数学文卷·2019届河北省安平中学高二上学期期末考试（2018-01）

数学文卷·2019届河北省安平中学高二上学期期末考试（2018-01）

安平中学 2017—2018 学年上学期期末考试 数 学试题 （高二普通文） 考试时间 120 分钟 试题分数 150 分 一、选择题：（每题只有一个正确选项。共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分。 1.复数 的实部与虚部之差为（ ） A．-1 B．1 C． D． 2. “a = l”是“函数 在区间 上为增函数”的( ) (A)充分不必要条件 （B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范 围是( ) （A）（–∞，1）（B）（–∞，–1）（C）（1，+∞）（D）（–1，+∞） 4.下列四个命题中，正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C.若 ，则 D．若 ，则 5.某产品在某零售摊位的零售价 x（单位：元）与每天的销售量 y（单位：个） 的统计资料如表所示： x 16 17 18 19 y 50 34 41 31 由表可得回归直线方程 = x+ 中的 =﹣4，据此模型预测零售价为 20 元时， 每天的销售量为　　　（　　） A．26 个 B．27 个 C．28 个 D．29 个 6．若函数 在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调 sin cosx θ θ= ( )6 3 4 i i i − + − 7 5 − 7 5 1x > ( ),1 , 1y xy∀ ∈ −∞ ≠ sin cosx θ θ= ( ) 10, , 2xθ π∀ ∈ ≠ 1x > ( ),1 , 1y xy∃ ∈ −∞ = ( )0, , 1xθ π∃ ∈ = 2( ) 2 lnf x x x= − 函数，则实数 k 的取值范围是( 　) A．[1，＋∞) B．[3 2，2) C．[1,2) D．[1，3 2) 7．如图是函数 的大致图象，则 等于（ ） A． B． C． D． 8．设 ，则（ ） A． B． C． D． 9.要证明 + ＜2 ，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 （ ）. A． 反证法 B．分析法 C．综合法 D．做差比较法 10．若函数 在 内有极小值，则实数 的取值范围是 ( ) A． B． C． D． 11.设函数 ，则 的值为（ ） A. B. C. 中较小的数 D. 中较大的数 12.已知函数 的导数为 ，且 对 恒成 立，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C. D． 二. 填空题（共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分。） b3bx6x)x(f 3 +−= )1,0( b )1,0( )1,(−∞ ),0( ∞+ )2 1,0( ( )f x 3 2( )f x x bx cx d= + + + 2 2 1 2x x+ 3 2 3 4 3 8 3 12 11 5 11 4 11 3 11 2 log 1 log 1 log 1 log 1 +++=P 10 << P 21 << P 32 << P 43 << P 3 7 5 1, 0( ) 1, 0 xf x x − >=  < ( ) ( ) ( ) ( )2 a b a b f a b a b + − − − ≠ a b ,a b ,a b ( )f x′ ( ) ( ) ( )1 0x f x xf x+ + ≥′ [ )0,x∈ +∞ ( ) ( )1 2 2f ef< ( ) ( )1 2ef f< ( )1 0f < ( ) ( )2 2ef e f< 1 2X1 X2 xO 13．某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况，随机抽取了 500 户居民去年 的用电量（单位：kw/h），将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示； 其中直方图从左到右前 3 个小矩形的面积之比为 1：2：3．该乡镇月均用电量在 37～39 之内的居民共有　　　　户． 14. 在[﹣1，1]上任取一数 a，在[1，2]上任取一数 b，则点（a，b）满足 a2+b2≤2 的概率为 . 15.已知整数的数对列如下: (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3), (3,2),(4,1),(1,5), (2,4),… 则第 60 个数对是 . 16.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的 面积恒为 .类比到空间，有两个棱长均为 a 的正方体，其中一个的某顶点 在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 . 4 2a 二、解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 已知 均为实数，且 ， 求证： 中至少有一个大于 。 18．（本小题满分 12 分） (1)．设复数 满足 ,且 是纯虚数,求 . (2)．已知复数 满足: 求 的值. 19．（本小题满分 12 分）某高校经济管理学院在 2014 年 11 月 11 日“双 11 购 物节”期间，对 [25，55]岁的人群随机抽取了 100 人进行调查，得到各年龄段 人数频率分布直方图．同时对这 100 人是否参加“商品抢购”进行统计，结果 如下表： （1）求统计表中 a 和 p 的值； （2）从年龄落在（40，50]内的参加“商品抢购”的人群中，采用分层抽样法 抽取 6 人参加满意度调查，在抽取的 6 人中，有随机的 2 人感到“满意”，设 cba ,, 62,32,22 222 πππ +−=+−=+−= xzczybyxa cba ,, 0 z 1z = (3 4 )i z+  z − z 1 3 ,z i z= + − 2 2(1 ) (3 4 ) 2 i i z + + 感到“满意”的 2 人中年龄在（40，45]内的人数为 X，求 X 的分布列和数学期 望． （3）通过有没有 95%的把握认为，进行“商品抢购”与“年龄低于 40 岁”有关？ 说明你的理由． 组数 分组 抢购商品的人数 占本组的频率 第一组 [25，30） 12 0.6 第二组 [30，35） 18 p 第三组 [35，40） 10 0.5 第四组 [40，45） a 0.4 第五组 [45，50） 3 0.3 第六组 [50，55） 1 0.2 附：K2= P（χ2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 20.（本题满分 12 分） 已知函数 ，其中 ． （Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）当 时，求函数 的单调区间． 21（本小题满分 12 分） 设 . （1）若 在 上存在单调递增区间，求 的取值范围； （2）当 时， 在 上的最小值为 ，求 在该区间上 的最大值. 22.（本题满分 12 分） 已知函数 f（x）=excosx−x. （Ⅰ）求曲线 y= f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值. axxxxf 22 1 3 1)( 23 ++−= )(xf ),3 2( +∞ a 20 << a )(xf ]4,1[ 3 16− )(xf 2 2 2 1( ) ( )1 ax af x xx − += ∈+ R a∈R 1a = ( )y f x= (2 (2))f， 0a ≠ ( )f x π 2 高二文班数学答案 BABCD DCBBD DA 13. 125 14. 15.(5,7) 16. 17. （本题满分 10 分） 证明：假设 都不大于 ，即 ，得 ， 而 ， 即 ，与 矛盾， 中至少有一个大于 。 18. （本题满分 12 分） (1)．解：设 ，由 得 ； 是纯虚数，则 ， (2)．解：设 ，而 即 则 19.（本题满分 12 分） 解：（1）因为总人数为 100， 所以在[40，45）岁的人数为 100×5×0.03=15，所以 a=15×0.4=6； 因为年龄在[30，35）岁的人数的频率为 1﹣5×（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）=0.3， 所以年龄在[30，35）岁的人数为 100×0.3=30，所以 p= =0.6； 8 3a cba ,, 0 0, 0, 0a b c≤ ≤ ≤ 0a b c+ + ≤ 2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 3 3 0a b c x y z π π+ + = − + − + − + − ≥ − > 0a b c+ + > 0a b c+ + ≤ , ,a b c∴ 0 ,( , )z a bi a b R= + ∈ 1z = 2 2 1a b+ = (3 4 ) (3 4 )( ) 3 4 (4 3 )i z i a bi a b a b i+ = + + = − + + 3 4 0a b− = 2 2 4 4 1 5 5,3 33 4 0 5 5 a aa b a b b b  = = −   + = ⇒  − =   = = −   或 4 3 4 3,5 5 5 5z i i − = − − +或 ,( , )z a bi a b R= + ∈ 1 3 ,z i z= + − 2 2 1 3 0a b i a bi+ − − + + = 2 2 41 0 , 4 333 0 aa b a z ibb  = − + + − = ⇒ = − +  =− =  2 2(1 ) (3 4 ) 2 ( 7 24 ) 24 7 3 42 2( 4 3 ) 4 i i i i i iz i i + + − + += = = +− + − （2）依题意，抽取年龄在[40，45）岁之间 4 人，抽取年龄在[45，50）岁之间 2 人， X 可以取 0，1，2； P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ； 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 所以 E（X）=0× +1× +2× = ； （3）可得 2×2 列联表为 年龄在 40 以下 年龄不在 40 以下 合计 参加抢购 40 10 50 未参加抢购 30 20 50 合计 70 30 100 计算 K2= ， 因此有 95%的把握认为，进行“商品抢购”与“年龄低于 40 岁”有关． 20.（本题满分 12 分） （Ⅰ）当 时， ， ， 又 ， ． 所以，曲线 在点 处的切线方程为 ， 即 ． （Ⅱ） ． 由于 ，以下分两种情况讨论： （1）当 时，令 ，得到 ， ．当 变化时， 的变 化情况如下表： 1a = 2 2( ) 1 xf x x = + 4(2) 5f = 2 2 2 2 2 2 2( 1) 2 2 2 2( ) ( 1) ( 1) x x x xf x x x + − ⋅ −′ = =+ + 6(2) 25f ′ = − ( )y f x= (2 (2))f， 4 6 ( 2)5 25y x− = − − 6 25 32 0x y+ − = 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 (2 1) 2( )( 1)( ) ( 1) ( 1) a x x ax a x a axf x x x + − − + − − +′ = =+ + 0a ≠ 0a > ( ) 0f x′ = 1 1x a = − 2x a= x ( ) ( )f x f x′ ， 0 0 极小值 极大值 所以 在区间 ， 内为减函数，在区间 内为增函数． （2）当 时，令 ，得到 ，当 变化时， 的变 化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 所以 在区间 ， 内为增函数，在区间 内为减函数． 21.（本题满分 12 分） 解：（1） 在 上存在单调递增区间，即存在某个子区间 使得 .由 ， 由于导函数 在区间 上单调递减，则只需 即可。 由 解得 ， 所以 当 时， 在 上存在单调递增区间. ………6 分 （2）令 ，得两根 ， . )(xf ),3 2( +∞ ),3 2(),( +∞⊆nm 0)(' >xf axaxxxf 24 1)2 1(2)( 22' ++−−=++−= )(' xf ),3 2[ +∞ 0)3 2(' >f 029 2)3 2(' >+= af 9 1−>a 9 1−>a )(xf ),3 2( +∞ 0)(' =xf 2 811 1 ax +−= 2 811 2 ax ++= x 1 a  − −  ，∞ 1 a 1 aa  −  ， a ( )a +， ∞ ( )f x′ − + − ( )f x ( )f x 1 a  − −  ，∞ ( )a +， ∞ 1 aa  −  ， 0a < ( ) 0f x′ = 1 2 1x a x a = = −， x ( ) ( )f x f x′ ， x ( )a− ，∞ a 1a a  −  ， 1 a − 1 a  −  ，+∞ ( )f x′ + − + ( )f x ( )f x ( )a− ，∞ 1 a  −  ，+∞ 1a a  −  ， 所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增……8 分 当 时，有 ，所以 在 上的最大值为 又 ，即 ……………10 分 所以 在 上的最小值为 ，得 ， ， 从而 在 上的最大值为 . ……12 分　 22.（本题满分 12 分）　 解：（Ⅰ）因为 ，所以 . 又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅱ）设 ，则 . 当 时， ，所以 在区间 上单调递减. 所以对任意 有 ，即 .所以函数 在区间 上单 调递减. 因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 . )(xf ),( 1x−∞ ),( 2 +∞x ),( 21 xx 20 << a 41 21 <<< xx )(xf ]4,1[ )( 2xf 062 27)1()4( <+−=− aff )1()4( ff < )(xf ]4,1[ 3 16 3 408)4( −=−= af 1=a 22 =x )(xf ]4,1[ 3 10)2( =f ( ) e cosxf x x x= − ( ) e (cos sin ) 1, (0) 0xf x x x f′ ′= − − = (0) 1f = ( )y f x= (0, (0))f 1y = ( ) e (cos sin ) 1xh x x x= − − ( ) e (cos sin sin cos ) 2e sinx xh x x x x x x′ = − − − = − π(0, )2x∈ ( ) 0h x′ < ( )h x π[0, ]2 π(0, ]2x∈ ( ) (0) 0h x h< = ( ) 0f x′ < ( )f x π[0, ]2 ( )f x π[0, ]2 (0) 1f = π π( )2 2f = −