2019-2020学年宁夏石嘴山市第三中学高二上学期12月月考数学（理）试题（解析版）
2019-2020 学年宁夏石嘴山市第三中学高二上学期 12 月月考
数学（理）试题
一、单选题
1．若一个命题 p 的逆命题是一个假命题,则下列判断一定正确的是( )
A．命题 p 是真命题 B．命题 p 的否命题是假命题
C．命题 p 的逆否命题是假命题 D．命题 p 的否命题是真命题
【答案】B
【解析】利用逆否命题真假一致性原理解答即可.
【详解】
由于一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，且互为逆否命题的真假性是一致的，所
以命题 p 的否命题是假命题.
故答案为：B
【点睛】
本题主要考查逆否命题，考查互为逆否命题的真假性一致性原理，意在考查学生对这些
知识的理解能力掌握水平.
2．“ 且 ”是“ ”成立的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】A
【解析】先推导“充分性”：由 且 ，可以得到 ；再推导“必要性”：由
，得 或 ，由此可得解论.
【详解】
先推导“充分性”：由 且 ，得 ，所以“ 且 ”是“ ”的充
分条件；
再推导“必要性”：由 ，得 或 ，所以“ 且 ”不是“ ”
的必要条件；
所以“ 且 ”是“ ”充分非必要条件，
0x > 0y > 0xy >
0x > 0y > 0xy >
0xy > 0
0
x
y
>
>
0
0
x
y
<
<
0x > 0y > 0xy > 0x > 0y > 0xy >
0xy > 0
0
x
y
>
>
0
0
x
y
<
< 0x > 0y > 0xy >
0x > 0y > 0xy >
故选：A.
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判断，在判断时，需对“充分性”和“必要性”的两个方面
进行验证，属于基础题.
3．已知 ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用不等式的性质，判断出三者的大小关系.
【详解】
由于 ， ，所以 ，故 为三者中的最大值.由于 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查不等式的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.
4．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于（）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】B
【解析】根据 ，可算出 ，又 ，根据等差中项的性质求解即可
【详解】
由 ，又 ，
答案选 B
【点睛】
本题考查等差数列基本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用了
和等差中项的性质，简化了运算
5．若实数 满足约束条件 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出 的最大值．
1 0a< <﹣ 0b < b ab 2a b
2b ab a b< < 2a b ab b< < 2a b b ab< < 2b a b ab< <
1 0a− < < 0b < 20, 0ab a b> < ab 1 0a− < <
( )2 0,1a ∈ ( )2 2 21 0,a b b a b a b b− = − > > 2b a b ab< <
{ }na n nS 15 30S = 10 4a = 9a
15 30S = 8a 10 4a =
15 8 815 30 2S a a= = ⇒ = 10 4a = 9 8 10 92 6 3a a a a= + = ⇒ =
( )2 1 2 1n nS n a− = −
,x y
2 2 0,
1 0,
0.
x y
x
y
+ − ≤
− ≥
≥
2z x y= −
0 2 4 6
z
【详解】
作出实数 ， 满足约束条件 表示的平面区域，如图所示．
由 可得 ，则 表示直线 在 轴上的截距，纵
截距越大， 越小．
作直线 ，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点 时， 最大， 最
小．
由 可得 ，此时 ，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关
键．
6．已知 F1、F2 为椭圆 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点，若
，则|AB|= ( )
A．6 B．7 C．5 D．8
【答案】D
【解析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2 的周长为 4a=20，再由周长，即可得到 AB
的长．
【详解】
椭圆 =1 的 a=5，
由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，
x y
2 2 0
1 0
0
x y
x
y
+ −
−
2z x y= − 1 1
2 2y x z= − 1
2 z− 1 1
2 2y x z= − y
z
2 0x y− = B 1
2 z− z
2 2 0
1
x y
x
+ − =
=
1(1, )2B 0z =
A
z
2 2
125 9
x y+ =
2 2 12F A F B+ =
2 2
25 9
x y+
则三角形 ABF2 的周长为 4a=20，
若|F2A|+|F2B|=12，
则|AB|=20﹣12=8．
故答案为：D
【点睛】
本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．
7．已知 是椭圆 的两个焦点，过 且垂直于 轴的直线交 于
两点，且 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在直角三角形 利用勾股定理求 ，再由椭圆的定义求 的值.
【详解】
因为 ，所以 ，又 ，
所以在直角三角形 中， ，
因为 ，所以 ，
所以椭圆的方程为： .
【点睛】
本题考查焦半径、椭圆的定义、椭圆的标准方程等知识，考查运算求解能力.
8．已知满足条件∠ABC=30°，AB=12，AC=x 的 ΔABC 有两个，则 x 的取值范围是（ ）
A．x=6 B．6
p
1
2x = 1 112 22 2 2 2
−+ = q p q∧
11．已知数列 满足 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先整理所给的递推关系式，然后累加求通项即可求得 的值.
【详解】
由 可得: ，
则：
，
则 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查数列递推关系的应用，裂项求通项的方法等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.
12．已知 为椭圆的左焦点，A,B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，且
，PO∥AB(O 为椭圆中心)，则椭圆的离心率为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先设出椭圆方程,利用 ,建立等式,结合椭圆的性质,即可得出答案.
【详解】
{ }na 1 1a = ( )*1
1 ( 1)
n n
n n
a aa a n Nn n
+
+− = ∈+ 10a
2
3
1
2
10
19
5
2
10a
1
1 ( 1)
n n
n n
a aa a n n
+
+− = + ( )1
1 1 1 1 1
1 1n na a n n n n+
− = = −+ +
10 10 9 9 8 2 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
a a a a a a a a
= − + − + + − +
1 1 1 1 1 191 19 10 8 9 2 10
= − + − + + − + =
10
10
19a =
1F
1 1PF F A⊥
1
2
3
2
2
2
3
4
OP ABk k=
设椭圆方程为
则点 P 的坐标为
利用 ,建立等式, ,解得
结合 得到, ,所以
【点睛】
本道题目考查了椭圆的性质,利用 ,建立等式,结合 ,即可得出答案.
二、填空题
13．若 ，则函数 的最小值为______.
【答案】
【解析】根据题意，由基本不等式，即可求出最小值.
【详解】
因为 ，
当且仅当 ，即 时，取等号；
即函数 为 .
故答案为
【点睛】
本题主要考查由基本不等式求最小值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
( ) ( ) ( )1 ,0 , ,0 , 0, ,F c A a B b−
2
, bc a
−
OP ABk k=
2b
b a
a c
=− −
b c=
2 2 2a b c= + 2a c= 2
2
ce a
= =
OP ABk k= 2 2 2a b c= +
2x > 34 2y x x
= + −
8 4 3+
3 34 4 8 8 2 12 8 8 4 32 2
= + = − + + ≥ + = +− −y x xx x
34 8 2
− = −x x
32 2
= +x
34 2y x x
= + − 8 4 3+
8 4 3+
14．直线 y=x-1 被椭圆 截得的弦长为 .
【答案】
【解析】由题意联立方程 ,设直线 被椭圆 的交点为
,从而化简可得 从而求弦长.
【详解】
由题意, ,
消去 y 整理得,
,
设直线 被椭圆 的交点为 ,
故 ,
故直线 被椭圆 截得的弦长为
,
故答案为: .
本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用,同时考查了弦长的求法,属于中档题.
【考点】本题考查弦长问题
点评：解决本题的关键是弦长公式应用
15．已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率 ，直线 交
椭圆于 两点，如果 的重心恰好为椭圆的右焦点 ，直线 方程为________．
【答案】
2
2 14
x y+ =
8 2
5
2
2 14
1
x y
y x
+ =
= −
1y x= − 2
2 14
x y+ =
( , 1)( , 1)m m n n− − 8
5m n− =
2
2 14
1
x y
y x
+ =
= −
(5 8) 0x x − =
1y x= − 2
2 14
x y+ = ( , 1)( , 1)m m n n− −
8
5m n− =
1y x= − 2
2 14
x y+ =
2
1 2
8 8 21 2 5 5d k x x= + − = × =
8 2
5
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > (0,4)B 5
5e = l
,M N BMN∆ F l
6 5 28 0x y− − =
【解析】
由题意得 ，
又 ，解得 。
∴椭圆的方程为 。
∴椭圆右焦点 的坐标为 ，
设线段 的中点为 ，
由三角形重心的性质知 ，从而 ，
解得 ，
所以点 Q 的坐标为 。
设 ，则 ，且 ，
以上两式相减得 ，
∴ ，
故直线的方程为 ，即 ．
答案：
点睛：弦中点问题的解决方法
（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
①设点——设出弦的两端点坐标；
②代入——代入圆锥曲线方程；
③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开；
④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解。
（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系
时，要注意使用条件 Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交。
16．下列说法中错误的是__________（填序号）
4b =
2 2 2
2
2 2 2
16 11 5
c a be a a a
−= = = − = 2 20a =
2 2
120 16
x y+ =
F (2,0)
MN 0 0( , )Q x y
2BF FQ=
0 0(2, 4) 2( 2, )x y− = −
0 03, 2x y= = −
(3, 2)−
1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 1 2 1 26, 4x x y y+ = + = − 2 2 2 2
1 1 2 21, 120 16 20 16
x y x y+ = + =
1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 020 16
x x x x y y y y+ − + −+ =
1 2 1 2
1 2 1 2
4 4 6 6
5 5 4 5MN
y y x xk x x y y
− += = − ⋅ = − × =− + −
62 ( 3)5y x+ = − 6 5 28 0x y− − =
6 5 28 0x y− − =
①命题“ ，有 ”的否定是
“ ”，有 ”；
②已知 ， ， ，则 的最小值为 ；
③设 ，命题“若 ，则 ”的否命题是真命题；
④已知 ， ，若命题 为真命题，则 的取值范
围是 .
【答案】①④
【解析】①命题“ ，有 ”的否定是
“∀x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）≤0”，故不正确；
②已知 a＞0，b＞0，a+b=1，则 =（ ）（a+b）=5+ ≥5+2 即
的最小值为 ，正确；
③设 x，y∈R，命题“若 xy=0，则 x2+y2=0”的否命题是“若 xy≠0，则 x2+y2≠0”，是真命
题，正确；
④已知 p：x2+2x﹣3＞0，q： ＞1，若命题（￢q）∧p 为真命题，则￢q 与 p 为真
命题，即 ，
则 x 的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞），故不正确．
故答案为：①④．
三、解答题
17．已知命题 ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆，命题 ： ,不等式
恒成立.
（1）若“ ”是真命题，求实数 的取值范围；
（2）若“ ”为假命题，“ ”为真命题，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）先求出命题 的等价条件，根据“ ”是真命题，即可求出实数 的取值
范围。
（2）若“ ”为假命题，“ ”为真命题，则 只有一个为真命题，即可求实数
1 2 1 2, ,x x M x x∃ ∈ ≠ 1 2 2 1[ ( ) ( )]( ) 0f x f x x x− − >
1 2 1 2, ,x x M x x∀ ∉ ≠ 1 2 2 1[ ( ) ( )]( ) 0f x f x x x− − ≤
0a > 0b > 1a b+ = 2 3
a b
+ 5 2 6+
,x y R∈ 0xy = 2 2 0x y+ =
2: 2 3 0p x x+ − > 1: 13q x
>− ( )q p¬ ∧ x
( , 3) (1,2) [3, )−∞ − ∪ ∪ +∞
1 2 1 2, ,x x M x x∃ ∈ ≠ ( ) ( ) ( )1 2 2 1 0f x f x x x − − >
2 3
a b
+ 2 3
a b
+ 2 3b a
a b
+ 6 2 3
a b
+
5 2 6+
1
3 x−
2 2 3 0
2 3
x x
x x
+
≤ ≥
﹣＞
或
p
2 2
12
x y
m
+ = x q x R∀ ∈
2 2 2 3 0x mx m+ + + >
q¬ m
p q∧ p q∨ m
( , 1] [3, )−∞ − ∪ +∞ ( ] [ )1,0 2,3−
q q¬ m
p q∧ p q∨ ,p q m
的取值范围。
【详解】
（1）因为 ,不等式 恒成立，
所以 ，解得 ，又“ ”是真命题等价于“ ”是假命题。
所以所求实数 的取值范围是
（2） 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
“ ”为假命题，“ ”为真命题，
一个为真命题，一个为假命题，
当 真 假时， 则 ，此时无解。
当 假 真时，则 ，此时 或
综上所述，实数 的取值范围是
【点睛】
本题考查命题的真假以及根据复合的真假求参数的取值范围，属于基础题。
18．锐角 的内角 的对边分别为 ，已知
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由正弦定理和题设条件，整理得 ，得到
，即可求解角 的大小；
(2)由正弦定理，得到 ，得到周长 ，
利用三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，因为 ，
由正弦定理可得： ，
x R∀ ∈ 2 2 2 3 0x mx m+ + + >
24 4(2 3) 0m m∆ = − + < 1 3m− < < q¬ q
m ( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞
2 2
12
x y
m
+ = x ∴ 0 2m< <
p q∧ p q∨
∴ ,p q
p q 0 2
1, 3
m
m m
< <
≤ − ≥
p q 0, 2
1 3
m m
m
≤ ≥
− < < 1 0m− < ≤ 2 3m≤ <
m ( ] [ )1,0 2,3−
ABC△ , ,A B C , ,a b c
3 cos sin 3b C c B a+ =
B
3b = ABC∆
3B
π= (3 3,3 3]+
sin sin 3 cos sinC B B C=
tan 3B = B
2sin , 2sina A c C= = 3 2 3sin( )6L A
π= + +
3 cos sin 3b C c B a+ =
3sin cos sin sin 3sinB C C B A+ =
又由 ，
代入整理得 ，
又由 ，则 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
(2)因为 ,且由正弦定理，可得 ，
即
所以周长
，
即
又因 为锐角三角形，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，则有 即 ，
即 的周长取值范围为 .
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦
定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正
弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基
础题．
19．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业在现有设备下每日生产总成
本 （单位：万元）与日产量 （单位：吨）之间的函数关系式为
，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘
设备，每吨产品除尘费用为 万元，除尘后当日产量 时，总成本 ．
sin sin( ) sin cos cos sinA B C B C B C= + = +
sin sin 3 cos sinC B B C=
(0, )C π∈ sin 0C > sin 3 cosB B= tan 3B =
(0, )B π∈
3B
π=
3, 3b B
π= =
3 2sin sin sin 3
2
a b c
A B C
= = = =
2sin , 2sina A c C= =
23 3 2(sin sin ) 3 2(sin sin( ))3L a b c a c A C A A
π= + + = + + = + + = + + −
3 33 2( sin cos ) 3 2 3sin( )2 2 6A A A
π= + + = + +
3 2 3sin( )6L A
π= + +
ABC∆ 2
3A C
π+ =
20 3 2
0 2
A
A
π π
π
< − <
< <
6 2A
π π< <
2( , )6 3 3A
π π π+ ∈ 3sin( ) ( ,1]6 2A
π+ ∈ (3 3,3 3]L∈ +
ABC∆ (3 3,3 3]+
y x
( )22 15 4 120 8y x k x k= + − + +
k 1x = 142y =
（1）求 的值；
（2）若每吨产品出厂价为 48 万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，
最大利润为多少？
【答案】（1） ；（2）除尘后日产量为 8 吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为
4 万元.
【解析】（1）求出除尘后的函数解析式，利用当日产量 x＝1 时，总成本 y＝142，代入
计算得 k＝1；（2）求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可．
【详解】
（1）由题意，除尘后总成本
，
∵当日产量 时，总成本 ，代入计算得 ；
（2）由（1） ，
总利润
每吨产品的利润 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
∴除尘后日产量为 8 吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为 4 万元．
【点睛】
本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题，考查基本不等式求最值，考查
学生的计算能力，属于中档题
20．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .数列
满足 ， .
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ，并求 的最小值.
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） ，最小值
.
【解析】（Ⅰ）根据等差数列前 项和为 的公式和等差数列的性质，推得 ，
，从而求出等差数列的公差，即可得出数列 的通项公式为 。利
k
1k =
( ) ( )2 22 15 4 120 8 2 15 3 120 8y x k x k kx x k x k= + − + + + = + − + +
1x = 142y = 1k =
22 12 128y x x= + +
( ) ( )2 248 2 12 128 36 2 128, 0L x x x x x x= − + + = − − >
64 6436 2 36 4 4L x xx x x
= = − + ≤ − ⋅ =
64x x
= 8x =
{ }na n ( )*
nS n∈N 1 6 4a a a+ = 6 9S = { }nb
1 2b = ( )1 *
1 2 2,n
n nb b n n−
−− = ≥ ∈N
{ }na { }nb
{ }n na b n nT nT
3 9na n= − 2n
nb = 1(3 12) 2 24n
nT n += − × +
2 3 24T T= = −
n nS 4 3a =
3 0a = { }na 3 9na n= −
用累加法即可求得 的通项公式。
（Ⅱ）利用错位相减法求数列 的前 项和 ，再利用数列的单调性求得 的最
小值。
【详解】
（Ⅰ）由 ，得 ， .
故 的公差 ， .
即数列 的通项公式为 .
当 时，
，
而 ，
故 ，即数列 的通项公式为 .
（Ⅱ） ，
，
上述两式相减，得
得 .
设 ，显然当 时， ， ，且单调递增.
而 ， ， ，故 的最小值为 .
【点睛】
本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用累加法求解数列的通项公式，以及错位相
减法求数列的前 项和，错位相减法常用在数列的通项公式形式为等差数列乘等比数列。
21．已知函数 .
（1）若 的解集为 ，求实数 的值；
（2）若 ，都 ，使 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ； （2） .
{ }nb
{ }n na b n nT nT
( ) ( )6 1 6 3 4 43 3 3 9S a a a a a= + = + = = 4 3a = 3 0a =
{ }na 3d = ( )3 3 3 9na a n d n= + − = −
{ }na 3 9na n= −
2n ≥
( ) ( ) ( ) 1 2
1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2n n n
n n n n nb b b b b b b b − −
− − −= − + − + + − + = + + + + =
1 2b =
2n
nb = { }nb 2n
nb =
( ) ( )2 16 2 3 2 3 12 2 3 9 2n n
nT n n−= − × − × + + − × + − ×
( ) ( )2 3 12 6 2 3 2 3 12 2 3 9 2n n
nT n n += − × − × + + − × + − ×
( )2 112 3 2 3 2 3 9 2n n
nT n +− = − + × +…+ × − − ×
( ) ( ) ( )1 1 112 3 2 4 3 9 2 24 3 12 2n n nn n+ + += − + × − − − × = − − − ×
( ) 13 12 2 24n
nT n += − × +
( ) 13 12 2n
nc n += − × 4n ≥ 0nc ≥ 24nT ≥
1 36c = − 2 48c = − 3 48c = − nT 2 3 24T T= = −
n
2
2
13( ) , ( ) 26 11
xf x g x x mxx
= = + ++
( )f x k< { | 3 2}x x− < < − k
1 [2,4]x∀ ∈ 2 [2,4]x∃ ∈ ( ) ( )1 2f x g x≥ m
1
5k = − 5( , ]4
−∞
【解析】（1）由题意可得 的两根是 ， ，运用韦达定理可得 ；
（2）问题转化为 ，分别求出函数 、 在给定区间上的最小
值，即可得出答案。
【详解】
（1）由 得 ，整理得 ，
因为不等式的解集为 ，所以方程 的两个根是 ， ；
由根与系数的关系得 ，即 ；
（2）由已知，只需 ，
因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，
由于 ，
所以函数 在 上的最小值为 ，
因为 开口向上，且对称轴为 ，故
①当 ，即 时， ，解得
；
②当 ，即 时，
，
解得 或 ，所以 ；
③当 ，即 时， ，
解得 ，所以 .
综上所述， 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查函数单调性和最值，考查分类讨论思想方法和任意性、存在性问题解法，注意
转化思想的运用，考查化简运算能力，属于难题．
22．设 为坐标原点，椭圆 的焦距为 ，离心率为 ，
直线 与 交于 ， 两点．
2 6 0kx x k− + = 3− 2− k
min min( ) ( )f x g x ( )f x ( )g x
( )f x k<
2 6
x kx
<+
2 6 0kx x k− + >
{ | 3 2}x x− < < − 2 6 0kx x k− + = 3− 2−
13 ( 2) k
− + − = 1
5k = −
min min( ) ( )f x g x
2
1( ) 66
xf x x x x
= =+ + [2, 6] [ 6,4]
1 2(2) , (4)5 11f f= =
( )f x [2,4] 2(4) 11f =
( )g x x m= −
2m− ≤ 2m ≥ − min
13 2( ) (2) 4 4 11 11g x g m= = + + ≤
52 4m− ≤ ≤ −
2 4m< − < 4 2m− < < −
2 2
min
13 2( ) ( ) 2 11 11g x g m m m= − = − + ≤
1m ≤ − m 1≥ 4 2m− < < −
4m− 4m ≤ − min
13 2( ) (4) 16 8 11 11g x g m= = + + ≤
17
8m ≤ − 4m ≤ −
m 5( , ]4
−∞
O
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 4 5 2 5
5
: ( 0)l y kx m m= + > C A B
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 ， ，求证：直线 过定点，并求出定点的坐标．
【答案】(1) (2)证明见解析，定点 ．
【解析】(1)由焦距和离心率求出 ，根据椭圆的性质求出 ,即可写出椭圆 的方程.
(2)将直线 代入椭圆方程，利用韦达定理求出 ， 结合直线 的方程，求出
， ,将 表示为坐标形式，化简求出 的值，根据直线方程的性
质即可得到直线 过定点的坐标.
【详解】
解：（1）
因为 ，则
故 ，所以椭圆 的方程为
（2）设 ， ，
联立 ，消去 整理可得
所以 ， ，
所以
因为 ，
所以
所以
C
(0,1)P 4PA PB⋅ = − l
2 2
125 5
x y+ = (0,2)
,a c b C
l 1 2x x+ 1 2x x l
1 2y y+ 1 2y y 4PA PB⋅ = − m
l
2 4 5 2 5c c= ⇒ =
2 5
5
ce a
= = 5a =
5b = C
2 2
125 5
x y+ =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2 2
125 5
y kx m
x y
= + + =
y ( )2 2 21 5 10 5 25 0k x mkx m+ + + − =
> 0∆ 1 2 2
10
1 5
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
5 25
1 5
mx x k
−= +
( )1 2 1 2 2
22 1 5
my y k x x m k
+ = + + = +
( )( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 2y y kx m kx m k x x km x x m= + + = + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
5 25 10 5 25
1 5 1 5
k m k k m m k m k m
k k
− − + + − += =+ +
(0,1)P
4PA PB⋅ = −
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2, 1 , 1 1 4x y x y x x y y y y− ⋅ − = + − + + = −
2 2 2
2 2 2
5 25 25 2 5 01 5 1 5 1 5
m k m m
k k k
− − ++ − + =+ + +
整理可得
解得 或 （舍去）
所以直线 过定点
【点睛】
本题难度较大，主要考查了椭圆的基本性质，向量的数量积以及直线与圆锥曲线的位置
关系，考查运算求解能力，属于难题.
23 10 0m m− − =
2m = 5
3m = −
l (0,2)
