辽宁省抚顺市六校协作体2019-2020学年高二上学期期末考试数学答案

辽宁省抚顺市六校协作体2019-2020学年高二上学期期末考试数学答案

1 2019-2020 学年度上学期”抚顺六校协作体“ 期末考试试题 高二数学 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 A C B D A D B D C A C B 二.填空题 13.63. 14.0 或 2. 15.8. 16. 3 1 . 三．解答题 17.（1）证明：因为 121  naa nn , 所以 11211  nnana nn =2 an+2n =2（an+n） 所以 211   na na n n 所以数列{ an+n }为等比数列。……5 分 （2）解：由（1）得数列{ an+n }为以 2 为公比的等比数列， 又 a1=1，所以 a1+1=2.所以 an+n =2·2n-1=2n,所以 an =2n-n.……10 分 18.解：（1）连结 BO，因为 O 为 AC 的中点， 所以 OC= 2 1 AC=3，PC=5，PO=4，所以 222 OCPOPC  ，所以∠POC 为直角. 在△ABC 中 BC=AB=3 2 .AC=6,所以 222 BCABAC  ,所以∠ABC 为直角. 所以 OB=OC= AC=3，又因为 PB=PC，PO=PO,所以△POB≌△POC. 所以∠POB=∠POC= 090 ………………………………………2 分 所以 PO⊥OC，PO⊥OB，OB∩OC=O,所以 PO⊥平面 ABC，…………………………………4 分 又因为 PO  平面 PAC,所以平面 PAC⊥平面 ABC………………………………………6 分 2 （2）解：由（1）得 PO⊥AO，PO⊥OB，AO⊥OB， 以 O 为坐标原点，分别以 OA、OB、OP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系。 AO=OB=OC=3， A（3，0，0）， B（0，3，0）， C（-3，0，0）， P（0，0，4） 因为 M 为 BC 的中点，所以 M 的坐标为（- 2 3 ， 2 3 ，0）. …………………………………7 分 设 m =（x,y,z）为平面 PAM 的一个法向量， AP =（-3，0，4）， AM =（- 2 9 ， ，0），则  0 0   AMm APm 得      043 0 2 3 2 9 zx yx ，可取 =（4，12，3）. …………………………………9 分 O 为 AC 的中点，AB=BC，所以 OB⊥AC,由（1）得平面 PAC⊥平面 ABC,OB 平面 ABC 所以 OB⊥平面 PAC…………………………………10 分 OB 为平面 PAC 的一个法向量， =（0，3，0）， OBm OBmOBm   ,cos = 13 12 133 123   . 所以二面角 M-PA-C 的余弦值为13 12 .…………………………………12 分 19. 解：(1)设抛物线 C 的标准方程为 y2=ax(a≠0). 因为抛物线 C 经过点 P，所以 22=a·1,所以 a=4，所以设抛物线 C 的标准方程为 y2=4x…………………………………4 分 （2）当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=kx+m, 把 y=kx+m 与 y2=4x 联立得 k2x2+（2km-4）x+m2=0…① 和 y2－ k 4 y+ k m4 =0…② …………………………………6 分 设 A( 11, yx ),B( 22 , yx ),则 1x ， 2x 为方程①的两根， 1y ， 2y 为方程②的两根. 1x  2x = 2 2 k m , 1y 2y = ,因为 OA⊥OB，所以 0OBOA OA  11 , yx , OB  22 , yx ,所以 + =0, 3 即 2 2 k m + k m4 =0，…………………………………8 分 所以 m+4k=0,即 m=-4k.所以直线 l 的方程可化为 y=k(x-4),当 x=4 时，无论 k 取何值时，y=0, 所以直线 l 恒过点(4,0). …………………………………10 分 当直线 l 的斜率不存在时，设直线 l 的方程为 x=x0, 把 x=x0 与 y2=4x 联立得 A(x0,- 02 x ),B(x0 , 02 x ). OA  00 2, xx  , OB  00 2, xx ,因为 OA⊥OB，所以 0OBOA ,所以 04 0 2 0  xx 得 40 x 。 所以直线 l 的方程为 x=4.所以直线 l 过点(4,0). 所以无论直线 l 的斜率存在还是不存在，直线 l 恒过点(4,0). ……………………………12 分 20.(1)证明：设 A1C1 的中点为 D1，连结 DD1，以 D 为坐标原点，分别以 DA、DB 、DD1，为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系。 在△ABC 中，DA=DC=1，DB= 3 ， A（1，0，0）， B（0， ，0）， C（-1，0，0）， D（0，0，0）, A1（1，0，2），B1（0， ，2）. 设 m =（x,y,z）为平面 A1BD 的一个法向量， DB =（0， ，0）， 1DA =（1，0，2），则  0 01   DBm DAm 得  03 02   y zx ，可取 =（2，0，-1）. …………………………………4 分 CB1 =（-1，－ ，-2）， CB1  =2×(-1)+0×( 3 )+(-1) ×(-2)=0,所以 CB1 ， 若线段 A1C1 上存在点 E，使得使得平面 EB1C∥平面 A1BD， 设点 E 坐标为（a,0,2）CE =(a+1,0,2), 因为平面 EB1C∥平面 A1BD， 也为平面 EB1C 的法向量，所以 CE ， CE =0，2×(a+1)-2=0,所以 a=0,所以点 E 为线段 11CA 的中点。 …………………………………6 分 4 （2）解：由（1）得 m =（2，0，-1）为平面 A1BD 的一个法向量， 1AB =（-1， 3 ，2）.  1,cos ABm 5 10 225 4    .…………………………………10 分 直线 AB1 与平面 A1BD 所成的角的正弦值为 5 10 …………………………………12 分 21.解：（1）设数列 的首项为 a1，公差为 d, 设数列{ nb }的首项为 b1，公比为 q, 由 a3= a1+2d=5 和 S3=3 a1+3d=9 得 a1=1，d=2.an= a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1. 即所以数列 的通项公式为 an=2n-1. …………………………………3 分 b1=a1=1,由 5b = 4S 得 b1·q4=4 a1+6d=16,所以 q=2.bn=1·qn-1=2n-1. 所以数列{ }的通项公式为 bn=2n-1. …………………………………6 分 (2)an·bn= (2n-1)·2n-1. …………………………………8 分 nT =1×1+3×2+5×4+………+(2n-1) ·2n-1.. 2 = 1×2+3×4+5×8+…(2n-3)·2n-1+(2n-1) ·2n. － =1×1+2×2+2×4+………+2 ·2n-1－(2n-1) ·2n=1+2n+1－4－(2n-1)·2n. =(2n-3) ·2n +3…………………………………12 分 22.解：（1）在椭圆 C1 中，a2=4,b2=3, 所以 c2=a2－b2=1,所以 c=1. 因为双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点，而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、 右焦点 所以在双曲线 C2 中,a2=1, c2=4. b2= c2－a2=3 所以在双曲线 C2 的方程为 x2－ 3 2y =1，…………………………………4 分 (2)把 y=kx+2 与 x2－ =1 联立得（k2-3）x2+4kx+7=0……① 和 （k2-3）y2+12y-12+3k2=0……② 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1，x2 为方程①的两根，y1，y2 为方程②的两根. 1x  2x = 3 7 2 k , 1y 2y = 3 312 2 2   k k …………………………………6 分 OBOA 2x =  3 7 2k 3 312 2 2   k k >1, 得 k2＞3 或 k2＜1…③…………………………………8 分 又因为方程①中，△＞0，得 k2＜7…④………………………………10 分 ③④联立得 k 的取值范围      7,31,13,7   ……………………12 分 {}na 5 注：若题目有其它解法，请各位老师酌情给分 6