻找未知数之间的关系是求圆的方程的关键，注意弦长问题的处理方法； （3）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍．‎ 试题解析：‎ ‎（1）直线PQ的方程为x+y-2=0。‎ ‎（2）C在PQ的中垂线 即 设 由题意有或 （舍去），或（舍去）∴圆C的方程为（x-1）2+y2=13．‎ ‎（3）设直线l的方程为y=-x+m，A（x1，m-x1），B（x2，m-x2），‎ 由题意可知OA⊥OB，即·=0，‎ 所以x1x2+（m-x1）（m-x2）=0，‎ 化简得2x1x2-m（x1+x2）+m2=0。（*）‎ 由得2x2-2（m+1）x+m2-12=0，‎ 所以x1+x2=m+1，x1x2=。‎ 代入（*）式，得m2-12-m·（m+1）+m2=0，‎ 所以m=4或m=-3，经检验都满足判别式>0，‎ 所以直线l的方程为x+y-4=0或x+y+3=0。‎ ‎16. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点。‎ ‎（1）求证：PA⊥BD；‎ ‎（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积。‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（Ⅱ）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（Ⅲ）由即可求解.‎ 试题解析:（I）因为，，所以平面，‎ 又因为平面，所以.‎ ‎（II）因为，为中点，所以，‎ 由（I）知，，所以平面.‎ 所以平面平面.‎ ‎（III）因为平面，平面平面，‎ 所以.‎ 因为为的中点，所以，.‎ 由（I）知，平面，所以平面.‎ 所以三棱锥的体积.‎ ‎【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直.‎ ‎17. 已知圆M：x2+（y-2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点。‎ ‎（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；‎ ‎（2）求四边形QAMB面积的最小值；‎ ‎（3）若|AB|=，求直线MQ的方程。‎ ‎【答案】（1）和；（2）；（3）或 ‎ ‎【解析】试题分析：（1）讨论直线的斜率是否存在，根据圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率； （2）根据面积公式可知MQ最小时，面积最小，从而得出结论； （3）根据切线的性质列方程取出MQ的值，从而得出Q点坐标，进而求出直线MQ的方程．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，‎ 则圆心M到切线的距离为1，‎ 所以，所以m=或0，‎ 所以QA，QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=1。‎ ‎（2）因为MA⊥AQ，所以S四边形MAQB=|MA|·|QA|=|QA|=。 ‎ 所以四边形QAMB面积的最小值为。 ‎ ‎（3）设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，‎ 所以|MP|=。 ‎ 在Rt△MBQ中，|MB|2=|MP||MQ|，‎ 即1=|MQ|，所以|MQ|=3，所以x2+（y-2）2=9。 ‎ 设Q（x，0），则x2+22=9，所以x=±，所以Q（±，0），‎ 所以MQ的方程为2x+y+2=0或2x-y-2=0。‎ ‎18. 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点。‎ ‎（1）求证：B1C∥平面A1BD；‎ ‎（2）求二面角A1-BD-A的大小； ‎ ‎（3）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由。‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）连结AB1交A1B于M，连结B1C，DM，由已知条件得四边形AA1B1B是矩形，由三角形中位线能证明B1C∥平面A1BD．（2）作CO⊥AB于O，建立空间直角坐标系O-xyz．利用向量法能求出二面角A1-BD-A的大小．（3）设E（1，x，0），求出平面B1C1E的法向量，利用向量法能求出存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，且AE＝‎ 试题解析：‎ ‎（1）连结AB1交A1B于M，连结DM，‎ 因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，‎ 所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为AB1的中点。 ‎ 因为D是AC的中点，所以MD是三角形AB1C的中位线，‎ 所以MD∥B1C。 ‎ 因为MD平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD。 ‎ ‎（2）作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB1A1，‎ 所以在正三棱柱ABC-A1B1C1中如图建立空间直角坐标系O-xyz。 ‎ 因为AB=2，AA1=，D是AC的中点。 ‎ 所以A（1，0，0），B（-l，0，0），C（0，0，），A1（1，，0），‎ 所以D（，0，），=（，0，），=（2，，0）。 ‎ 设n=（x，y，z）是平面A1BD的法向量，‎ 所以即，令x=-，则y=2，z=3，‎ 所以n=（-，2，3）是平面A1BD的一个法向量。‎ 由题意可知=（0，，0）是平面ABD的一个法向量，‎ 所以cos==。‎ 由题知二面角A1-BD-A为锐角，所以它的大小为。‎ ‎（3）设E（1，x，0），则=（1，x-，-），=（-1，0，-），‎ 设平面B1C1E的法向量m=（x1，y1，z1），‎ 所以即令z1=-，则x1=3，y1=，‎ m=（3，，-），又m·n=0，即-3+-3=0，解得x=，‎ 所以存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且AE=。‎ 点睛：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足条件的点判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，注意计算的准确性.‎ ‎ ‎