江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题含附加题 Word版含答案

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南京市2020届高三年级第三次模拟考试 数 学 注意事项：‎ ‎1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．‎ ‎2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）‎ ‎1．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝ ▲ ．‎ ‎2．若z＝＋i (i是虚数单位)是实数，则实数a的值为 ▲ ．‎ ‎3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ▲ ．‎ ‎4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．‎ ‎5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ▲ ．‎ ‎6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) (其中ω＞0，－＜φ＜)的部分图象如图所示，则f()的值为 ▲ ．‎ O x y ‎2‎ -2‎ ‎（第6题图）‎ ‎－ ‎（第4题图）‎ S←0‎ For i From 1 To 4 ‎ ‎ S←S＋i End For Print S ‎7．已知数列{an}为等比数列．若a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差数列，则{an}的前n项和为 ▲ ．‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F．若以F为圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A，B两点，且AB＝2b，则该双曲线的离心率为 ▲ ．‎ 高三数学试题第19页（共4页）‎ ‎9．若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为 ▲ ．‎ ‎10．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x－2)．若g(x－1)≥1，则x的取值范围为 ▲ ．‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：x2＋y2＝2上两个动点，且⊥．若A，B两点到直线l：3x＋4y－10＝0的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最大值为 ▲ ．‎ ‎12．若对任意a∈[e，＋∞) (e为自然对数的底数) ，不等式x≤eax＋b对任意x∈R恒成立，则实数b的取值范围为 ▲ ．‎ ‎13．已知点P在边长为4的等边三角形ABC内，满足＝λ＋μ，且2λ＋3μ＝1，延长AP交边BC于点D．若BD＝2DC，则·的值为 ▲ ．‎ ‎14．在△ABC中，∠A＝，D是BC的中点．若AD≤BC，则sinBsinC的最大值为 ▲ ．‎ 二、解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．‎ ‎15．(本小题满分14分)‎ F E P B D C A ‎(第15题图)‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，E，F分别为AD，PB的中点．‎ 求证：（1）EF∥平面PCD；‎ ‎（2）平面PAB⊥平面PCD．‎ ‎16．(本小题满分14分)‎ 已知向量m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx，－sinx)，函数f(x)＝m·n＋．‎ 高三数学试题第19页（共4页）‎ ‎（1）若f()＝1，x∈(0，π)，求tan(x＋)的值；‎ ‎（2）若f(α)＝－， α∈(，)，sinβ＝，β∈(0，)，求2α＋β的值．‎ ‎17．(本小题满分14分) ‎ 如图，港口A在港口O的正东100海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径8海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB＝20海里，tan∠AOB＝，cos∠AOD＝．现一艘科考船以10海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．‎ ‎ （1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；‎ ‎ （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值．‎ A O D 东 北 B ‎ ‎ ‎(第17题图)‎ ‎18．(本小题满分16分)‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点 (－2，0)和 (1，)，椭圆C上三点A，M，B与原点O构成一个平行四边形AMBO．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若点B是椭圆C的左顶点，求点M的坐标；‎ 高三数学试题第19页（共4页）‎ ‎(第18题图)‎ A O M x y B ‎（3）若A，M，B，O四点共圆，求直线AB的斜率．‎ ‎19．(本小题满分16分) ‎ 已知函数f(x)＝ (a∈R) ，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（1）若a＝1，求函数f(x)的单调减区间；‎ ‎（2）若函数f(x)的定义域为R，且f(2)＞f(a)，求a的取值范围；‎ ‎（3）证明：对任意a∈(2，4)，曲线y＝f(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．‎ ‎20．(本小题满分16分) ‎ 若数列{an}满足n≥2，n∈N*时，an≠0，则称数列{}(n∈N*)为{an}的“L数列”．‎ ‎（1）若a1＝1，且{an}的“L数列”为{}，求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若an＝n＋k－3(k＞0)，且{an}的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；‎ ‎（3）若an＝1＋pn－1，其中p＞1，记{an}的“L数列”的前n项和为Sn，试判断是否存在等差数列{cn}，对任意n∈N*，都有cn＜Sn＜cn＋1成立，并证明你的结论．‎ 高三数学试题第19页（共4页）‎ 南京市2020届高三年级第三次模拟考试 ‎ 数学附加题 注意事项：‎ ‎1．附加题供选修物理的考生使用．‎ ‎2．本试卷共40分，考试时间30分钟．‎ ‎3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．‎ ‎21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A＝，a∈R．若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－2)．‎ ‎（1）求矩阵A；‎ ‎（2）求点Q(0，3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q′的坐标．‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．‎ C．选修4—5：不等式选讲 已知a，b为非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．‎ 高三数学试题第19页（共4页）‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，B1C⊥AC1．‎ ‎（1）求AA1的长．‎ ‎(第22题图)‎ A1‎ C A B B1‎ C1‎ P ‎（2）试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角 B－A1C－A的大小相等，并说明理由．‎ ‎23．(本小题满分10分)‎ 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n∈N*)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为Pn．‎ ‎（1）求P1；‎ ‎（2）证明：Pn＋1＜Pn．‎ 南京市2020届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案及评分标准 说明：‎ ‎1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 高三数学试题第19页（共4页）‎ ‎4．只给整数分数，填空题不给中间分数．‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1．{x|1＜x＜4} 2．2 3．60 4．10 5． 6． ‎ ‎7．2－2 8． 9． 10．[2，4] 11．6 12． [－2，＋∞)‎ ‎13．－ 14． 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎15．(本小题满分14分) ‎ 证明：(1)取PC中点G，连接DG、FG．‎ ‎ 在△PBC中，因为F，G分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，GF＝BC．‎ 因为底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，‎ 所以DE∥BC，DE＝BC， 2分 所以GF∥DE，GF＝DE，所以四边形DEFG为平行四边形， ‎ 所以EF∥DG． 4分 又因为EFË平面PCD，DGÌ平面PCD，‎ 所以EF∥平面PCD． 6分 ‎(2)因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD． ‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CDÌ平面ABCD，‎ 所以CD⊥平面PAD． 10分 因为PAÌ平面PAD，所以CD⊥PA． 12分 又因为PA⊥PD，PDÌ平面PCD，CDÌ平面PCD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PCD．‎ 因为PAÌ平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD． 14分 ‎16．(本小题满分14分)‎ 解：(1) 因为向量m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx，－sinx)，‎ 高三数学试题第19页（共4页）‎ 所以 f(x)＝m·n＋＝cos2x－sin2x＋＝cos2x＋． 2分 因为f()＝1，所以cosx＋＝1，即cosx＝．‎ ‎ 又因为x∈(0，π) ，所以x＝， 4分 ‎ 所以tan(x＋)＝tan(＋)＝＝－2－． 6分 ‎(2)若f(α)＝－，则cos2α＋＝－，即cos2α＝－．‎ 因为α∈(，)，所以2α∈(π，)，所以sin2α＝－＝－． 8分 因为sinβ＝，β∈(0，)，所以cosβ＝＝， 10分 所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝(－)×－(－)×＝． 12分 又因为2α∈(π，)，β∈(0，)，所以2α＋β∈(π，2π)，‎ 所以2α＋β的值为． 14分 ‎17．(本小题满分14分) ‎ 解：如图，以O为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系xOy．‎ ‎ 因为OB＝20，tan∠AOB＝，OA＝100，‎ B E A C O D x y ‎ 所以点B(60，40)，且A(100，0)． 2分 ‎(1)设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C，‎ ‎ 则OC＝10(t＋2)，AC＝50t．‎ ‎ 因为OA＝100，cos∠AOD＝，‎ ‎ 所以AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOD，‎ 高三数学试题第19页（共4页）‎ ‎ 即(50t)2＝1002＋[10(t＋2)]2－2×100×10(t＋2)×．‎ ‎ 化得t2＝4，解得t1＝2，t2＝－2（舍去）， 4分 ‎ 所以OC＝40．‎ ‎ 因为cos∠AOD＝，所以sin∠AOD＝，所以C(40，80)，‎ ‎ 所以直线AC的方程为y＝－(x－100)，即4x＋3y－400＝0． 6分 ‎ 因为圆心B到直线AC的距离d＝＝8，而圆B的半径r＝8，‎ ‎ 所以d＜r，此时直线AC与圆B相交，所以快艇有触礁的危险．‎ ‎ 答：若快艇立即出发有触礁的危险． 8分 ‎(2)设快艇所走的直线AE与圆B相切，且与科考船相遇于点E．‎ ‎ 设直线AE的方程为y＝k(x－100)，即kx－y－100k＝0．‎ ‎ 因为直线AE与圆B相切，所以圆心B到直线AC的距离d＝＝8，‎ ‎ 即2k2＋5k＋2＝0，解得k＝－2或k＝－． 10分 ‎ 由（1）可知k＝－舍去．‎ ‎ 因为cos∠AOD＝，所以tan∠AOD＝2，所以直线OD的方程为y＝2x．‎ ‎ 由解得所以E(50，100)，‎ ‎ 所以AE＝50，OE＝50， 12分 ‎ 此时两船的时间差为－＝5－，所以x≥5－－2＝3－．‎ ‎ 答：x的最小值为(3－)小时． 14分 ‎18．(本小题满分16分)‎ 解：(1)因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点(－2，0)和 (1，)，‎ 所以a＝2，＋＝1，解得b2＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1． 2分 ‎(2)因为B为左顶点，所以B (－2，0)．‎ 因为四边形AMBO为平行四边形，所以AM∥BO，且AM＝BO＝2． 4分 设点M(x0，y0)，则A(x0＋2，y0)．‎ 高三数学试题第19页（共4页）‎ 因为点M，A在椭圆C上，所以解得 所以M(－1，±)． 6分 ‎(3) 因为直线AB的斜率存在，所以设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由消去y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋‎4m2‎－4＝0，‎ 则有x1＋x2＝，x1x2＝． 8分 因为平行四边形AMBO，所以＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)．‎ 因为x1＋x2＝，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋‎2m＝k·＋‎2m＝，‎ 所以M(，)． 10分 因为点M在椭圆C上，所以将点M的坐标代入椭圆C的方程，‎ 化得‎4m2‎＝4k2＋1．① 12分 ‎ 因为A，M，B，O四点共圆，所以平行四边形AMBO是矩形，且OA⊥OB，‎ 所以·＝x1x2＋y1y2＝0．‎ 因为y1y2＝(kx1＋m)(kx1＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，‎ 所以x1x2＋y1y2＝＋＝0，化得‎5m2‎＝4k2＋4．② 14分 由①②解得k2＝，m2＝3，此时△＞0，因此k＝±． ‎ 所以所求直线AB的斜率为±． 16分 ‎19． (本小题满分16分) ‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝，‎ 高三数学试题第19页（共4页）‎ 所以函数f(x)的定义域为R，f'(x)＝． ‎ 令f'(x)＜0，解得1＜x＜2，‎ 所以函数f(x)的单调减区间为(1，2)． 2分 ‎(2)由函数f(x)的定义域为R，得x2－ax＋a≠0恒成立，‎ 所以a2－‎4a＜0，解得0＜a＜4． 4分 方法1‎ 由f(x)＝，得f'(x)＝．‎ ‎ ①当a＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意．‎ ‎ ②当0＜a＜2时，‎ 因为当a＜x＜2时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(a，2)上单调递减，‎ ‎ 所以f(a)＞f(2)，不符题意． 6分 ‎ ③当2＜a＜4时，‎ 因为当2＜x＜a时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递减，‎ ‎ 所以f(a)＜f(2)，满足题意．‎ ‎ 综上，a的取值范围为(2，4)． 8分 ‎ 方法2‎ 由f(2)＞f(a)，得＞．‎ ‎ 因为0＜a＜4，所以不等式可化为e2＞(4－a)．‎ ‎ 设函数g(x)＝(4－x)－e2， 0＜x＜4． 6分 因为g'(x)＝ex·≤0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递减．‎ 又因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)．‎ 所以，a的取值范围为(2，4)． 8分 高三数学试题第19页（共4页）‎ ‎(3)证明：设切点为(x0，f(x0))，则f'(x0)＝，‎ 所以切线方程为y－＝×(x－x0)． ‎ 由0－＝×(0－x0)，‎ 化简得x03－(a＋3)x02＋3ax0－a＝0． 10分 设h(x)＝x3－(a＋3)x2＋3ax－a，a∈(2，4)，‎ 则只要证明函数h(x)有且仅有三个不同的零点． ‎ 由(2)可知a∈(2，4)时，函数h(x)的定义域为R，h'(x)＝3x2－2(a＋3)x＋3a．‎ 因为△＝4(a＋3)2－36a＝4(a－)2＋27＞0恒成立，‎ 所以h'(x)＝0有两不相等的实数根x1和x2，不妨x1＜x2．‎ 因为 x ‎(－∞，x1)‎ x1‎ ‎(x1，x2)‎ x2‎ ‎(x2，＋∞)‎ h’(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ h(x)‎ 增 极大 减 极小 增 所以函数h(x)最多有三个零点． 12分 因为a∈(2，4)，所以h(0)＝－a＜0，h(1)＝a－2＞0，h(2)＝a－4＜0，h(5)＝50－11a＞0，‎ 所以h(0)h(1)＜0，h(1)h(2)＜0，h(2)h(5)＜0．‎ 因为函数的图象不间断，所以函数h(x)在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．‎ 综上所述，函数h(x)有且仅有三个零点． 16分 ‎20．(本小题满分16分)‎ 解：(1) 因为{an}的“L数列”为{}，所以＝，n∈N*，即＝2n，‎ 所以n≥2时，an＝··…··a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝2(n-1)＋(n－2)＋…＋1＝2． ‎ 高三数学试题第19页（共4页）‎ 又a1＝1符合上式，所以{an}的通项公式为an＝2，n∈N*． 2分 ‎(2)因为an＝n＋k－3(k＞0)，且n≥2，n∈N*时，an≠0，所以k≠1．‎ 方法1‎ 设bn＝，n∈N*，所以bn＝＝1－．‎ 因为{bn}为递增数列，所以bn＋1－bn＞0对n∈N*恒成立，‎ 即－＞0对n∈N*恒成立． 4分 因为－＝，‎ 所以－＞0等价于(n＋k－2)(n＋k－1)＞0．‎ 当0＜k＜1时，因为n＝1时，(n＋k－2)(n＋k－1)＜0，不符合题意． 6分 当k＞1时，n＋k－1>n＋k－2>0，所以(n＋k－2)(n＋k－1)＞0，‎ 综上，k的取值范围是(1，＋∞)． 8分 方法2‎ 令f(x)＝1－，所以f(x)在区间(－∞，2－k)和区间(2－k，＋∞)上单调递增． ‎ 当0＜k＜1时，‎ f(1)＝1－＞1，f(2)＝1－＜1，所以b2＜b1，不符合题意． 6分 当k＞1时，‎ 因为2－k＜1，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以{bn}单调递增，符合题意．‎ 综上，k的取值范围是(1，＋∞)． 8分 ‎ (3)存在满足条件的等差数列{cn}，证明如下：‎ 因为＝＝＋ ，k∈N*， 10分 高三数学试题第19页（共4页）‎ 所以Sn＝＋(1－)·(＋＋…＋＋)．‎ ‎ 又因为p＞1，所以1－＞0，所以＜Sn＜＋(1－)·(＋＋…＋＋)，‎ 即＜Sn＜＋·[1－()n]． 14分 ‎ 因为·[1－()n]＜，所以＜Sn＜．‎ 设cn＝，则cn＋1－cn＝－＝，且cn＜Sn＜cn＋1，‎ 所以存在等差数列{cn}满足题意． 16分 高三数学试题第19页（共4页）‎ 南京市2020届高三年级第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 说明：‎ ‎1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数，填空题不给中间分数．‎ ‎21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 解：(1) ＝． 2分 因为点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－2)，所以a＝－2，‎ ‎ 所以A＝． 4分 ‎ (2)因为A＝，所以A2＝ ＝， 6分 ‎ 所以A2= =，‎ ‎ 所以，点Q′的坐标为(－3，6)． 10分 B．选修4—4：坐标系与参数方程 解：由l的参数方程(t为参数)得直线l方程为x－y＋＝0． 2分 曲线C上的点到直线l的距离d＝ 4分 ‎＝． 6分 当θ＋＝2kπ，即θ＝－＋2kπ(k∈Z)时， 8分 曲线C上的点到直线l的距离取最大值． 10分 高三数学试题第19页（共4页）‎ C．选修4—5：不等式选讲 证明：因为a，b为非负实数，‎ 所以a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)‎ ‎ ＝(－)[()5－()5]． 4分 若a≥b时，≥，从而()5≥()5，‎ 得(－)·[()5－()5]≥0． 6分 若a＜b时，＜，从而()5＜()5，‎ 得(－)·[()5－()5]＞0． 8分 综上，a3＋b3≥(a2＋b2)． 10分 A1‎ C A B B1‎ C1‎ P x y z ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：(1)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，‎ 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC．‎ 又AB⊥AC，所以以{，，}为正交基底建立如图所示的 空间直角坐标系A—xyz．‎ 设AA1＝t(t＞0)，又AB＝3，AC＝4，‎ 则A(0，0，0)，C1(0，4，t)，B1(3，0，t)，C(0，4，0)，‎ 所以＝(0，4，t)，＝(－3，4，－t)． 2分 因为B1C⊥AC1，所以·＝0，即16－t2＝0，解得t＝4，‎ 所以AA1的长为4． 4分 ‎(2)由(1)知B(3，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，4)，‎ 所以＝(0，4，－4)，＝(－3，4，0)．‎ 设n＝(x，y，z)为平面A1CB的法向量，‎ 则n·＝0，n·＝0，即 取y＝3，解得z＝3，x＝4，所以n＝(4，3，3)为平面A1CB的一个法向量．‎ 又因为AB⊥面AA1C1C，所以＝(3，0，0)为平面A1CA的一个法向量，‎ 则cos＜n，＞＝＝＝， 6分 高三数学试题第19页（共4页）‎ 所以sin＜n，＞＝．‎ 设P(3，0，m)，其中0≤m≤4，则＝(3，－4，m)．‎ 因为＝(3，0，0)为平面A1CA的一个法向量，‎ 所以cos＜，＞＝＝＝，‎ 所以直线PC与平面AA1C1C的所成角的正弦值为． 8分 因为直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角B－A1C－A的大小相等，‎ 所以＝，此时方程无解，‎ 所以侧棱BB1上不存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角B－A1C－A的大小相等 ． ‎ ‎ 10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ 解：(1)根据题意，每次取出的球是白球的概率为，取出的球是黑球的概率为．‎ 所以P1＝×＋C×()2×＝＋＝． 2分 ‎(2)证明：累计取出白球次数是n ＋1的情况有：‎ 前n 次取出n次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C×()n＋1；‎ 前n ＋1次取出n次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C×()n＋1×；‎ ‎ 4分 ‎……‎ 前2n－1 次取出n次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C×()n＋1×()n－1；‎ 前2n 次取出n次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C×()n＋1×()n；‎ 高三数学试题第19页（共4页）‎ 则Pn＝C×()n＋1＋C×()n＋1×＋…＋C×()n＋1×()n－1＋C×()n＋1×()n ‎＝()n＋1×[C＋C×＋…＋C×()n－1＋C×()n] ‎ ‎ ＝()n＋1×[C＋C×＋…＋C×()n－1＋C×()n]， 6分 因此Pn＋1－Pn＝()n＋2×[C＋C×＋…＋C×()n＋C×()n＋1] ‎ ‎－()n＋1×[C＋C×＋…＋C×()n－1＋C×()n]‎ ‎＝()n＋1×{×[C＋C×＋…＋C×()n＋C×()n＋1]‎ ‎－[C＋C×＋…＋C×()n－1＋C×()n]}‎ ‎＝()n＋1×{(1－)×[C＋C×＋…＋C×()n＋C×()n＋1]‎ ‎－[C＋C×＋…＋C×()n－1＋C×()n]}‎ ‎＝()n＋1×{[C＋C×＋…＋C×()n＋C×()n＋1]‎ ‎－ [C×＋C×()2＋…＋C×()n＋1＋C×()n＋2]‎ ‎－[C＋C×＋…＋C×()n－1＋C×()n]}‎ ‎ 8分 ‎＝()n＋1×{[C＋C×＋…＋C×()n＋C×()n＋1]‎ 高三数学试题第19页（共4页）‎ ‎－[C＋C×＋…＋＋C×()n＋C×()n＋1＋C×()n＋2]}，‎ 则Pn＋1－Pn＝()n＋1×[C×()n＋1－C×()n＋1－C×()n＋2]‎ ‎＝()n＋1×()n＋1×(C－C－C)‎ ‎＝()n＋1×()n＋1×(C－C)．‎ 因为C－C＝C－(C＋C)＝C－C＝－C，‎ 所以Pn＋1－Pn＝()n＋1×()n＋1×(－)× C＜0，‎ 因此Pn＋1＜Pn． 10分 ‎ ‎ ‎ ‎ 高三数学试题第19页（共4页）‎