数学文卷·2017届湖南省衡阳县一中高三11月月考（期中）（2016

数学文卷·2017届湖南省衡阳县一中高三11月月考（期中）（2016

衡阳县一中2017届高三11月月考（期中）‎ 数学试卷（文科）‎ 时量：120分钟 分值：150分 命题人 邹小平 一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎(1) 已知集合，则( ) ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎(2) 设i为虚数单位，则复数(1+i)2=（　　）‎ ‎(A) 0 (B) 2 (C) 2i (D) 2+2i ‎(3) 设，，则“”是“”的（ ）‎ ‎（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎(4) 函数的部分图像如图所示，则（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎(5) 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）‎ ‎（A）y=lnx （B） （C）y=sinx （D）y=cosx ‎(6) 在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎(7) 秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为( )‎ ‎（A）9 （B）18 （C）20 （D）35‎ ‎(8) 若直线过点，则的最小值等于（ ）‎ ‎（A）2 （B）3 （C）4 （D）5‎ ‎(9) 已知等比数列满足,,则（ ）‎ ‎（A）2 (B) 1 (C) (D) ‎ ‎(10) 若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（　　）‎ ‎（A）4 （B）9 （C）10 （D）12‎ ‎(11) 定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于( )‎ ‎(A) n (B) n+1 (C) n -1 (D) ‎ ‎(12) 设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，‎ 且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）‎ ‎（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 案 C C C A D DB B C ‎ C ‎ C A A ‎ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)‎ ‎（13）已知数列中，，（），则数列的前9项和等于 27 。‎ ‎（14）在中，，，，则 1 ．‎ ‎（15）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .‎ ‎（16）已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为f′(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有x f ′(x)< f(－x)，令F(x)＝xf(x)，则满足F(3)>F(2x－1)的实数x的取值范围是 (－1,2) ‎ 三、解答题：(共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)‎ ‎（17）（本小题满分10分)‎ 设向量，，。‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的单调递减区间.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知等差数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d. 因为，所以.‎ 又因为，所以，故. 所以 .‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为.‎ 因为，，所以，.所以.‎ 由，得.‎ 所以与数列的第63项相等.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在△ABC中，B＝，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足．‎ ‎(1)若△BCD的面积为，求CD的长；(2)若DE＝，求角A的大小．‎ 解：(1)由已知得S△BCD＝BC·BD·sin B＝，‎ 又BC＝2，sin B＝，得BD＝.‎ 在△BCD中，由余弦定理得 CD＝＝＝.‎ 所以CD的长为.‎ ‎(2)(方法一)因为CD＝AD＝＝，在△BCD中，由正弦定理得＝，‎ 又∠BDC＝2A，得＝，解得cos A＝，所以A＝即为所求．‎ ‎(方法二)在△ABC中，‎ 由正弦定理得＝，又由已知得，E为AC的中点，所以AC＝2AE，‎ 所以AE·sin A＝sin B＝，又＝tan A＝，‎ 所以AE·sin A＝DE·cos A＝cos A，得cos A＝，所以A＝即为所求 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数；‎ ‎(Ⅱ)若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；‎ 解：(Ⅰ)，当时，在上恒成立，函数 在单调递减，∴在上没有极值点；‎ 当时，得，得，‎ ‎∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．‎ ‎∴当时在上没有极值点，‎ 当时，在上有一个极值点．‎ ‎ (Ⅱ)∵函数在处取得极值，∴，∴，‎ 令， 可得在上递减，在上递增，‎ ‎∴，即． ‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，，.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎(1)因为,所以,两式相减得 .由得,所以 ‎.因此数列是首项为,公比为的等比数列, ;‎ ‎(2)因为,所以,两式相减得,所以.‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．‎