2017-2018学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（普通班）下学期期中考试数学（理）试题 Word版
定远育才学校2017-2018学年度第二学期期中考试
高二理科数学试卷
（本卷满分：150分，时间：120分钟） 出卷人：
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.若复数(a－1)(a－3)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A． 3 B． 1 C． 1或3 D． －1
2.给出下列四个命题：(1)若z∈C，则z2≥0; (2)2i－1虚部是2i；(3)若a＞b，则a＋i＞b＋i；(4)若z1，z2∈C，且z1＞z2，则z1，z2为实数．其中正确命题的个数为( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
3.设i为虚数单位，则复数z＝的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
4.给出4个命题：
①若，则x=1或x=2；②若，则；
③若x=y=0，则；④若，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么：（ ）
A． ①的逆命题为真 B． ②的否命题为真 C． ③的逆否命题为假 D． ④的逆命题为假
5.已知集合A＝{x∈R|＜2x＜8}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D． －2＜m＜2
6.给出两个命题：p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点；q：若<1，则x>1，那么在下列四个命题中，真命题是( )
A． (﹁p)∨q B．p∧q C． (﹁p)∧(﹁q) D． (﹁p)∨(﹁q)
7.下列命题的否定为假命题的是( )
A ∀x∈R，－x2＋x－1<0 B ∀x∈R，|x|>x
C．∀x，y∈Z，2x－5y≠12 D．∃x0∈R，sin2x0＋sinx0＋1＝0
8.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则( )
A． ﹁p:∀x∈A,2x∉B B． ﹁p:∀x∉A,2x∉B C． ﹁p:∃x∉A,2x∈B D． ﹁p:∃x∈A,2x∉B
9.设随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，则参数n，p的值为( )
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4 C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
10.设随机变量ξ～N(2,2)，则D的值为( )
A．1 B．2 C． D．4
11.若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ≤－1.96)＝0.025，则P(<1.96)等于( )
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
12.已知x,y取值如下表:
若x,y具有线性相关关系,且回归方程为y=0.95x+a,则a=( )
A．0.325 B．2.6 C．2.2 D．0
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.若某地财政收入x与支出y满足线性回归方程y=bx+a+e(单位:亿元),其中b=0.8,a=2,|e|≤0.5.如果今年该地区财政收入10亿元,年支出预计不会超过______________
14.已知复数z＝lg(x2－1)＋ilg(x－1)(其中i是虚数单位)，若z在复平面上对应的点位于第三象限，则实数x的取值范围是____．
15.随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，C为常数，则P(0.5
0，且￢p是￢q的必要非充分条件，求a的取值范围．
18. (本题12分)
已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．
19. (本题12分)
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列．
20. (本题12分)
电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性．若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
附：＝.
21. (本题12分)一个人每天开车上班，从他家到上班的地方有6个十字路口．假设他在各十字路口遇到红灯的事件相互独立，并且概率都是.假设他只在遇到红灯或到达上班地点时才停车．
(1)设X为这人首次停车前经过的路口数，求X的分布列；
(2)设Y为这人途中遇到红灯的次数，求Y的期望和方差；
(3)求这人首次遇到红灯前已经过两个十字路口的概率．
22. (本题12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
答案解析
1.【答案】A
【解析】∵复数(a－1)(a－3)＋(a－1)i是纯虚数，a是实数．
∴
解得a＝3.
2.【答案】A
【解析】当z＝i时，z2＝－1＜0，故(1)若z∈C，则z2≥0为假命题；
2i－1虚部是2，故(2)2i－1虚部是2i为假命题；
虚数无法比较大小，故(3)若a＞b，则a＋i＞b＋i为假命题；
若z1，z2∈C，且z1＞z2，则z1，z2为实数为真命题．
3.【答案】C
【解析】复数z＝＝＝－1＋2i.
复数z＝的共轭复数－1－2i在复平面内所对应的点(－1，－2)位于第三象限．
4.【答案】A
【解析】由四种命题的定义可知
5.【答案】C
【解析】A＝{x∈R|＜2x＜8}＝{x|－1＜x＜3}∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A
∴A是B的真子集 ∴m＋1＞3，即m＞2.
6.【答案】D
【解析】对于p，函数对应的方程x2－x－1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0.
可知函数有两个不同的零点，故p为真．当x<0时，不等式<1恒成立；
当x>0时，不等式的解为x>1.故不等式<1的解为x<0或x>1.
故命题q为假命题．所以只有(﹁p)∨(﹁q)为真．故选D.
7.【答案】A
【解析】命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有选项A中的命题为真命题，其余
均为假命题，所以选A
8.【答案】D
【解析】选D.根据题意可知命题p:∀x∈A,2x∈B的否定是﹁p:∃x∈A,2x∉B.
9.【答案】B
【解析】E(ξ)＝np＝2.4，D(ξ)＝np(1－p)＝1.44，解得n＝6，p＝0.4.
10.【答案】C
【解析】∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2，∴D＝D(ξ)＝×2＝.
11.【答案】C
【解析】由随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)．
所以P(<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.
12.【答案】B
【解析】由已知=2,=4.5,而回归方程过点,则4.5=0.95×2+a,∴a=2.6.
13.
【解析】代入数据y=10+e,因为|e|≤0.5,所以|y|≤10.5,故不会超过10.5亿.
14.【答案】(1，)
【解析】依题意，得⇒
⇒
解得1＜x＜.
∴实数x的取值范围是(1，)．
15.【答案】
【解析】由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，得
＝1，解得C＝.
∴随机变量X分布列为：
∴P(0.53.841.故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%.
17.【答案】见解析
【解析】设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0 (a<0)}＝{x|3a0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}
＝{x|x<－4或x≥－2}．
∵￢p是￢q的必要非充分条件，∴￢q⇒￢p，且￢pD⇒/￢q.
则{x|￢q}{x|￢p}，而{x|￢q}＝∁RB＝{x|－4≤x<－2}，
{x|￢p}＝∁RA＝{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}，∴{x|－4≤x<－2}{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}，
则或，即－≤a<0或a≤－4.
18.【答案】见解析
【解析】若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则
,解得m＞2，即命题p：m＞2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，
解得1＜m＜3，即命题q：1＜m＜3.
∵“p∨q”为真，∴p，q至少有一个为真，
又“p∧q”为假，∴命题p，q至少有一个为假，
因此，命题p，q应一真一假，即命题p为真、命题q为假或命题p为假、命题q为真．
∴或. 解得m≥3或1＜m≤2，
即实数m的取值范围为[3，＋∞)∪(1，2].
19.【答案】(1) 0.9；(2)
【解析】(1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题意知，A与B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.
所以，该下岗人员没有参加过培训的概率为
P(AB)＝P(A)·P(B)＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1.
所以该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.
(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布，即～B(3, 0.9)，
P(＝k)＝，k＝0,1,2,3，
所以ξ的分布列是
20.【答案】(1)
(2)
【解析】(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得的观测值
k＝=≈3.030．
因为3.030＜3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为
Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}．
其中ai表示男性，i＝1,2,3．bj表示女性，j＝1,2．
Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则
A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，
事件A由7个基本事件组成，因而
P(A)＝．
21.【答案】见解析
【解析】(1)X的取值为0,1,2,3,4,5,6，
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝×＝，
P(X＝4)＝×＝，P(X＝5)＝×＝，P(X＝6)＝＝.
∴X的分布列如下
(2)由题意知：Y～B，∴E(Y)＝np＝6×＝2，D(Y)＝np(1－p)＝6××＝.
(3)由(1)知P(X＝2)＝×＝.
22.【答案】见解析
【解析】(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．
为此对数据预处理如下：
对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2.
＝
＝＝6.5，＝3.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
－257＝(x－2 006)＋＝6.5(x－2 006)＋3.2，即＝6.5(x－2 006)＋260.2.①
(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
