黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（文）试题

黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（文）试题

哈三中2019-2020学年度上学期高二学年 第一次阶段性测试数学(文科)试卷 考试说明:‎ ‎（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间为90分钟；‎ ‎（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．‎ 第Ⅰ卷 （选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知点，则直线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入直线的两点式方程:,即可的到直线的方程.‎ ‎【详解】 直线的两点式方程为:‎ 代入得: ‎ 整理得直线的方程是: .‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了直线的两点式方程,掌握直线的两点式方程是解题关键.‎ ‎2.已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用余弦定理以及椭圆的定义可得，再由三角形面积公式:即可求得的面积.‎ ‎【详解】在中，根据余弦定理得:‎ 即┄①‎ ‎ 由椭圆的定义得: ‎ 故:‎ 整理得:┄②‎ 由①②得 ‎ ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的方程、椭圆的定义以及余弦定理的应用,能够掌握椭圆知识和余弦定理基础上,灵活使用是解题的关键.‎ ‎3.已知两条直线： ， ： 平行，则（ ）‎ A. -1 B. 2 C. 0或-2 D. -1或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由两直线平行，且直线的斜率存在，所以，他们的斜率相等，解方程求a．‎ 解：因为直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0的斜率存在，‎ 又∵l1∥l2，‎ ‎∴，‎ ‎∴a=﹣1或a=2，两条直线在y轴是的截距不相等，‎ 所以a=﹣1或a=2满足两条直线平行．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查两直线平行的性质，当两直线的斜率存在且两直线平行时，他们的斜率相等，注意截距不相等．‎ ‎4.如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围。‎ ‎【详解】转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A.‎ ‎【点睛】本题考查了焦点在轴上的椭圆的方程特征、解分式不等式.‎ ‎5.方程，化简的结果是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由所给方程,可知动点到定点和 距离和是定值,根据椭圆的定义可知其轨迹是椭圆,即可求出椭圆的,进而得到答案.‎ ‎【详解】根据两点间的距离公式可得: 表示点与点的距离,‎ 表示点与点距离.‎ 所以原等式化简为 因为 所以由椭圆的定义可得:点的轨迹是椭圆: ‎ 根据椭圆中:,得:‎ 所以椭圆的方程为: .‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了由椭圆的几何意义来求椭圆方程,能理解椭圆定义是解本题关键.‎ ‎6.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为 ‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 绘制不等式组表示的可行域如图所示，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点处取得最小值.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎7.已知点A(2, 3)，B(－3, －2)，若直线l过点P(1, 1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）‎ A. k≥2或k≤ B. ≤k≤2 C. k≥ D. k≤2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，，结合图象可知，当或时，则直线与线段相交，故选A．‎ 考点：直线的斜率．‎ ‎8.与椭圆有相同离心率，且过点的椭圆的标准方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知椭圆的方程:,求得的其离心率为 ,即所求的椭圆离心率也是.再设所求椭圆方程为,其离心率,焦点可以在轴上,也可以在轴上,分两种情况求解.在建立关于的方程组，解之即可得到的值，从而得到所求椭圆的方程.‎ ‎【详解】 ,求得其离心率为.‎ 设所求椭圆方程为:‎ 根据题意可知离心率为 ‎⒈当焦点在轴上时:此时 ‎ ‎ 椭圆的离心率为,得: 即:┄① ‎ 将点代入 得: ┄②‎ 联立①②得 解得 ‎ 所以椭圆方程为: .‎ ‎⒉当焦点在轴上时: ‎ ‎ 椭圆的离心率为,得: 即:┄①‎ 将点代入 得: ┄②‎ 联立①②得 解得 ‎ 所以椭圆方程为: ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了求椭圆标准方程.当给定了椭圆离心率和过一定点,这时要分两种情况,即焦点可以在轴上,也可以在轴上,需分两种情况求解.‎ ‎9.若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由曲线方程得出该曲线为半圆,画出图像,然后根据图像可得,直线和曲线相切时的斜率有最大值,经过点时有最小值．‎ ‎【详解】曲线方程可化为: ‎ 其轨迹为轴上方的半圆,圆心为,半径 直线l的方程为: 即 ‎ 画出曲线方程和图像:‎ 当直线与半圆相切时: ,整理可得:‎ 即: 解得:或(舍去不符合题意)‎ 当直线经过点时，直线时斜率最小.此时k ‎ 所以直线的斜率的取值范围: .‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和直线的斜率.使用数形结合,抓住临界位置是解题关键.‎ ‎10.已知点，，若点在圆上运动，则面积的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先把圆的方程化为标准方程,求出圆心和半径.经分析,当面积的最小值,即求出圆上的点到直线的最小值,最小值为,由点到直线的距离公式即可求出,即可求得面积的最小值.‎ ‎【详解】圆的方程,得 圆的圆心,圆的半径 由,得 直线的方程为,即 ‎ 点到直线的距离: ‎ 直线与给定的圆相离,圆上的点到直线的距离的最小值 又 ‎ ‎.‎ ‎ 面积的最小值为:.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆方程的应用,‎ 解题的关键是掌握直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式,通过数形结合求解.‎ ‎11.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离等于,由能求出半径的取值范围.‎ ‎【详解】根据点到直线的距离公式 ‎ ‎ 圆心到直线的距离等于: ‎ 由 解得 ‎ 半径的取值范围是:.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系问题,画出圆和直线的几何图像,用采用数形结合是解题关键.‎ ‎12.已知是椭圆C：的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接,,先利用三角形中位线定理证明,,而即为圆的半径,‎ 从而得焦半径,再利用椭圆的定义,得,最后利用直线与圆相切的几何性质,证明,从而在三角形中利用勾股定理得到间的等式,进而计算离心率.‎ ‎【详解】‎ 如图: 连接,,点为线段的中点,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由椭圆定义得: 即 线段与圆相切于点 ‎ ‎ ‎ 且 即: ‎ ‎ ‎ ‎ 故选: C.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义及其运用,直线与圆的位置关系,椭圆的几何性质及离心率的求法.掌握椭圆基础知识和数形结合是本题的关键.‎ 第Ⅱ卷 （非选择题，共60分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 将直线的方程整理成直线的标准形式,求两定直线的交点,此点即为直线恒过的定点.‎ ‎【详解】直线 可化为:‎ 当: 解得 ‎ ‎ 直线恒过一个定点为:.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】含参数直线恒过定点问题,采用分离参数法,把含有的参数的直线方程改写成,解方程组便可得到定点坐标.‎ ‎14.点关于直线的对称点坐标为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 设点关于直线的对称点的坐标为,利用中点坐标公式、直线垂直的性质列出方程组,即可求出对称点坐标.‎ ‎【详解】设点关于直线的对称点的坐标为 由题意可知: 解得: ‎ 所以点关于直线的对称点的坐标为:‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了点关于直线对称的点坐标的运算,在求解是要注意:一是对称点的连线与对称轴垂直,斜率相乘得,二是与对称点的中点在对称轴上,‎ 点坐标满足直线方程代入进行求解.‎ ‎15.已知圆C经过两点，圆心在轴上，则C的方程为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，求出的垂直平分线方程，令，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.‎ ‎【详解】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，的垂直平分线为，令，得，故圆心坐标为，所以圆的半径，故圆的方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.‎ ‎16.已知：若直线上总存在点P，使得过点P的的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，根据圆心O到直线的距离，进行求解即可得的范围.‎ ‎【详解】圆心为，半径，‎ 设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，‎ 故有，‎ 圆心O到直线的距离，‎ 即，‎ 即，解得或.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共4小题，共40分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知两个顶点，若中点在轴，中点在轴.‎ ‎（1）求顶点的坐标；‎ ‎（2）求边上的高所在直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件,由的中点公式即可求得点C的坐标;‎ ‎（2） 边上的高所在直线与垂直,根据两条直线垂直斜率乘积等于即可求得垂线的斜率,再由点斜式即可求出答案.‎ ‎【详解】（1）由于的两顶点 ‎ 的中点在轴上,的中点在轴上 ‎ 点的横坐标为 ,点的纵坐标为 ‎ 故点C的坐标为:.‎ ‎（2） ,‎ ‎ ‎ ‎ 边上的高所在直线的方程与其边上的高垂直,可得斜率为:‎ 其高过顶点 边上的高所在直线的方程为: ‎ 整理得: ‎ 所以边上的高所在直线的方程: .‎ ‎【点睛】本题考查了中点坐标和直线方程求解,掌握两条直线垂直斜率乘积等于是解本题关键.‎ ‎18.已知圆和圆（）.‎ ‎（1）若圆与圆相外切，求的值；‎ ‎（2）若圆与轴相切，求圆与圆的公共弦长.‎ ‎【答案】（1）16（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据圆与圆外切,根据两圆外切时,两圆圆心距离等于二者半径之和,即可求出参数的值;‎ ‎（2）根据圆与轴相切,可求得圆的方程.通过作差法求出圆与圆的公共弦方程,利用圆圆心到公共弦的距离,根据几何关系求圆与圆的公共弦长.‎ ‎【详解】（1）圆的圆心半径 圆的方程化为标准方程得:‎ ‎ 其圆心为半径 ‎ 由题意得 即 解得 ‎（2）由上问可知 圆与轴相切时圆的半径 故 整理可得: ‎ ‎ 圆与圆的公共弦长方程可由圆与圆作差求得:‎ 即 整理公共弦长方程: ‎ 圆的圆心到的距离为: ‎ 如图:‎ 在 ‎ 所以圆与圆的公共弦长:‎ 综上所述圆与圆的公共弦长:.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆、圆与圆的位置关系.当两个圆相交时,通过将两个圆的方程作差可以求出其二者的公共弦方程,这是解本题的关键.‎ ‎19.设是圆上的动点，点是在轴上的投影，且.‎ ‎（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）求过点(1,0)，倾斜角为的直线被所截线段的长度.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设的坐标为,的坐标为.由,可得,可列出,坐标关系式为,即可得到的轨迹的方程.‎ ‎（2）设直线方程为:,代入椭圆方程,由韦达定理和弦长公式:‎ ‎,即可求得直线被C所截线段的长度.‎ ‎【详解】（1）设的坐标为,的坐标为.‎ ‎ 由,可得,‎ ‎ 的坐标为,是圆上的动点 ‎ ┄①‎ ‎ ,坐标关系式为: ┄②代入①得:‎ 整理可得的轨迹的方程: ‎ ‎（2）求过点,倾斜角为的直线方程为: ‎ 设直线与轨迹的交点为 ‎ 将直线方程与轨迹方程联立方程组,消掉 ‎ 得: ‎ 整理可得: ‎ 根据韦达定理得: ‎ ‎∴线段AB的长度为: ‎ 所以线段AB的长度:.‎ ‎【点睛】本题考查了动点轨迹和弦长求解.在求直线和圆锥曲线交点弦长时,结合韦达定理和弦长公式可以简化计算.‎ ‎20.已知被直线分成面积相等的四部分，且截轴所得线段的长为2.‎ ‎(1)求的方程；‎ ‎(2)若存在过点的直线与相交于两点，且，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出的圆心坐标，再根据垂径定理可求的半径，从而得到的方程 ‎（2）设，根据点是的中点及在上可得，根据圆与圆的位置关系可得实数满足的不等式，从而可求实数的取值范围.‎ ‎【详解】解：(1)设的方程为，‎ 因为被直线分成面积相等的四部分，‎ 所以圆心一定是两互相垂直的直线的交点，‎ 由得，故交点坐标为，所以.‎ 又截轴所得线段的长为2，所以 所以的方程为.‎ ‎(2)设，由题意易知点是的中点，所以.‎ 因为两点均在上，所以①‎ ‎，‎ 即②‎ 设， 由①②知与有公共点，‎ 从而，‎ 即，‎ 整理可得，‎ 解得或，‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】在求圆的标准方程时，我们需要利用一些几何性质确定圆心坐标和半径的大小，常用的几何性质有：（1）圆心在弦的中垂线上；（2）圆心在过切线且垂直于切线的直线上；（3）圆关于直径成轴对称图形．另外，直线与圆的位置关系中的存在性问题，可以转化不同几何对象之间的位置关系来讨论.‎ ‎ ‎