【数学】2018届一轮复习人教A版（理）4-1任意角和弧度制及任意角的三角函数学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）4-1任意角和弧度制及任意角的三角函数学案

‎§4.1　任意角和弧度制及任意角的三角函数 考纲展示►　‎ ‎1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念．‎ ‎2．能进行弧度与角度的互化．‎ ‎3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．‎ 考点1　角的集合表示及象限角的判定 角的概念 ‎(1)角的形成 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置________到另一个位置所成的________．‎ ‎(3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．‎ 答案：(1)旋转　图形 ‎(2)逆时针　顺时针 ‎(1)[教材习题改编]终边在直线y＝x上的角的集合是________．‎ 答案： 解析：在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的正角有两个，即为45°，225°，写出与其终边相同的角的集合，整合即得．‎ ‎(2)[教材习题改编]①－160°＝________rad; ‎ ‎② rad＝________度．‎ 答案：①－　②54　‎ 解析：①－160°＝－×π rad＝－ rad.‎ ‎② rad＝×180°＝54°.‎ 混淆几种角的概念：任意角；终边相同的角；象限角．‎ 下列命题叙述正确的有________个．‎ ‎①小于90°的角是锐角；‎ ‎②终边相同的角相等；‎ ‎③第二象限角大于第一象限角．‎ 答案：0‎ 解析：①角是任意的，有正角、零角、负角，小于90°的角也可以是零角或负角；②比如30°和390°，它们的终边相同，但它们不相等. 终边相同的角，它们相差360°的整数倍，相等的角终边一定相同；③由于终边相同的角的无限性，故第二象限角不一定大于第一象限角．‎ ‎[典题1]　(1)①若角θ的终边与的终边相同，则在[0,2π)内终边与的终边相同的角为________．‎ ‎[答案]　①，， ‎②终边在直线y＝x上的角的集合为________．‎ ‎[答案]　 ‎③已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角α的集合为________．‎ ‎[答案]　{α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·180°，n∈Z}　‎ ‎(2)如果α是第三象限的角，则角－α的终边所在位置是______，角2α 的终边所在位置是______，角终边所在的位置是______．‎ ‎[答案]　第二象限　第一、二象限及y轴的非负半轴　第一、三、四象限 ‎[解析]　由α是第三象限的角，得π＋2kπ<α<＋2kπ⇒－－2kπ<－α<－π－2kπ，‎ 即＋2kπ<－α<π＋2kπ(k∈Z)，‎ ‎∴角－α的终边在第二象限．‎ 由π＋2kπ<α<＋2kπ，得 ‎2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ(k∈Z)，‎ ‎∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．‎ 因为π＋2kπ<α<＋2kπ(k∈Z)，‎ 所以＋<<＋(k∈Z)．‎ 当k＝3n(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)；‎ 当k＝3n＋1(n∈Z)时，π＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)；‎ 当k＝3n＋2(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)．‎ 所以的终边在第一、三、四象限．‎ ‎[点石成金]　1.终边在某直线上角的求法四步骤 ‎(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；‎ ‎(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；‎ ‎(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；‎ ‎(4)求并集化简集合．‎ ‎2．确定kα，(k∈N*)的终边位置三步骤 ‎(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；‎ ‎(2)再写出kα或的范围；‎ ‎(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置．‎ 考点2　扇形的弧长及面积公式 ‎ 　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 弧度制 ‎(1)1弧度的角 长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．‎ ‎(2)角α的弧度数 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.‎ ‎(3)角度与弧度的换算 ‎①180°＝________ rad；②1°＝ rad；③1 rad＝°.‎ ‎(4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝________，扇形的面积为S＝lr＝|α|·r2.‎ 答案：(1)半径长　(3)π　(4)|α|r ‎(1)[教材习题改编]单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　)‎ A．10π B．9π ‎ C. D. 答案：D ‎(2)[教材习题改编]半径为‎120 mm的圆上长为‎144 mm的弧所对圆心角的弧度数是________．‎ 答案：1.2‎ 解析：根据圆心角弧度数的计算公式，得 α＝＝1.2.‎ 周长为定值的扇形中，当圆心角________时面积最大；面积为定值的扇形中，当圆心角________时周长最小．‎ 答案：θ＝2　θ＝2‎ ‎[典题2]　若扇形的周长为10，面积为4，则该扇形的圆心角为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设圆心角是θ，半径是r，‎ 则解得或(舍去)．‎ 故扇形圆心角为.‎ ‎[题点发散1]　若去掉本例条件“面积为‎4”‎，则当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？‎ 解：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝10.‎ S＝θ·r2＝r(10－2r)＝r(5－r)‎ ‎＝－2＋≤，‎ 当且仅当r＝时，Smax＝，θ＝2.‎ 所以当r＝，θ＝2时，扇形面积最大．‎ ‎[题点发散2]　若本例中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是多少？‎ 解：设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为r，‎ ‎∴圆心角的弧度数是＝.‎ ‎[点石成金]　涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示.‎ 已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.‎ ‎(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；‎ ‎(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.‎ 解：(1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10，‎ ‎∴△AOB为等边三角形．‎ 因此弦AB所对的圆心角α＝.‎ ‎(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得 l＝α·R＝×10＝，‎ S扇形＝R·l＝α·R2＝.‎ 又S△AOB＝OA·OB·sin ＝25.‎ ‎∴弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝50.‎ 考点3　三角函数的定义 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 任意角的三角函数 ‎(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝________，cos α＝________，tan α＝(x≠0)．‎ ‎(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的________，________和________．‎ ‎(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．‎ 答案：(1)y　x ‎(2)正弦线　余弦线　正切线 ‎(1)[教材习题改编]若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C ‎(2)[教材习题改编]若角α的终边经过点P(－3，－4)，则sin α＋cos α＝________.‎ 答案：－ 解析：sin α＝－，cos α＝－，所以sin α＋cos α＝－.‎ 三角函数概念理解误区：点P的位置；函数值的符号．‎ ‎(1)角α的三角函数值与终边上的点P的位置________关．(填“有”或“无”)‎ 答案：无 解析：角α的三角函数值只与角α的大小有关，不受终边上的点P的位置的影响．‎ ‎(2)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.‎ 答案：－8‎ 解析：由已知，得r＝|OP|＝.‎ 由三角函数的定义，得sin θ＝＝ .‎ 因为sin θ＝－，所以＝－，‎ 解得y＝－8或y＝8(舍去)．‎ ‎[考情聚焦]　三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小，属中低档题．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 根据三角函数的定义求三角函数值 ‎[典题3]　(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，则sin α＝________.‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　sin α＝＝－.‎ ‎(2)[2017·云南玉溪模拟]设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝________.‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　因为α是二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.又cos α＝x＝，解得x＝－3，所以tan α＝＝－.‎ ‎[点石成金]　1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．‎ ‎2．已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．‎ 角度二 根据三角函数的定义求点的坐标 ‎[典题4]　(1)点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设点A(－1,0)，点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点Q，则∠AOQ＝－2π＝(O为坐标原点)，‎ 所以∠xOQ＝，cos ＝，sin ＝，‎ 所以点Q的坐标为.‎ ‎(2)已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，求cos α，tan α的值．‎ ‎[解]　由题设知x＝－，y＝m，‎ ‎∴r2＝|OP|2＝2＋m2(O为原点)，r＝.‎ ‎∴sin α＝＝＝，‎ ‎∴r＝＝2，‎ 即3＋m2＝8，‎ 解得m＝±.‎ 当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，‎ ‎∴cos α＝＝－，tan α＝－；‎ 当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，‎ ‎∴cos α＝＝－，tan α＝.‎ ‎[点石成金]　1.已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．‎ ‎2．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.‎ ‎[方法技巧]　三角函数的定义及单位圆的应用技巧 ‎(1)在利用三角函数的定义时，点P可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．‎ ‎(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．‎ ‎[易错防范]　1.第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．‎ ‎2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．‎ ‎3．要熟记0°～360°间特殊角的弧度表示．‎ ‎4．要注意三角函数线是有向线段．‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 错用三角函数的定义求三角函数值 ‎[典例1]　[2016·天津模拟]已知角θ的终边上一点P(‎3a,‎4a)(a≠0)，则sin θ＝________.‎ ‎[易错分析]　‎ ‎(1)角的终边是一条射线，而不是直线，该题中，我们只能确定角的终边所在直线．‎ ‎(2)由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，从而求出r＝＝＝‎5a，结果得到下列错误的结论：sin θ＝＝.‎ ‎[解析]　∵x＝‎3a，y＝‎4a，‎ ‎∴r＝＝5|a|.‎ ‎(1)当a>0时，r＝‎5a，‎ ‎∴sin θ＝＝.‎ ‎(2)当a<0时，r＝－‎5a，‎ ‎∴sin θ＝＝－.‎ 综上，sin θ＝±.‎ ‎[答案]　± 温馨提示 ‎(1)区分两种三角函数的定义 如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角α的终边与单位圆的交点坐标为(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但如果不是在单位圆中，设角α的终边经过点P(x，y)，|OP|＝r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.‎ ‎(2)明确三角函数的定义与角的终边所在的象限位置的关系．‎