2018-2019学年四川省成都外国语学校高二上学期第一次月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年四川省成都外国语学校高二上学期第一次月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 四川省成都外国语学校2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )‎ A． B． |a| C． |b| D． |c|‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出点P在XOY平面的投影点的坐标，然后利用空间任意两点的距离公式进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 点P在XOY平面的投影点的坐标是P'（a，b，0），所以 ‎|PP'|2=[（a﹣a）2+（b﹣b）2+（c﹣0）2]=c2‎ ‎∴点P（a，b，c）到坐标平面xOy的距离是|c|‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间一点到平面的距离，同时考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是 （ ）‎ A． 椭圆 B． 直线 C． 线段 D． 圆 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定点M在直线上，再利用长度关系，确定点M在线段F1F2上．‎ ‎【详解】‎ 若点M与F1，F2可以构成一个三角形，则|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，‎ ‎∵|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，‎ ‎∴点M在线段F1F2上．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹的求法，考查学生对椭圆定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎3．椭圆的长轴端点为M、N，不同于M、N的点P在此椭圆上，那么PM、PN的斜率之积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆方程求得M，N的坐标，设P的坐标为（2cosw，sinw），进而表示出PM、PN的斜率，二者相乘整理可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 依题意可知M（2，0），N（﹣2，0），P是椭圆上任意一点，设坐标为 P（2cosw，sinw），PM、PN的斜率分别是 K1=，K2=‎ 于是 K1×K2=•=×=﹣‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质． 从近几年年高考情况看，圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容，故应熟练掌握．‎ ‎4．若P点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，且,则的面积为（ ）‎ A． 2 B． 1 C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义可得 m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得m2+n2=4②，由①②可得m•n的值，利用△F1PF2的面积是m•n求得结果．‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的方程可得 a=，b=1，c=1，令|F1P|=m、|PF2|=n，‎ 由椭圆的定义可得 m+n=2a=2①，Rt△F1PF2 中，‎ 由勾股定理可得（2c）2=m2+n2，m2+n2=4②，由①②可得m•n=2，‎ ‎∴△F1PF2的面积是m•n=1，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质和定义，以及勾股定理的应用，属于中档题.‎ ‎5．圆和圆的公切线条数是（ ）‎ A． 4条 B． 3条 C． 2条 D． 1条 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断两个圆的位置关系，然后判断公切线条数．‎ ‎【详解】‎ 圆O1：x2+y2﹣2x=0的圆心（1，0）半径为1；圆O2：x2+y2﹣4y=0的圆心（0，2）半径为2，‎ O1O2==，∵1，∴两个圆相交，‎ 所以圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的公切线条数：2．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆与圆的位置关系和两圆公切线的判定；在处理两圆的公切线条数时，要把问题转化为两圆位置关系的判定：当两圆相离时，两圆有四条公切线；当两圆外切时，两圆有三条公切线；当两圆相交时，两圆有两条公切线；当两圆内切时，两圆有一条公切线；当两圆内含时，两圆没有公切线.‎ ‎6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得出2=4×2c，即可得出离心率大小．‎ ‎【详解】‎ ‎∵椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，‎ ‎∴2=4×2c，‎ 即=，‎ ‎∴e=，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 求解离心率的常用方法 ‎1.利用公式e=，直接求e.‎ ‎2.找等量关系，构造出关于，的齐次式，转化为关于e的方程求解．‎ ‎3.通过取特殊位置或特殊点求解． ‎ ‎4变用公式,整体求出e：以椭圆为例,如利用,；‎ ‎7．已知满足约束条件,若的最大值为,则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：不等式表示的平面区域如下图，的最大值为，∴最大值在取得，，当时，，即；当时，需满足，即，故.故选C．‎ 考点：简单线性规划．‎ ‎8．椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，则四边形的周长为（ ）‎ A． 6 B． C． 12 D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵过 的直线与椭圆交于两点，点关于 轴的对称点为点 ， ∴四边形 的周长为 ， ∵椭圆  ‎ ‎ ， ∴四边形 的周长为12． 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义，考查四边形的周长，正确运用椭圆的定义是解题的关键．‎ ‎9．若直线ax＋by—4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为(　　)‎ A． 0 B． 1 C． 2 D． 由a，b的取值来确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点，可推断点（a，b）是以原点为圆心，2为半径的圆内的点，根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆，进而可知点P是椭圆内的点，进而判断可得答案．‎ ‎【详解】‎ 因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点，‎ 所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=＞2，‎ 所以a2+b2＜4，‎ 所以点P（a，b）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点．‎ ‎∵椭圆的长半轴 3，短半轴为 2‎ ‎∴圆x2+y2=4内切于椭圆 ‎∴点P是椭圆内的点 ‎∴过点P（a，b）的一条直线与椭圆的公共点数为2．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆、直线与圆锥曲线的关系，以及点到直线的距离公式，解题的关键是确定点P是椭圆内的点．‎ ‎10．在正方体中， 在线段上运动且不与， 重合，给出下列结论：‎ ‎①；‎ ‎②平面；‎ ‎③二面角的大小随点的运动而变化；‎ ‎④三棱锥在平面上的投影的面积与在平面上的投影的面积之比随点的运动而变化；‎ 其中正确的是（ ）‎ A． ①③④ B． ①③‎ C． ①②④ D． ①②‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于①，连结，则，因为平面， 平面，所以，故可证平面，由平面，可证 ，故①正确；对于②，连结， ，则∥， ，即，因为平面， 平面， ，易证平面，由平面平面，所以可证平面，故②正确；对于③，当在直线上运动时， 的轨迹是平面， 的轨迹是平面，即二面角的大小不受影响，故③错误；对于④，由于三棱锥在平面与在平面上投影的等底的三角形，且高相等，所以三棱锥在平面上投影的面积与在平面上投影的面积之比不变，故④错误.‎ 故选D ‎11．已知等差数列中，若是方程的两根，单调递减数列通项公式为．则实数的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质和单调性，结合根与系数之间的关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由是的两根，∴．（或两根为）‎ ‎∵等差，∴，∴．‎ ‎∵递减，∴对恒成立，‎ ‎，∴对恒成立．∵，∴．∴故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查一元二次方程的韦达定理，考查等差数列的性质，考查数列的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)数列单调递增,数列单调递减.（3）处理参数的问题常用到分离参数法,本题就用到了分离参数对恒成立.‎ ‎12．已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点. 的重心为，内心为，且，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，设Q（x0，y0），由G为△F1QF2的重心，得G点坐标为（，），利用面积相等可得，×2c•|y0|=（2a+2c）||，从而求椭圆的离心率．‎ ‎【详解】‎ 椭圆的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0），‎ ‎∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为 G（，），‎ ‎∵，则∥，∴I的纵坐标为，‎ 又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，‎ ‎∴=•|F1F2|•|y0|，‎ 又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径，‎ 内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，‎ ‎∴=（|QF1|+|F1F2|+|QF2|）||，‎ 即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=，‎ ‎∴该椭圆的离心率，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．如果实数满足等式，那么的最大值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设 代入得 ‎ 由得，的最大值是 考点：直线和圆的位置关系 ‎14．过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 直线的斜率为1， ∴过点直径所在直线方程斜率为-1，∵， ∴此直线方程为 ，即 ， 设圆心C坐标为 ， 即 ‎ 解得 ， ∴圆心坐标为 ，半径为 ， 则圆方程为 ． 故答案为 ．‎ ‎【点睛】本题考查圆的标准方程，两点间的距离公式，两直线垂直时斜率满足的关系，求出圆心坐标与半径是解题的关键．‎ ‎15．在直线上取一点,过作以为焦点的椭圆，则当 最小时，椭圆的标准方程为____________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为|MF1|+|MF2|=2a，即问题转化为在直线上求一点M，使M到F1，F2的距离的和最小，求出F1关于l的对称点F，即求M到F、F2的和最小，FF2的长就是所求的最小值．‎ ‎【详解】‎ 设F1（﹣3，0）关于l：x﹣y+9=0的对称点 F（x，y）‎ 则，即F（﹣9，6），‎ 连F2F交l于M，点M即为所求．‎ F2F：即x+2y﹣3=0‎ 解方程组，即M（﹣5，4）‎ 当点M′取异于M的点时，|FM′|+|M′F2|＞|FF2|．‎ 满足题意的椭圆的长轴 所以，b2=a2﹣c2=45﹣9=36‎ 所以椭圆的方程为：．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，问题转化为在直线上求一点M，使M到F1，F2的距离的和最小是解题的关键．‎ ‎16．椭圆的下顶点为P，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，为ON的倾斜角，且，则e的取值范围_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立，解得yN，联立，解得yM．利用yN﹣yM=a，化为：，利用e==即可得出．同理：把直线方程y=x，y=x﹣a与椭圆方程分别联立可得：a=3b．即可得出离心率．‎ ‎【详解】‎ 联立，解得yN=，‎ 联立，解得yM=．‎ 则yN﹣yM=﹣=a，化为：，此时e===．‎ 同理：把直线方程y=x，y=x﹣a与椭圆方程分别联立可得：yN=，yM=．‎ yN﹣yM=a，化为a=3b．‎ ‎∴e=．‎ ‎∴椭圆C的离心率的取值范围为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 题考查了直线与椭圆相交问题、离心率计算公式、平行四边形的性质、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在等差数列中， ，其前项和为，等比数列的各项均为正数， ，公比为，且， ．‎ ‎（Ⅰ）求与．‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，求的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）有已知条件得，解出， ，即得与（Ⅱ）由， ，裂项相消法求和 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设等差数列公差为，‎ 由题目列出各方程：‎ 即，‎ 即，‎ 得，解出， ，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）∵‎ ‎,‎ ‎．‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎18．（本小题满分12分）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，且 成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求 的值；‎ ‎（Ⅱ）若 求 的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由题意得，利用正弦定理将边化为角： 成等比数列，再将所求式切化弦，代入即可：（Ⅱ）由余弦定理得将角化为边：，从而解得 试题解析：解：（1）依题意， ，由正弦定理及 ，得 .‎ ‎ ‎ ‎（2）由知， ，‎ 又， ‎ 从而 ‎ 又余弦定理，得 ，‎ 代入，解得 考点：正余弦定理 ‎19．已知离心率为的椭圆的一个焦点坐标为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线与轨迹交于不同的两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由离心率为，及一个焦点坐标为，求出基本量，可得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积公式，即可求得的取值范围．‎ 试题解析：（1）由知，‎ 所以椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，显然，此时；‎ 当直线的斜率存在时，设，设 ‎ 联立消得： ，‎ ‎，‎ 由 由知；‎ 综上所述： .‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量知识的运用，以及分析解决问题的能力，其中灵活应用韦达定理是解题的关键 ‎20．已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为为坐标原点．‎ ‎（1）求的轨迹方程；‎ ‎（2）当时，求的方程及的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）， .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出的坐标，由与数量积等于列式得的轨迹方程；（Ⅱ）设的轨迹的圆心为，由得到，求岀所在直线的斜率，由直线的方程的点斜式得到所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出的长度，代入三角形的面积公式得答案.‎ 试题解析：（Ⅰ） 圆的方程可化为,‎ 所以圆心为,半径为.‎ 设,则.‎ 由题设知,故,即.‎ 由于点在圆的内部,所以的轨迹方程是.‎ ‎（Ⅱ）由(1)可知的轨迹是以点为圆心, 为半径的圆.‎ 由于,故在线段的垂直平分线上,又在圆上,从而.‎ 因为的斜率为,所以直线的斜率为,故的方程为.‎ 又, 到直线的距离为,‎ 故,所以的面积为.‎ 考点：1、直接法求轨迹方程；2、点到直线的距离公式及三角形面积公式.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意得动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题（Ⅰ）就是利用方法①求的轨迹方程的.‎ 视频 ‎21．一动圆与定圆外切，同时和圆内切，定点A（1,1）.‎ ‎（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程，并说明是何种曲线；‎ ‎（2）M为E上任意一点， F为E的左焦点，试求的最小值；‎ ‎（3）试求的取值范围；‎ ‎【答案】(1) ；（2）13；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，推出结果即可；‎ ‎（2）利用椭圆的第二定义则=e=将|AM|+2|MF|转化为|AM|+|MN|，当A，M，N同时在垂直于左准线的一条直线上时，|AM|+2|MF|取得最小值；‎ ‎（3）椭圆右焦点设为F1，连接MF1．利用椭圆的定义以及在三角形中，两边之差总小于第三边，当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，求解即可，利用 ‎|MA|+|MF2|=|MA|+12﹣|MF1|=12﹣（|MF1|﹣|MA|）≥12﹣|AF1|，即可得出其最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆x2+y2+6x+5=0的圆心为A（﹣3，0），半径为2；‎ 圆x2+y2﹣6x﹣91=0的圆心为B（3，0），半径为10；‎ 设动圆圆心为M（x，y），半径为x；‎ 则MA=2+r，MB=10﹣r；‎ 于是MA+MB=12＞AB=6‎ 所以，动圆圆心M的轨迹是以A（﹣3，0），B（3，0）为焦点，长轴长为12的椭圆．‎ a=6，c=3，b2=a2﹣c2=27；‎ 所以M的轨迹方程为 ‎（2）显然椭圆的a=6，c=3，e=，记点M到左准线的距离为|MN|，‎ 则=e=，|MN|=2|MF|，即|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|，‎ 当A，M，N同时在垂直于左准线的一条直线上时，|AM|+2|MF|取得最小值，‎ 即A点到左准线的距离1+．‎ ‎（3）椭圆右焦点设为F1（3，0），连接MF1．‎ ‎|MA|+|MF|=|MA|+2a﹣|MF1|=12+|MA|﹣|MF1|．‎ 即|MA|﹣|MF1|最大时，|MA|+|MF|最大．‎ 在△AMF1中，两边之差总小于第三边，所以当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，‎ ‎|MA|﹣|MF1|=|AF1|=．‎ 所以|MA|+|MF|的最大值是．‎ ‎∵|AF1|==．‎ ‎|MA|+|MF|=|MA|+10﹣|MF1|=12﹣（|MF1|﹣|MA|）≥12﹣|AF1|=12﹣，‎ 其最小值为12﹣．‎ ‎∴的取值范围 ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．‎ ‎22．在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，平面内两点、同时满足：①++=；②||=||=||；③∥．‎ ‎（1）求顶点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与点的轨迹相交弦分别为，设弦的中点分别为．求四边形的面积的最小值；‎ ‎【答案】(1) ;(2)当，即时取等号．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由++=可得P为△ABC的重心，设A（x，y），则P（），再由||=||=||，知Q是△ABC的外心，Q在x轴上，再由∥，可得Q（），结合||=||求得顶点A的轨迹E的方程；‎ ‎（2）F（，0）恰为的右焦点．当直线l1，l2的斜率存在且不为0时，设直线l1 的方程为my=x﹣．联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A、B的纵坐标得到和与积，根据焦半径公式得|A1B1|、|A2B2|，代入四边形面积公式再由基本不等式求得四边形A1A2B1B2的面积S的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，由①知，∴为的重心，设，则，由②知是的外心，∴在轴上由③知，由，得，化简整理得：．‎ ‎（2）解：恰为的右焦点，‎ ‎①当直线的斜率存且不为0时，设直线的方程为，‎ 由，‎ 设则，‎ ‎①根据焦半径公式得，‎ 又，‎ 所以，同理，‎ 则，‎ 当，即时取等号．‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎