江苏省南京市2020届高三第三次模拟数学考试（解析版）

江苏省南京市2020届高三第三次模拟数学考试（解析版）

江苏省南京市2020届高三第三次模拟数学考试（解析版）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）‎ ‎1．已知集合A＝，B＝，则AB＝ ．‎ ‎2．若（i是虚数单位）是实数，则实数a的值为 ．‎ ‎3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ．‎ ‎4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．‎ ‎ ‎ ‎5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ．‎ ‎6．已知函数(其中＞0，)部分图象如图所示，则 的值为 ．‎ ‎7．已知数列为等比数列，若，且，，成等差数列，则的前n项和为 ．‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a＞0，b＞0)的右焦点为F．若以F 为圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A，B两点，且AB＝2b，则该双曲线的离心率为 ．‎ ‎9．若正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A—B1CD1的体积为 ．‎ ‎10．已知函数，，若，则实数x的取值范围为 ．‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：x2＋y2＝2上两个动点，且⊥，若A， B两点到直线l：3x＋4y﹣10＝0的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最大值为 ．‎ ‎12．若对任意a[e，)（e为自然对数的底数），不等式对任意xR恒成立，则实数b的取值范围为 ．‎ ‎13．已知点P在边长为4的等边三角形ABC内，满足，且，延长AP交边BC于点D，若BD＝2DC，则的值为 ．‎ ‎14．在△ABC中，∠A＝，D是BC的中点．若AD≤BC，则sinBsinC的最大值为 ‎ ‎ ．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⏊PD，E， F分别为AD，PB的中点．‎ 求证：‎ ‎（1）EF//平面PCD；‎ ‎（2）平面PAB⏊平面PCD．‎ ‎16．（本题满分14分已知向量＝(cosx，sinx)，＝(cosx，﹣sinx)，函数．‎ ‎（1）若，x(0，)，求tan(x＋)的值；‎ ‎（2）若，(，)，，(0，)，求的值．‎ ‎17．（本题满分14分）如图，港口A在港口O的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB＝海里，tan∠AOB＝，cos∠AOD＝，现一艘科考船以海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．‎ ‎（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；‎ ‎（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值．‎ ‎18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)经过点(﹣2，0)和(1，)，椭圆C上三点A，M，B与原点O构成一个平行四边形AMBO．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若点B是椭圆C左顶点，求点M的坐标；‎ ‎（3）若A，M，B，O四点共圆，求直线AB的斜率．‎ ‎19．（本题满分16分）已知函数(aR)，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（1）若a＝1，求函数的单调减区间；（2）若函数的定义域为R，且，求a的取值范围；（3）证明：对任意a(2，4)，曲线上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．‎ ‎20．（本题满分16分）若数列满足n≥2时，，则称数列(n)为的“L数列”．（1）若，且的“L数列”为，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若(k＞0)，且的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；‎ ‎（3）若，其中p＞1，记的“L数列”的前n项和为，试判断是否存在等差数列，对任意n，都有成立，并证明你的结论．‎ 江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试 数学附加题 本试卷共40分，考试时间30分钟．‎ ‎21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A＝，aR．若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，﹣2)．‎ ‎（1）求矩阵A；‎ ‎（2）求点Q(0，3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q′的坐标．‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．‎ C．选修4—5：不等式选讲 已知为a，b非负实数，求证：．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在直三棱柱中ABC—A1B1C1，AB⏊AC，AB＝3，AC＝4，B1C⏊AC1．‎ ‎（1）求AA1的长；‎ ‎（2）试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角B—A1C—A的大小相等，并说明理由．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n)次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：．‎ 参考答案 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）‎ ‎1．已知集合A＝，B＝，则AB＝ ．‎ 答案：(1，4)‎ 考点：集合的并集运算 解析：∵集合A＝，B＝，‎ ‎ ∴AB＝(1，4)．‎ ‎2．若（i是虚数单位）是实数，则实数a的值为 ．‎ 答案：2‎ 考点：复数 解析：∵是实数，∴实数a的值为2．‎ ‎3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ．‎ 答案：60‎ 考点：分层抽样 解析：．‎ ‎4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．‎ ‎ ‎ 答案：10‎ 考点：伪代码 解析：第一步：i＝1，S＝1；‎ 第一步：i＝2，S＝3；‎ 第一步：i＝3，S＝6；‎ 第一步：i＝4，S＝10；故输出的结果为10．‎ ‎5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ．‎ 答案：‎ 考点：随机事件的概率 解析：．‎ ‎6．已知函数(其中＞0，)部分图象如图所示，则 的值为 ．‎ ‎ ‎ 答案：‎ 考点；三角函数的图像与性质 解析：首先，解得＝1，‎ ‎ 又，，∵，‎ ‎∴，故，所以．‎ ‎7．已知数列为等比数列，若，且，，成等差数列，则的前n项和为 ．‎ 答案：‎ 考点：等比数列的前n项和公式，等差中项 解析：∵，，成等差数列，∴2＝＋＝，故q＝2，‎ ‎ ∴‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a＞0，b＞0)的右焦点为F．若以F 为圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A，B两点，且AB＝2b，则该双曲线的离心率为 ．‎ 答案：‎ 考点：双曲线的简单性质 解析：由题意知，则，离心率e＝．‎ ‎9．若正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A—B1CD1的体积为 ．‎ 答案：‎ 考点：正四面体的体积计算 解析：可知三棱锥A—B1CD1是以为棱长的正四面体，‎ ‎ V＝．‎ ‎10．已知函数，，若，则实数x的取值范围为 ．‎ 答案：[2，4]‎ 考点：函数与不等式 解析：首先，由知，‎ ‎ 当，解得，故，得，‎ ‎ ∴，故实数x的取值范围为[2，4]．‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：x2＋y2＝2上两个动点，且⊥，若A， B两点到直线l：3x＋4y﹣10＝0的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最大值为 ．‎ 答案：6‎ 考点：直线与圆综合 解析：取AB中点D，设D到直线l的距离为d，易知：d1＋d2＝2d ‎⊥D轨迹为：d1＋d2的最大值为6．‎ ‎12．若对任意a[e，)（e为自然对数的底数），不等式对任意xR恒成立，则实数b的取值范围为 ．‎ 答案：[﹣2，)‎ 考点：函数与不等式（恒成立问题）‎ 解析：当时，显然成立，；‎ ‎ 当时，，‎ ‎ ，易知：，故；‎ ‎ 综上，实数b的取值范围为[﹣2，)．‎ ‎13．已知点P在边长为4的等边三角形ABC内，满足，且，延长AP交边BC于点D，若BD＝2DC，则的值为 ．‎ 答案：‎ 考点：平面向量数量积 解析：A，P，D共线，不妨令 ‎ 又，故，‎ ‎ 因此，‎ 则，‎ ‎ 故．‎ ‎14．在△ABC中，∠A＝，D是BC的中点．若AD≤BC，则sinBsinC的最大值为 ‎ ‎ ．‎ 答案：‎ 考点：解三角形综合 解析：‎ ‎ ．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⏊PD，E， F分别为AD，PB的中点．求证：‎ ‎（1）EF//平面PCD；‎ ‎（2）平面PAB⏊平面PCD．‎ 证明：(1)取PC中点G，连接DG、FG．‎ ‎ 在△PBC中，因为F，G分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，GF＝BC．‎ 因为底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，‎ 所以DE∥BC，DE＝BC， ‎ 所以GF∥DE，GF＝DE，所以四边形DEFG为平行四边形， ‎ 所以EF∥DG． ‎ 又因为EFË平面PCD，DGÌ平面PCD，‎ 所以EF∥平面PCD．‎ ‎(2)因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD． ‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CDÌ平面ABCD，‎ 所以CD⊥平面PAD． ‎ 因为PAÌ平面PAD，所以CD⊥PA．‎ 又因为PA⊥PD，PDÌ平面PCD，CDÌ平面PCD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PCD．‎ 因为PAÌ平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD． ‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 已知向量＝(cosx，sinx)，＝(cosx，﹣sinx)，函数．‎ ‎（1）若，x(0，)，求tan(x＋)的值；‎ ‎（2）若，(，)，，(0，)，求的值．‎ 解：(1) 因为向量m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx，－sinx)，‎ 所以 f(x)＝m·n＋＝cos2x－sin2x＋＝cos2x＋． ‎ 因为f()＝1，所以cosx＋＝1，即cosx＝．‎ ‎ 又因为x∈(0，π) ，所以x＝， ‎ ‎ 所以tan(x＋)＝tan(＋)＝＝－2－． ‎ ‎(2)若f(α)＝－，则cos2α＋＝－，即cos2α＝－．‎ 因为α∈(，)，所以2α∈(π，)，所以sin2α＝－＝－． ‎ 因为sinβ＝，β∈(0，)，所以cosβ＝＝， ‎ 所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝(－)×－(－)×＝． ‎ 又因为2α∈(π，)，β∈(0，)，所以2α＋β∈(π，2π)，‎ 所以2α＋β的值为．‎ ‎17．（本题满分14分）‎ 如图，港口A在港口O的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB＝海里，tan∠AOB＝，cos∠AOD＝，现一艘科考船以海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．‎ ‎（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；‎ ‎（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值．‎ 解：如图，以O为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系xOy．‎ ‎ 因为OB＝20，tan∠AOB＝，OA＝100，‎ ‎ 所以点B(60，40)，且A(100，0)． ‎ ‎(1)设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C，‎ ‎ 则OC＝10(t＋2)，AC＝50t．‎ ‎ 因为OA＝100，cos∠AOD＝，‎ ‎ 所以AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOD，‎ ‎ 即(50t)2＝1002＋[10(t＋2)]2－2×100×10(t＋2)×．‎ ‎ 化得t2＝4，解得t1＝2，t2＝－2（舍去）， ‎ ‎ 所以OC＝40．‎ ‎ 因为cos∠AOD＝，所以sin∠AOD＝，所以C(40，80)，‎ ‎ 所以直线AC的方程为y＝－(x－100)，即4x＋3y－400＝0． ‎ ‎ 因为圆心B到直线AC的距离d＝＝8，而圆B的半径r＝8，‎ ‎ 所以d＜r，此时直线AC与圆B相交，所以快艇有触礁的危险．‎ ‎ 答：若快艇立即出发有触礁的危险． ‎ ‎(2)设快艇所走的直线AE与圆B相切，且与科考船相遇于点E．‎ ‎ 设直线AE的方程为y＝k(x－100)，即kx－y－100k＝0．‎ ‎ 因为直线AE与圆B相切，所以圆心B到直线AC的距离d＝＝8，‎ ‎ 即2k2＋5k＋2＝0，解得k＝－2或k＝－． ‎ ‎ 由（1）可知k＝－舍去．‎ ‎ 因为cos∠AOD＝，所以tan∠AOD＝2，所以直线OD的方程为y＝2x．‎ ‎ 由解得所以E(50，100)，‎ ‎ 所以AE＝50，OE＝50， ‎ ‎ 此时两船的时间差为－＝5－，所以x≥5－－2＝3－．‎ ‎ 答：x的最小值为(3－)小时． ‎ ‎18．（本题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)经过点(﹣2，0)和(1，)，椭圆C上三点A，M，B与原点O构成一个平行四边形AMBO．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若点B是椭圆C左顶点，求点M的坐标；‎ ‎（3）若A，M，B，O四点共圆，求直线AB的斜率．‎ 解：(1)因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点(－2，0)和 (1，)，‎ 所以a＝2，＋＝1，解得b2＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1． ‎ ‎(2)因为B为左顶点，所以B (－2，0)．‎ 因为四边形AMBO为平行四边形，所以AM∥BO，且AM＝BO＝2． ‎ 设点M(x0，y0)，则A(x0＋2，y0)．‎ 因为点M，A在椭圆C上，所以解得 所以M(－1，±)． ‎ ‎(3) 因为直线AB的斜率存在，所以设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由消去y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，‎ 则有x1＋x2＝，x1x2＝． ‎ 因为平行四边形AMBO，所以＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)．‎ 因为x1＋x2＝，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝k·＋2m＝，‎ 所以M(，)． ‎ 因为点M在椭圆C上，所以将点M的坐标代入椭圆C的方程，‎ 化得4m2＝4k2＋1．①‎ ‎ 因为A，M，B，O四点共圆，所以平行四边形AMBO是矩形，且OA⊥OB，‎ 所以·＝x1x2＋y1y2＝0．‎ 因为y1y2＝(kx1＋m)(kx1＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，‎ 所以x1x2＋y1y2＝＋＝0，化得5m2＝4k2＋4．② ‎ 由①②解得k2＝，m2＝3，此时△＞0，因此k＝±． ‎ 所以所求直线AB的斜率为±．‎ ‎19．（本题满分16分）‎ 已知函数(aR)，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（1）若a＝1，求函数的单调减区间；‎ ‎（2）若函数的定义域为R，且，求a的取值范围；‎ ‎（3）证明：对任意a(2，4)，曲线上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝，‎ 所以函数f(x)的定义域为R，f'(x)＝． ‎ 令f'(x)＜0，解得1＜x＜2，‎ 所以函数f(x)的单调减区间为(1，2)． ‎ ‎(2)由函数f(x)的定义域为R，得x2－ax＋a≠0恒成立，‎ 所以a2－4a＜0，解得0＜a＜4． ‎ 方法1‎ 由f(x)＝，得f'(x)＝．‎ ‎ ①当a＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意．‎ ‎ ②当0＜a＜2时，‎ 因为当a＜x＜2时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(a，2)上单调递减，‎ ‎ 所以f(a)＞f(2)，不符题意． ‎ ‎ ③当2＜a＜4时，‎ 因为当2＜x＜a时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递减，‎ ‎ 所以f(a)＜f(2)，满足题意．‎ ‎ 综上，a的取值范围为(2，4)． ‎ ‎ 方法2‎ 由f(2)＞f(a)，得＞．‎ ‎ 因为0＜a＜4，所以不等式可化为e2＞(4－a)．‎ ‎ 设函数g(x)＝(4－x)－e2， 0＜x＜4． ‎ 因为g'(x)＝ex·≤0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递减．‎ 又因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)．‎ 所以，a的取值范围为(2，4)． ‎ ‎(3)证明：设切点为(x0，f(x0))，则f'(x0)＝，‎ 所以切线方程为y－＝×(x－x0)． ‎ 由0－＝×(0－x0)，‎ 化简得x03－(a＋3)x02＋3ax0－a＝0． ‎ 设h(x)＝x3－(a＋3)x2＋3ax－a，a∈(2，4)，‎ 则只要证明函数h(x)有且仅有三个不同的零点． ‎ 由(2)可知a∈(2，4)时，函数h(x)的定义域为R，h'(x)＝3x2－2(a＋3)x＋3a．‎ 因为△＝4(a＋3)2－36a＝4(a－)2＋27＞0恒成立，‎ 所以h'(x)＝0有两不相等的实数根x1和x2，不妨x1＜x2．‎ 因为 x ‎(－∞，x1)‎ x1‎ ‎(x1，x2)‎ x2‎ ‎(x2，＋∞)‎ h’(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ h(x)‎ 增 极大 减 极小 增 所以函数h(x)最多有三个零点． ‎ 因为a∈(2，4)，所以h(0)＝－a＜0，h(1)＝a－2＞0，h(2)＝a－4＜0，h(5)＝50－11a＞0，‎ 所以h(0)h(1)＜0，h(1)h(2)＜0，h(2)h(5)＜0．‎ 因为函数的图象不间断，所以函数h(x)在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．‎ 综上所述，函数h(x)有且仅有三个零点．‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 若数列满足n≥2时，，则称数列(n)为的“L数列”．‎ ‎（1）若，且的“L数列”为，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若(k＞0)，且的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；‎ ‎（3）若，其中p＞1，记的“L数列”的前n项和为，试判断是否存在等差数列，对任意n，都有成立，并证明你的结论．‎ 解：（1）由题意知，，所以，‎ ‎ 所以 ‎ 即数列的通项公式为 ‎（2）因为an＝n＋k－3(k＞0)，且n≥2，n∈N*时，an≠0，所以k≠1．‎ 方法1‎ 设bn＝，n∈N*，所以bn＝＝1－．‎ 因为{bn}为递增数列，所以bn＋1－bn＞0对n∈N*恒成立，‎ 即－＞0对n∈N*恒成立． ‎ 因为－＝，‎ 所以－＞0等价于(n＋k－2)(n＋k－1)＞0．‎ 当0＜k＜1时，因为n＝1时，(n＋k－2)(n＋k－1)＜0，不符合题意． ‎ 当k＞1时，n＋k－1>n＋k－2>0，所以(n＋k－2)(n＋k－1)＞0，‎ 综上，k的取值范围是(1，＋∞)． ‎ 方法2‎ 令f(x)＝1－，所以f(x)在区间(－∞，2－k)和区间(2－k，＋∞)上单调递增． ‎ 当0＜k＜1时，‎ f(1)＝1－＞1，f(2)＝1－＜1，所以b2＜b1，不符合题意． ‎ 当k＞1时，‎ 因为2－k＜1，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以{bn}单调递增，符合题意．‎ 综上，k的取值范围是(1，＋∞)． ‎ ‎ （3）存在满足条件的等差数列，证明如下：‎ ‎ 因为，k，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 又因为，所以，‎ 所以，‎ ‎ 即，‎ ‎ 因为，所以，‎ ‎ 设，则，且，‎ ‎ 所以存在等差数列满足题意．‎ 江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试 数学附加题 本试卷共40分，考试时间30分钟．‎ ‎21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A＝，aR．若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，﹣2)．‎ ‎（1）求矩阵A；‎ ‎（2）求点Q(0，3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q′的坐标．‎ 解：(1) ＝． ‎ 因为点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－2)，所以a＝－2，‎ ‎ 所以A＝． ‎ ‎ (2)因为A＝，所以A2＝ ＝， ‎ ‎ 所以A2= =，‎ ‎ 所以，点Q′的坐标为(－3，6)．‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．‎ 解：曲线C：(x﹣1)2＋y2＝1，直线l：‎ 圆心C(1，0)到l的距离设为d，‎ 故曲线C上的点到直线l的距离的最大值为，即．‎ C．选修4—5：不等式选讲 已知a，b为非负实数，求证：．‎ 证明：因为a，b为非负实数，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 若时，，从而，‎ ‎ 得，‎ ‎ 若时，，从而，‎ ‎ 得，‎ ‎ 综上，．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在直三棱柱中ABC—A1B1C1，AB⏊AC，AB＝3，AC＝4，B1C⏊AC1．‎ ‎（1）求AA1的长；‎ ‎（2）试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角B—A1C—A的大小相等，并说明理由．‎ 解：（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，‎ ‎ 又AB，AC平面ABC，故AA1⊥AB，AA1⊥AC，又AB⊥AC ‎ 故以A为原点，{，，}为正交基底建立空间直角坐标系 ‎ 设AA1＝a＞0，则A1(0，0，a)，C(0，4，0)，B1(3，0，a)，C1(0，4，a)，‎ ‎ ＝(﹣3，4，﹣a)，＝(0，4，a)‎ ‎ 因为B1C⊥AC1，故，即，‎ ‎ 又a＞0，故a＝4，即AA1的长为4；‎ ‎ （2）由（1）知：B(3，0，0)，B1(3，0，4)，假设存在，‎ 设(0，0，4)，，‎ 则P(3，0，4)，则＝(3，﹣4，4)‎ AB⊥AC，AB⊥AA1，又ACAA1＝A，AC，AA1平面AA1C1C 所以AB⊥平面AA1C1C，故平面AA1C1C的法向量为＝(3，0，0)‎ 设PC与平面AA1C1C所成角为，则，‎ 设平面BA1C的法向量为＝(x，y，z)，平面AA1C的法向量为＝(3，0，0)‎ 由（1）知：＝(0，4，﹣4)，＝(﹣3，4，0)，＝(0，4，0)，‎ ‎，令，则＝(4，3，3)‎ 设二面角B—A1C—A的大小为，则，‎ 因为，则，无解，‎ 故侧棱BB1上不存在符合题意的点P．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n)次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：．‎ 解：（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为，取出的球是黑球的概率为，‎ ‎ 所以；‎ ‎ （2）证明：累计取出白球次数是n +1的情况有：‎ 前n次取出n次白球，第n +1次取出的是白球，概率为 前n+1次取出n次白球，第n +2次取出的是白球，概率为 前2n﹣1次取出n次白球，第2n次取出的是白球，概率为 前2n次取出n次白球，第2n +1次取出的是白球，概率为 则 因此 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ 因为，‎ 所以，因此．‎