数学理卷·2018届内蒙古呼和浩特市高三上学期11月质量普查考试试题（解析版）

数学理卷·2018届内蒙古呼和浩特市高三上学期11月质量普查考试试题（解析版）

‎2018届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题时，考生务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上. 本试卷满分150分，答题时间120分钟.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.‎ ‎3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.‎ ‎4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 若复数满足（为虚数单位），则复数的模 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题复数满足，则 ‎ ‎ ‎ 故选A ‎2. 已知命题：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是 A. 命题是真命题 B. 命题是特称命题 C. 命题是全称命题 D. 命题既不是全称命题也不是特称命题 ‎【答案】C ‎【解析】命题：实数的平方是非负数，是真命题， 故 是假命题，命题是全称命题， 故选C．‎ ‎3. 在等差数列中，已知，，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...‎ 故选D ‎4. 曲线与直线所围成的封闭图像的面积是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了定积分的几何意义的应用；关键是正确利用定积分表示面积．‎ ‎5. 若与在区间上都是减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的图象开口朝下，且以直线为对称轴， 若在区间上是减函数，则 的图象由的图象左移一个单位得到，若在区间 上是减函数， 则 ， 综上可得的取值范围是， 故选D ‎6. 已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足：，则一定为的 A. 重心 B. 边中线的三等分点（非重心）‎ C. 边中线的中点 D. 边的中点 ‎【答案】B ‎【解析】如图所示：设 的中点是， 是三角形 ‎ 的重心， ‎ ‎ ‎ 在 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心 故选B ‎7. 设函数，则满足的的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】若，则 则 ‎ 等价为 ，即 ，则 ‎ 此时 当 时， ‎ 当 即 时，满足 恒成立， 当 即 时， ‎ 此时 恒成立， 综上 ‎ 故答案为 选C ‎【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．‎ ‎8. 已知满足条件，则目标函数从最小值变化到时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，所求面积即为图中红色阴影部分的面积e ‎ ‎ ‎ 故选a ‎ ‎9. 设的内角所对的边分别为，且，则的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∴由正弦定理，得 ‎ ‎ ，， ∴ ‎ 整理，得，同除以 得 ， 由此可得 ‎ ‎ 是三角形内角，且与同号，‎ ‎ 都是锐角，即 ‎ ‎ ‎ 当且仅当，即 时， 的最大值为． 故选B．‎ ‎10. 将函数的图像向右平移（）个单位后得到函数的图像. 若对满足的，有，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意可得 ，设 ‎ ‎ 由 ，可得 ，‎ 解得 ‎ 故选C．‎ ‎11. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的. 数列中的一系列数字被人们称之为神奇数. 具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和. 已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项的和，若，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ ‎ ， ． ‎ 故答案为．‎ 故选D ‎【点睛】本题考查递推数列，考查学生分析解决问题的能力，其中根据递推公式正确迭代是解题的关键．‎ ‎12. 已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意设g， 则 ， 所以 在（上递减，在（上递增， 且 ， 在一个坐标系中画出两个函数图象如图： 因为存在唯一的正整数 ，使得 即， 所以由图得，则 ，即 ‎ 解得 ， 所以的取值范围是 故选C ‎【点睛】本题考查了函数图象以及不等式整数解问题，导数与函数单调性的关系，以及转化思想、数形结合思想.解题的关键是将问题转化为两个函数图象交点问题，通过数形结合求解．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 本卷包含必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案直接填在题中横线上.）‎ ‎13. 已知向量，向量，若，则实数的值为____________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题 ‎ 即答案为2 ‎ ‎14. 已知集合，集合，集合，若，则实数的取值范围是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意， ， ∵集合 ， ① ‎ ‎②m 时，成立； ③ ‎ 综上所述， ‎ 故答案为．‎ ‎15. 函数的定义域内可导，若，且当时，，设，则的大小关系为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，当时，为单调递增函数，又，且，所以，即有，即．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性及其应用．‎ ‎16. 如图，现有一个为圆心角、湖岸与为半径的扇形湖面. 现欲在弧上取不同于的点，用渔网沿着弧（弧在扇形的弧上）、半径和线段（其中），在扇形湖面内各处连个养殖区域——养殖区域I和养殖区域II. 若，，. 求所需渔网长度（即图中弧、半径和线段长度之和）的最大值为______. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由 ，得 在中，由正弦定理，得 ‎ 设渔网的长度为，则 ‎ 所以 ，因为，所以， 令 ，得 ，所以 ，所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎ ‎ 极大值 所以的最大值为 ‎ 即答案为 ‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理的运用，考查函数模型的构建，考查利用导数确定函数的最值，其中确定函数的解析式是解题的关键．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程）‎ ‎17. 已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）求在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）f（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导，利用导数研究函数的单调性；‎ ‎（2）由（1），比较函数的极值和在区间端点处的函数值的大小即可得到在上的最大值和最小值 试题解析：‎ ‎（1）=（x2+2x）ex +（x3+x2）ex= x（x+1）（x+4）ex ‎ 因为，令f′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4‎ 当x＜﹣4时，f′（x）＜0，故g（x）为减函数；‎ 当﹣4＜x＜﹣1时，f′（x）＞0，故g（x）为增函数；‎ 当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，故g（x）为减函数；‎ 当x＞0时，f′（x）＞0，故g（x）为增函数； ‎ 综上知f（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数.‎ ‎(2)因为 由（1）知，上f（x）单调递减，在上f（x）单调递增 所以 ‎ 又f（1）=，f（-1）=，‎ 所以 ‎18. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求使得的的取值范围.‎ ‎【答案】（1）最小正周期T=π，函数f（x）在 上单调递增；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用和与差以及二倍角公式，辅助角公式化简即可求函数 的最小正周期和单调减区间； （2）根据三角函数平移变换的规律求解 的解析式，利用预先函数的性质可求使得的的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵f（x）=-10sinxcosx + 10cos2 x=‎ ‎=10sin+5.‎ ‎∴所求函数f（x）的最小正周期T=π 所以函数f（x）在 上单调递增 ‎（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象 所以当 所以 所以 ‎ ‎【点睛】本题考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键 ‎19. 设数列各项都为正数，且（）.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）令，数列的前项的和为，求使成立时的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）6.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）证明数列为等比数列的基本方法为定义法，即求证数列相邻两项的比值为同一个不为零的常数：，其中需要说明及 ‎（Ⅱ）由于为一个等比数列，所以根据等比数列求和公式得，因此不等式转化为，解得 试题解析：（Ⅰ）由已知，，则，‎ 因为数列各项为正数，所以，‎ 由已知，，‎ 得.‎ 又，‎ 所以，数列是首项为1，公比为2的等比数列.……………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，‎ ‎，‎ 则.‎ 不等式即为，‎ 所以，‎ 于是成立时的最小值为6.……………12分 考点：等比数列的概念、等比数列通项公式与前项和 ‎【方法点睛】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.‎ 等比数列的判定方法 ‎(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列；‎ ‎(2)等比中项法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列；‎ ‎(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列；‎ ‎(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列.‎ ‎20. 如图，已知是内角的角平分线.‎ ‎（1）用正弦定理证明：；‎ ‎（2）若，求的长.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据是的角平分线，利用正弦定理，即可证明结论成立； （2）根据余弦定理，先求出的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出的长．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD 根据正弦定理，在△ABD中，=‎ 在△ADC中，=‎ ‎∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC ‎∴=，=‎ ‎∴=‎ ‎（2）根据余弦定理，cos∠BAC=‎ 即cos120°=‎ 解得BC= ‎ 又=‎ ‎∴=，‎ 解得CD=，BD=；‎ 设AD=x，则在△ABD与△ADC中，‎ 根据余弦定理得，‎ cos60°=‎ 且cos60°=‎ 解得x=，即AD的长为．‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）令，讨论函数的零点的个数；‎ ‎（3）若，正实数满足，证明：．‎ ‎【答案】（1）2x﹣y﹣1=0；（2）见解析；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算，求出切线方程即可； （Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论的范围，根据函数的单调区间和函数的极值即可讨论函数的零点的个数；； （Ⅲ）得到 令，则，根据函数的单调性求出，证明结论即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）当a=0时，f（x）= lnx+x，‎ 则f（1）=1，所以切点为（1，1），‎ 又f′（x）= +1，则切线斜率k = f′（1）=2，‎ 故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0 ‎ ‎（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，‎ 所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，‎ 当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．‎ 所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数 而 ‎ 所以函数有且只有一个零点 当00‎ 又 ‎∴当02得或 解得x<或x>.‎ 所以所求实数x的取值范围为∪‎ ‎(2)因为∪.‎ 所以当时，‎ 因为|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0成立，‎ 所以≥f(x)．‎ 又因为≥＝2，‎ 所以|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)在时恒成立 ‎ ‎ ‎ ‎