河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试 数学（理）

河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试 数学（理）

河北省“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考试 理科数学 ‎ ‎（满分：150分，测试时间：120分钟）‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．是虚数单位， 则 ‎ ‎ 2 4 ‎ ‎2．集合，，则 ‎ ‎ 　　 ‎ ‎3．已知向量，，，则与的夹角为 ‎ ‎ ‎4．如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是 ‎ ‎ ‎ ‎5．已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于 ‎ ‎ ‎ ‎6．函数的图象大致为 ‎ ‎ ‎ ‎7．若，，则下列不等式正确的是 ‎ ‎ ‎ ‎8．已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9．函数的定义域为，且，当时，；当时，，则 ‎ 671 673 1343 1345‎ ‎10．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11．函数与函数的图像关于点对称，且 ‎，则的最小值等于 ‎ ‎ 1 2 3 4‎ ‎12．已知函数，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是 ‎ ‎ 第II卷（共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．若x，y满足，则的最小值为 ‎ ‎14．在的展开式中常数项等于 ‎ ‎15．已知双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线上，点的坐标为，且到直线，的距离相等，则 ‎ ‎16．在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是 ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列满足 ，‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．‎ 某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N（60,169）．‎ ‎（Ⅰ）求物理原始成绩在区间（47,86）的人数；‎ ‎（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望.‎ ‎（附：若随机变量，则，‎ ‎，）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四面体中，分别是线段的中点，，，，直线与平面所成的角等于．‎ ‎（Ⅰ）证明： 平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 椭圆的离心率是，过点做斜率为的直线，椭圆与直线交于两点，当直线垂直于轴时．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在求出的取值范围，若不存在说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数 （为常数）‎ ‎（Ⅰ）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若存在两个极值点，且，求的最大值．‎ 请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．‎ ‎（Ⅰ）求的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线,分别相交于异于原点的点,求的最大值.‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知,‎ ‎（Ⅰ）若,求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设关于的不等式的解集为,若集合,求的取值范围.‎ 河北省“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考试 理科数学评分标准参考 一、选择题 ‎1. B 2. C 3.B 4. B 5.C 6. A 7. D 8. B 9. D 10. A 11. D 12.A 二、填空题 ‎13. 2 14. 9 15. 4 16. ‎ 三、解答题 ‎17【解析】（Ⅰ）当时，‎ 当时由 两式相减得，即………………………4分 且上式对于时也成立．所以数列的通项公式．…… 6分 ‎（Ⅱ）因为，…………………………………………8分 ‎…………………10分 所以 ‎…………………………………………12分 ‎18【解析】（Ⅰ）因为物理原始成绩 则 ‎……………………… 3分 所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）…… 5分 ‎（Ⅱ）随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]的概率为 所以随机抽取三人，则可取0,1,2,3，且………………………7分 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎……………………………10分 数学期望…………………………………………12分 ‎19【解析】（Ⅰ）在中，是斜边的中点，所以.‎ 因为是的中点，所以，且，‎ 所以，.………………………………………2分 又因为，所以，‎ 且，故平面 因为平面，所以平面平面…………………5分 ‎（Ⅱ）方法一：取中点，则 因为，所以.‎ 又因为，所以平面，故平面 因此是直线与平面所成的角 所以.……………………8分 过点作于，则平面，‎ 过点作于，连接，‎ 则为二面角的平面角.……………………………………10分 因为，‎ 所以 因此二面角的余弦值为…………12分 方法二：‎ 如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA为y，z轴建立空间直角坐标系.‎ 因为 (同方法一,过程略)‎ 则，,……………8分 所以,,‎ 设平面的法向量 则即取,得………………………10分 设平面的法向量 则即取,得 所以 因此二面角的余弦值为…………………………………………12分 ‎20【解析】（Ⅰ）由已知椭圆过点，可得 ‎，.………………………………………………3分 解得所以椭圆的方程为. ……………5分 ‎（Ⅱ）设，的中点 由消去得，‎ 所以. …………………7分 当时，‎ 设过点且与垂直的直线方程 将代入得：……………………………9分 若，则，‎ 若，则 所以或………………………………………11分 当时，‎ 综上所述，存在点满足条件,m取值范围是.……………12分 ‎21【解析】（Ⅰ）‎ 设，定义域为 由二次函数图象性质可知，函数是单调函数等价于恒成立，…2分 所以或 解得.………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（I）函数的两个极值点满足，‎ 所以 不妨设，则在上是减函数，‎ ‎………………………………………8分 令设函数 因为，‎ 所以在上为增函数.………………………………………………10分 由，即，‎ 解得，故 所以的最大值为.…………………………………………12分 ‎22【解析】（Ⅰ）极坐标方程可化为………2分 等价于，‎ 将代入，‎ 所以曲线的直角坐标方程为.………………5分 ‎（Ⅱ）不妨设，点的极坐标分别为 所以…………………………7分 所以当时，取得最大值.………………………………10分 ‎23【解析】（Ⅰ）若，则，‎ 等价于或或……………………3分 解得 所以原不等式的解集为………………………………5分 ‎（Ⅱ）由题意可知，对于，不等式恒成立 可化为化简得………7分 所以，‎ 即 因为所以……………………10分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org