数学（文）卷·2018届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试（2018

数学（文）卷·2018届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试（2018

石嘴山三中学2018届高三年级期末考试 ‎ 数学（文科）能力测试 ‎ 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 已知集合 ，则集合中的元素个数为 A. B. C. D. ‎ ‎2．已知i为虚数单位，则复数的虚部是 ‎ A． B． C．3 D．1‎ ‎3．在等差数列中，若，则数列的前15项的和为 A. 30 B． ‎35 C． 40 D． 45‎ ‎4．已知向量 ， 满足 ，，则 A． B． C． D． ‎ ‎5. 在区间上随机选取一个实数，则事件“”发生的概率是 A. B. C. D.‎ ‎6.设、是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题正确的是 ‎ A. 若,则 ‎ B. 如果 是异面直线，那么与相交 C.若，，,则 ‎ D.若，，则 ‎7．已知抛物线的焦点为，是上一点，且，则 A． B．‎1 C． D． 8‎ ‎8．在△中，内角的对边分别是，若，，则角A的大小为 A ． B． C． D ．‎ ‎9． 如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为A1,A2,…,A14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是 A． 7 B． 8 ‎ C． 9 D． 10‎ ‎10．已知， 满足约束条件若的最小值为，则等于 A． B． C． D． ‎ ‎11．函数的部分图像如图所示，则的值为 A. B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎12．已知定义在上的函数是其导数，且满足，则不等式 （其中e为自然对数的底数）的解集为 ‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 已知双曲线的上焦点为，则点到渐近线的距离为________.‎ ‎14．已知，则的值为__________．‎ ‎15. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的外接球的体积为__________．‎ ‎16．下列命题正确结论的序号是______．‎ ‎①命题的否定是：；‎ ‎②命题“若则或”的否命题是“若则且”；‎ ‎③已知线性回归方程是，则当自变量的值为时，因变量的精确值为7；‎ ‎④在对两个分类变量进行独立性检验时计算得，那么就是的把认为这两个分类变量有关系．‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知正项等比数列的前项和为，且，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某校从高一年级学生中随机抽取40中学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ，…， 所得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求图中实数的值；‎ ‎（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；‎ ‎（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中， 底面, ， ， ，,．‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为， ，上顶点为B,若的周长为6，且离心率 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设是椭圆长轴的左，右两个端点，点是椭圆上不同于的任意一点，直线交直线于点，求证：以为直径的圆过点.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，探究函数的单调性；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22，23两道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？‎ ‎（Ⅱ）设曲线与曲线的交点为， ， ，当时，求的值．‎ ‎23．（本题满分10分）选修4—5；不等式选讲．‎ 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设，证明： .‎ 高三年级期末考试文科数学参考答案 ‎ 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C A B D C A D D B B A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13. 14. ‎ ‎15. 16. ②④‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17（本小题满分12分）‎ 解：（1）因为，，‎ 所以或（舍去）.又，故，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（Ⅰ）知，∴，①‎ ‎∴，②‎ ‎②①得，∴.‎ ‎18（本小题满分12分）‎ 解：⑴由于图中所有小矩形的面积之和等于1，‎ 所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.‎ 解得a=0.03.‎ ‎ (2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人 .‎ ‎(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,分别记为A,B，成绩在 ‎[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,分别记为C,D,E,F.‎ 若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有 ‎(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),‎ ‎(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.‎ 如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.‎ 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于‎10”‎为事件M,则事件M包含的基本事件有：(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)= .‎ ‎19（本小题满分12分）‎ 解：（1）证明：取的中点，连接 ‎ ‎∵∥， 面， 面，‎ ‎∴∥平面，同理∥平面，又∵，‎ ‎∴平面∥平面，又∵平面，‎ ‎∴∥平面. ‎ ‎（2）∵∴，又∵底面， ∥， ，∴底面， ，‎ ‎∴‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）解：设、，由已知可得①‎ ② 又③， 由①②③可求得 所以椭圆的方程为。 ‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意知.设， ‎ 则直线，当时， . ‎ 所以 又点在椭圆C上，所以 因为 ‎。‎ 所以，因此以为直径的圆过点。‎ ‎21（本小题满分12分）‎ 解：（1）依题意，，，‎ 令，解得，令，解得，‎ 故函数的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎（2）依题意，.‎ 当时，，∴在上单调递增，，∴不合题意；‎ 当，即时， 在上恒成立，‎ 故在上单调递减，， ∴满足题意；‎ 当，即时， 由，可得，‎ 由，可得， ∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴，∴不合题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 解：(1) 由得，该曲线为椭圆. ‎ ‎（2）将代入得，‎ 由直线参数方程的几何意义，设， ‎ ‎，所以，从而，由于，所以. ‎ ‎23（本小题满分10分）‎ ‎（1）解：①当时，原不等式化为解得；‎ ‎②当时,原不等式化为解得，此时不等式无解；‎ ‎③当时，原不等式化为解.‎ 综上， 或 ‎ ‎（2）证明，因为.‎ 所以要证，只需证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以成立.所以原不等式成立.‎ 所以原不等式成立.‎