高考数学复习资料三章 数列

高考数学复习资料三章 数列

第三章 数列 1、设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 1 5a  ，且 1 2 ( 1) ( 1)nnnS n n n S     ( n∈N*)， 则 过点 P(n, na ) 和 Q(n+2, 2na )( n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 （ ） A．（ 2， 2 1 ） B．(-1, -1) C．( 2 1 , -1) D．（ 2,2 1  ） 1、D 【思路分析】由条件知 n S 1n S n1n   =2 ∴{ n Sn }是等差数列，∴ n Sn = 5+ (n – 1)×2 = 2n + 3 ∴Sn = 2n2 + 3n，当 n≥2 时，an = Sn = Sn – 1 = 4n+1 (a1 也适合) ∴kPQ = 2 aa n2n  = 4，设直线 PQ 的方向向量为u = (a , b)，则有 a b = 4，只有 D 符合. 【命题分析】考查等差数列的通项与前 n 项和，递推数列，直线的方程以及方向向量等基础 知识. 2（文）已知数列{an}中 a1=1 满足 an+1=an+2n，nN*，则 an=（ ） A．n2+n+1 B．n2-n+1 C．n2-2n+2 D．2n2-2n+1 2．解答：由开口向上得：a＞0，由顶点在第二象限得：b＞0 选 C 评析：本题考察考生对导数及一次、二次函数图象的应用。 （文）解答：用特值法，取 n=1，2 即可。a2=3 选 B 评析：本题考察考生对特值法的应用。 3、已知函数      )( )()( 2 2 为偶数时当 为奇数时当 nn nnxf 且 )1()(  nfnfan ， 则  100321 aaaa ( ) A.100 B.-100 C. 2100 D. 11012  3、A n 为奇数时 1n 为偶数 ， 12)1( 22  nnnan ， 为偶数时， 1n 为 奇数， 12)1( 22  nnnan ∴ 31 a ， 52 a ， 73 a ， 94 a ， 115 a ， 137 a ，…… ， ∴ 221 aa ， 243 aa ， 275 aa ，…… 210099  aa ， ∴  321 aaa … 100502100  a . 4、已知等差数列{an}的前 n 项和为 ns ，若 4518aa=- ,则 8s 等于 （ ） A．72 B．54 C．36 D．18 1、 A 【思路分析】：由 得 4518aa+=， 1 8 4 5 8 8( ) 8( ) 7222 a a a aS ++= = = 【命题分析】：考察等差数列的通项公式、求和公式及性质 5、数列 na 满足 2 1 1  nn aa （ Nn 且 1n ）， 12 a ， ns 是 的前 n 次和，则为 （ ） A、 2 9 B、 2 11 C、6 D、10 5、（分析：显然 是一个等和数列，即 2 1 1 a 形如： 2 1 ，1， 2 1 ，1,…… ∴ 2 9 2 1 2 11021 S 选 A 项） 6．在正项等比数列{an}中，a1 和 a19 为方程 x2-10x+16=0 的两根，则 a8a10a12=（ ） A．32 B．64 C．±64 D．256 6．B [思路分析]：由等比数列的性质知： 2 101218191 16 aaaaa  ∴a10=4 则 a8a10a12=64 [命题分析]：考查等比数列的性质 7．设数列{}na 的前 n 项和为 nS ，令 12 n n S S ST n    ，称 nT 为数列 1a ， 2a ，……， na 的“理想数”，已知数列 ， ，……， 501a 的“理想数”为 2008，那么数列 2， ， ，……， 501a 的“理想数”为 A．2002 B． 2004 C． 2006 D． 2008 7． C【思路分析】： 2008501500501 50121  aaa  2006502 20085012502 5005015022 50121  aaa  【命题分析】：考查理解能力 8．一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)： 1 2 3 4 5 6 7 …………… 则第8行中的第5个数是 A、68 B、132 C、133 D、260 8C 9．（理）设数列 }{ na 的前 n 项和为 )( *NnSn  ，关于数列 }{ na 有下列三个命题： ①若数列 }{ na 既是等差数列又是等比数列，则 1 nn aa ； ②若 ),(2 RbabnanSn  ，则数列 }{ na 是等差数列； ③若 n nS )1(1  ，则数列 }{ na 是等比数列. 这些命题中，真命题的个数是 . A．0 B．1 C．2 D．3 9．理 D【思路分析】：①不妨设数列 }{ na 的前三项为 daada  ,, ，则其又成等比数列， 故 222 daa  ，∴ 0d ，即 1 nn aa ；②由 nS 的公式，可求出 banan  )12( ，故 }{ na 是等差数列；③由 nS 可求由 1)1(2  n na ，故数列 }{ na 是等比数列. 故选 D . 【命题分析】：考查等差、等比数列的概念， nS 与 na 的关系，思维的灵活性. 10、（文）等差数列 }{ na 的公差 ,0d 且 2 11 2 1 aa  ，则数列 }{ na 的前 n 项和 nS 取得最大值 时的项数 n 是（ ） A．5 B．6 C．5 或 6 D．6 或 7 10、文 C【思路分析】：由 2 11 2 1,0 aad  ，知 0111  aa . ∴ 06 a ，故选 C. 【命题分析】：考查等差数列的性质，求和公式. 要求学生能够运用性质简化计算. 11、（理）设 ),( pnf = p nC2 )2,,( * npNpn  ，数列 }{ pna 满足  ppp aaa 321 ),( pnfanp  ，则数列 }{ 2na 的通项公式是 . 11、理 342  nan 【思路分析】:令 2p 则 2 222212 )2,( nn Cnfaaa  , 则 )2(,)2,1( 2 222)1(2212   nCnfaaa nn ， 两 式 相 减 得 ： 2n 时， 342 22 2 22   nCCa nnn ，且 31412 212  Ca ，∴ 342  nan . 【命题分析】：考查运用所学知识解决实际问题的能力，数列函数的思想，通项的求法， 组合数的公式等知识. 12．(14 分)已知函数 f(x)＝－x3＋ax 在(0，1)上是增函数． (1) 求实数 a 的取值集合 A； (2) 当 a 取 A 中最小值时，定义数列{an}满足：2an＋1＝f(an)，且 a1＝b∈(0，1)(b 为常 数)，试比较 an＋1 与 an 的大小； (3) 在(2)的条件下，问是否存在正实数 c．使 00, 且 an+1= 2 3 na ， (Ⅰ)试求 a1 的值，使得数列{an}是一个常数数列； (Ⅱ)试求 a1 的取值范围,使得 an+1>an 对任何自然数 n 都成立； (Ⅲ)若 a1 = 2，设 bn = | an+1－an| (n = 1，2，3，…)，并以 Sn 表示数列{bn}的前 n 项的 和，求证：Sn< 2 5 ． 13、【思路分析】：解：(Ⅰ)欲使数列{an}是一个常数数列，则 an+1= 2 3 na = an ……………………2’ 又依 a1>0，可得 an>0 并解出：an= 2 3 ，即 a1 = an = ……………………4’ (Ⅱ)研究 an+1－an= 2 3 na － 2 3 1 na =           2 3 2 32 1 1 nn nn aa aa (n≥2) 注意到         2 3 2 32 1nn aa >0 因此，可以得出：an+1－an，an－an－1，an－1－an－2，…，a2－a1 有相同的符号 7’ 要使 an+1>an 对任意自然数都成立,只须 a2－a1>0 即可. 由 1 1 2 3 aa  >0，解得：0 时，an+1 , 故 Sn<2－ = 2 1 ………………………………………………………………14’ 14、（本题满分 12 分）已知数列 na 的前 n 项和 *)(2 Nnans nn  ，且 12 a ， *)()12 11( 1 Nnaab n n n   。（ 1）求数列 的通项次式；（2）已知定理：若函数 )(xf 在区内 D 上是凹函数，且 存在，则当 ),( Dyxyx  时，总有 )()()( xfyx yfxf   且函数 *)(1 Nnxy n   在 ),0(  上是凹函数，试判断 nb 与 1nb 的大小。（3）求证： 22 3  nb 14、解：（1） 1n 时， 02 1 1 11  aasa ，又 3,12  na ， 11 2 1   nnnnn anaa nssa ∴ 2 1 1    n n a a n n 从而 1... 2 2 3 2 1 1     naa a a a a aa n n n n n 当 2,1n 时也满足 ∴ *)(1 Nnnan  （2） n n nb )2 11(  ，对于凹函数， 1 nxy ，有   1 11 )1()1(     nnn nn ynxynxxnyx yx 令 )1(2 11,2 11  nynx 得 11)1(  nn yxnxyn 即 1 nn bb （3）∵ rrrr n rn rn n n n n nC )2 1()2 1(11...1)2 1(  ∴ 2)2 1(2)2 1(...)2 1(2 11)2 1(11)2 11( 2   nnrr n n n nCr n nb 又由（2） 2 3... 121   bbbb nn ∴ 22 3  bn （点评：本题考查了数列的知识，解起来比较繁琐，一定要仔细，会常常用到二次项式定 理和其它一些知识） 15、已知函数 n n xaxaxaaxf  2 210)( （nN+）且 y=f(x)的图象经过(1,n2)， 数列{an}为等差数列。 （14′） ①求数列{an}的通项公式； ②当 n 为奇数时，设 g(x)= )]()([2 1 xfxf  ，问是否存在自然数 m 和 M 使得不等式 Mgm  )2 1( 恒成立？若存在，求出 m 与 M，若不存在说明理由。 15、[思路分析]：（ I）由题意得 f(1)=n2，即 a0+a1+a2+…+an=n2。 令 n=1，则 a0+a1=1. 令 n=2，则 a0+a1+a2=22. a2=4-(a0+a1)=3. 令 n=3，则 a0+a1+a2+a3=32, a3=9-( a0+a1+a2)=5. 设等差数列{an}的公差为 d，则 d=a3-a2，a1= a2-d=1，a0=0. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1.…………………………………………………………6′ （II）由（I）知：f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn. n 为奇数时，f(-x)=-a1x +a2x2-a3x3+…+an-1xn-1-anxn. ∴ )]()([2 1)( xfxfxg  =a1x+a3x3+a5x5+…+an-2xn-2+anxn. .)2 1()12()2 1()52()2 1(9)2 1(52 11)2 1( 253 nn nng   ① .)2 1()12()2 1()52()2 1(5)2 1(1)2 1(4 1 253  nn nng  ② 由①-②得 .)2 1()12(])2 1()2 1()2 1[(42 11)2 1(4 3 253  nn ng  ∴ .)2 1(3 2)2 1(9 13 9 14)2 1( nn ng  …………………………………………10′ 设 n n nc )2 1(3 2 ， ∴ 0)2 1()1(3 1 1  n nn ncc ,(nN+)， ∴cn 随 n 的增加而减小. 又 n)2 1(9 13  随 n 的增大而减小， ∴ )2 1(g 为 n 的增函数. 当 n=1 时， )2 1(g = 2 1 , 而 = 9 14 - 9 13  nn n )2 1(3 2)2 1( 9 14 ， ∴ ≤ < . 由此易知：使 Mgm  )2 1( 恒成立的 m 的最大值为 0，M 的最小值为 2。 [命题分析]：本题是函数、数列与不等式的综合大题，主要考查了奇函数的概念、数列的单 调性及数列求和的方法。 16、已知函数 2)1()(  xxf ，数列{ na }是公差为 d 的等差数列，数列{ nb }是公比为 q 的 等比数列（q≠1， Rq ），若 )1(1  dfa , )1(3  dfa ， )1(1  qfb ， )1(3  qfb ． （1） 求数列{ }和{ }的通项公式； （2） 设数列{ nc }的前 n 项和为 nS ，对 Nn 都有 2 2 1 1 b c b c  … 1 n n n ab c 求   n n n S S 2 12lim ． （3） 若数列 }{ nd 满足 1)3 1(  n n n c d ， nn dddT 21 ，试判断 }{ nT 中的最大项为 第几项，并说明理由。 16、解：（1）数列{ na }为等比数列， ∴ daa 213  ．为等比数列， 又∵ 22 13 )2()1()1(  dddfdfaa ， ∴ ddd 2)2( 22  ，解得 d＝2， 0)1(1  fa ． ∴ )1(2  nan ．又∵ }{ nb 为等比数列，∴ 2 1 3 qb b  ． 而 2 2 1 3 )2( )1( )1( q q qf qf b b   ，∴ 2 2 2)2( qq q  ∵ 1q ， Rq ，∴ 2q ， 41 b ．∴ 11 )2()2(4   nn nb ． 4 分 （2）由  2 2 1 1 b c b c … 1 n n n ab c ① … n n n ab c    1 1 ② ①-②得 21   nn n n aab c ．∴ 11 )2(8)2(22    nn nn bc ． 对于 }{ nc ， 2 1  n n c c ， 81 c ，知其为等比数列． ∴ ])2(1[3 8 )2(1 ])2(1[8 n n nS   ， ])2(1[3 8 12 12    n nS ， ])2(1[3 8 2 2 n nS  ． ∴   n n n S S 2 12lim nlim 2)2(1 )2(1 2 12    n n ． 8 分 （3） 1)3 2(8  n nd ∴ 2 )1( 2 )1( 1 )3 2(8)3 2(   nn n nn n n dT ∴ n n n T T )3 2(8|| 1  ∴ 当 5n 时， |||| 1 nn TT  当 6n 时，  |||||||| 9876 TTTT  0)3 2(8 156 6 T ， ,0)3 2(8 217 7 T 288 8 )3 2(8 T 0 ， 0)3 2(8 105 5 T 而 1)729 512(])3 2(8[)3 2(8 336183 5 8 T T 故 }{ nT 中的最大项为第 8 项。 17、（14分） 上的顺次为直线已知点 12 1 4 1y N*)(n ),,(,),,2(),,1( 2211  xynByByB nn  点,点A1(x1,0),A2(x 2 ,0),…，An(xn,0),…顺次为x轴上的点,其中x1=a（0＜a≤1).对于任 意n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形. (1)求数列{yn}的通项公式，并证明它为等差数列； (2)求证：x 2n - x n 是常数，并求数列{ x n }的通项公式； (3)上述等腰Δ AnBnAn+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时a的值；若不可能， 请说明理由． 17、 是等差数列所以数列 }{,4 1,12 1 4 1)1( 1 nnnn yyyny   …………2分 )1(2 x,2 x,2,)2( 21n1n 1    nxnxnxx nn nn 从而所以由题意知 相减，得x 2n -x n =2 ∴x 1 ，x 3 ，x 5 ，…，x 12 n ，…成等差数列；x 2 ，x 4 ，x 6 ，…，x n2 ，…成等差数列，4分 ∴x = x 1 +（n-1）· 2=2n+a-2， x = x 2 +（n-1）· 2=（2-a）+（n-1）· 2=2n-a )(n )(n 1      是偶数 是奇数 an ana n …………7分 (3)当n奇数时，An（n+a-1，0）， An+1（n+1-a，0），所以 | AnAn+1 | =2（1-a）； 当n是偶数时，An（n-a，0）， An+1（n+a，0），所以| AnAn-1 | =2a …………9分 .12 1 4 1|B| , x B nn  nCCC nnn 则轴于作 要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必需且只需| AnAn-1 | =2| BnCn | . (*) 3n,-1112a ),12 1 4 12(a)-2(1 ,n ,  即有为奇数时当所以 n .(*), 5n ;6 1, 3 ;3 2, 1n 无解方程时当时当时当  ana …………11分 .12 7 1,3n,12n  aa 同理可求得是偶数时当 …………13分 存在直角三角形时或或当综上所述 ,12 7 6 1 3 2 ,  aaa …………14分 18、[文]已知{ na }是公比为 q 的等比数列，且 12 ,,  mmm aaa 成等差数列. （Ⅰ）求 q 的值； （Ⅱ）设数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，试判断 12 ,,  mmm SSS 是否成等差数列？说明理 由. 18[文]、【思路分析】 （Ⅰ）依题意，得 2am+2 = am+1 + am ∴2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1 在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0， ∴2q2 = q +1，解得 q = 1 或 2 1 . …………… 4 分 （Ⅱ）若 q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1，Sm + 2 = (m+2) a1 ∵a1≠0，∴2Sm+2≠S m + Sm+1 ……………………………… 6 分 若 q = ，Sm + 1 = m 2m )2 1(6 1 3 2 )2 1(1 )2 1(1     Sm + Sm+1 = )2 1(1 )2 1(1 )2 1(1 )2 1(1 1mm       ])2 1()2 1[(3 2 3 4 1mm  = m)2 1(3 1 3 4  ∴2 Sm+2 = S m + Sm+1 ………………………………………………… 11 分 故当 q = 1 时，Sm , Sm+2 , Sm+1 不成等差数列； 当 q = 时，Sm , Sm+2 , Sm+1 成等差数列. …………………………… 12 分 19、（12 分）已知数列｛an ｝的首项 aa 1 （a 是常数）， 242 2 1   nnaa nn （ 2,  nNn ）． （Ⅰ） na 是否可能是等差数列.若可能，求出 的通项公式；若不可能，说明理由； （Ⅱ）设 bb 1 ， 2nab nn  （ ）， nS 为数列 nb 的前 n 项和，且  nS 是等比数列，求实数 a、b 满足的条件． 19. 解：（Ⅰ）∵ ),3,2(242, 2 11   nnnaaaa nn依 ∴ 2228422  aaa 5421292 23  aaa 8822 34  aaa 34,32,222 342312  aaaaaaaaaaa 若 }{ na 是等差数列，则 1,2312  aaaaa 得 但由 3423 aaaa  ，得 a=0,矛盾. ∴ }{ na 不可能是等差数列 (Ⅱ)∵ 2nab nn  ∴ 222 11 )1(2)1(4)1(2)1(   nnnanab nnn nn bna 222 2  (n≥2) ∴ 22422  aab 当 a≠－1 时, }{0 nn bb  从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列 ∴ )12)(22(12 )12)(22( 1 1 1     n n n ababS n≥2 时, 222)1( 222 222)1( 222)1( 1 11      aba ab aba aba S S nn n n n ∴ }{ nS 是等比数列, ∴ 1n n S S (n≥2)是常数 ∵a≠-1 时, ∴b-2a-2=0 当 a=-1 时， 12 2,0  nn bbb 由 （n≥3）,得 0nb （n≥2） ∴ bbbbS nn  21 ∵ }{ nS 是等比数列 ∴b≠0 综上, }{ nS 是等比数列,实数 a、b 所满足的条件为           0 1 22 1 b a ab a 或 20、（ 14 分）（理）已知函数 23 3)(  xxf ，数列 }{ na 满足： *1 11 ),1(,1 Nnafaa n n    . （1）求数列 }{ na 的通项公式； （2）记 1 1 2 2 3 3 4 1 2 2 1( 1)m m m n n na a a a a a a a a a T              . ①求 nT ； ②设数列 }{ nb 的前 n 项和 12 172 nnSn  ，是否存在实数 k ，对 *Nn 均有 n n T kb  成 立，若存在，求出实数 k 的范围；若不存在，请说明理由. 21、（文）定义在实数集 R 上的函数 )(xf 满足：①当 0x 时， 1)( xf ；②任意 Ryx , ，均 有 )()()( yfxfyxf  . 数列 }{ na 满足: )2( 1)(),0( 11 n n afaffa   . （1）试判定函数 )(xf 的单调性； （2）求数列 }{ na 的通项公式； （3）求使 12)1()1)(1( 2121  naapaaaa nn 对任意正整数 n 都成立的正实数 P 的取值范围.