数学卷·2017届河北省定州中学高三（承智班）下学期周练（5

数学卷·2017届河北省定州中学高三（承智班）下学期周练（5

河北定州中学2016-2017学年第二学期高三承智班数学周练试题（5.7）‎ 一、选择题 ‎1．已知是定义在上的可导函数，且满足，则（ ）‎ A. B. C. 为减函数 D. 为增函数 ‎2．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. 7 C. D. ‎ ‎3．已知函数（为自然对数的底数），当时，的图象大致是（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．若角终边上的点在抛物线的准线上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．下列四个结论中正确的个数是（ ）‎ ‎①若，则 ‎②已知变量和满足关系，若变量与正相关，则与负相关 ‎③“已知直线，和平面、，若，，，则”为真命题 ‎④是直线与直线互相垂直的充要条件 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎6．已知为函数的导函数，且，若，则方程有且仅有一个根时，的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知锐角满足，设，则下列判断正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8．今有苹果个（），分给10个同学，每个同学都分到苹果，恰好全部分完.第一个人分得全部苹果的一半还多一个，第二个人分得第一个人余下苹果的一半还多一个，以此类推，后一个人分得前一个人余下的苹果的一半还多一个，则苹果个数为（ ）‎ A. 2046 B. 1024 C. 2017 D. 2018‎ ‎9．偶函数是定义域为R上的可导函数，当时，都有成立，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 实数集R ‎10．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是上底面A1B1C1D1内一动点，PM垂直AD于M,PM=PB，则点P的轨迹为（ ）‎ ‎ ‎ A. 线段 B. 椭圆一部分 C. 抛物线一部分 D. 双曲线一部分 ‎11．四面体的四个顶点都在球的球面上，，且平面平面，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．椭圆，为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎13．甲乙两人做报数游戏，其规则是：从1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报1个数，最多可以连续报6个（如，第一个人先报“1,2”，则另一个人可以有“3”，“3,4”，…“3,4,5,6,7,8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是__________．‎ ‎14．各项均为正数的数列首项为，且满足，公差不为零的等差数列的前项和为，，且成等比数列设，求数列的前项和__________．‎ ‎15．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是__________．‎ ‎16．已知是上可导的增函数，是上可导的奇函数，对都有 成立，等差数列的前项和为，同时满足下列两件条件：，，则的值为__________________。‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17．已知，函数，（是自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若，且命题“，”是假命题，求实数的取值范围.‎ ‎18．已知数列的前项和为，，（且），数列满足：，且（且）.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求证：数列为等比数列；‎ ‎（Ⅲ）求数列的前项和的最小值.‎ ‎19．如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）设点在棱上，若二面角的余弦值为，试求的值.‎ ‎ ‎ ‎20．已知抛物线的方程为，点为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，曲线在一点的法线即与该点切线垂直的直线。‎ ‎ ‎ ‎（1）若点的法线被抛物线所截的线段最短，求点坐标；‎ ‎（2）任意一条和轴平行的直线交曲线于点，关于在点Q的法线对称的直线为，直线通过一个定点，求定点坐标.‎ 参考答案 ‎1．A ‎【解析】令，则，‎ 由得恒成立，即在上单调递增，当时，，得；当时， ‎ 得，在中，令，得，综上，故选A.‎ 点睛：本题主要考查了导数的四则运算，利用导数证明函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小，构造一个恰当的函数是解决本题的关键；令，对于求导，根据已知条件可判断出函数在上单调递增，先分为和两种情形结合单调性得符号，最后在验证时的情形，可得结果.‎ ‎2．B ‎【解析】三视图还原如下图：‎ ‎ ‎ 原图形为正方体割去三棱锥和三棱锥，所以体积为V=‎ ‎3．B ‎【解析】由题意可得即为函数，排除，，显然存在使得，所以在上单调递增，在上单调递减。所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 对于函数图像选择题，一般从四个选项的差异性入手讨论函数的性质，从整体性质到局部性质，如本题先利用图像对称性，考虑奇偶性。再利用图像的单调性变化，从而讨论导数。‎ ‎4．A ‎【解析】抛物线的准线为，即，所以，选A.‎ ‎【点睛】‎ 抛物线需化标准式，如本题先化为准线为一次项系数除以-4,所以准线为.‎ ‎5．B ‎【解析】①不等两边同时除以，得。所以①对。‎ ‎②因为，所以②对。‎ ‎③选择正方体，上下底面为，为垂直下底面的的棱，为选两垂直棱中点的线，显然条件成立，但是不能推出。所以③错。‎ ‎④由再直线垂直，可知，可得或。所以④错。选B.‎ ‎6．C ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ 所以 ，令 当 时， 此时方程有且仅有一个根；‎ 当 时，，函数先减后增，且，所以要使方程有且仅有一个根；需，即，又所以，综上的取值范围是 ，选C.‎ 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ ‎7．A ‎【解析】解：若锐角满足，则，即；同理可得这与矛盾，故锐角满足，即且，，单调递减，‎ 故选：.‎ ‎8．A ‎【解析】第一个人分，第二个人分，第三个人分，……，第个人为，故，解得.‎ 点睛：本题主要考查归纳推理，数列的递推公式，考查等比数列前项和公式.首先根据题意归纳出每个人分得到的苹果数，只需归纳第一、第二、第三个人的苹果数，根据这三个数的规律，发现每个数表示成的形式，将这个数相加起来等于总数，利用等比数列求和公式即可求得的值.‎ ‎9．B ‎【解析】不妨设函数，当时，满足，即，化简得，两边平方化简得，故选.‎ ‎10．C ‎【解析】过做，连接，由于,所以，即到点的距离等于到直线的距离，故轨迹为抛物线的一部分.‎ ‎ ‎ ‎11．B ‎【解析】如图，分别为的中点，易知球心点在线段上，因为，则．又∵平面平面，平面平面=BC，∴‎ 平面ABC，∴，∴．因为点是的中点，∴，且 ．‎ 设球心的半径为，，则，在中，有，在中，有，解得，所以，故选B．‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查球内接多面体，球的表面积，属于中档题， 其中依据题意分析出球心必位于两垂直平面的交线上，然后再利用勾股定理，即可求出球的半径，进而可求出球的表面积，此类题目主要灵活运用线面垂直的判定及性质，面面垂直的判定及性质是解题的关键.‎ ‎12．D ‎【解析】设，则，由椭圆定义，‎ ‎，又∵成等比数列，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，整理得，即，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，以及等比数列的性质，考查了学生综合分析能力，属于中档题，首先此题需要依据题中三个线段成等比数列的条件得到之间的关系，再根据椭圆的基本性质，即可得到关于的方程，从而得到椭圆的离心率.‎ ‎13．1，2‎ ‎【解析】因为100除以7余数为2.所以甲报1，2，后面乙不管报几个数，甲报的数与乙报的数加起来和为7即可。填1，2‎ ‎14．‎ ‎【解析】解：（1），因为各项均为正数，则即则上面个式子相乘得，设的公差，，解之得，，.‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎15．乙 ‎【解析】四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁 没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知犯罪的是乙.‎ ‎【点评】本体是逻辑分析题，应结合题意，根据丁说“乙说的是事实”发现，乙、丁意见一致，从而找到解题的突破口，四人中有两人说的是真话，因此针对乙、丁的供词同真和同假分两种情况分别讨论分析得出结论.‎ ‎16．10‎ ‎【解析】由于为奇函数，故，所以，由于，故，即，.‎ 点睛：本题主要考查函数的奇偶性，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的转化方法，考查等差数列求和公式.题目给定了一个恒成立的绝对值不等式，怎么利用上这个条件即是本题的突破口，注意到，而函数为奇函数，故考虑利用函数的奇偶性即，结合题目所给绝对值不等式，即可求得，再利用等差数列求和公式来求的.‎ ‎17．（1）当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.（2）‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）因为，所以，‎ 当时，对，，‎ 所以在是减函数，此时函数不存在极值，‎ 所以函数没有极值点；‎ 当时，，令，解得，‎ 若，则，所以在上是减函数，‎ 若，则，所以在上是增函数，‎ 当时，取得极小值为，‎ 函数有且仅有一个极小值点，‎ 所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.‎ ‎（Ⅱ）命题“，”是假命题，则“，”是真命题，即不等式在区间内有解.‎ 若，则设 ，‎ 所以 ，设 ，‎ 则，且是增函数，所以 ‎ 当时，，所以在上是增函数，‎ ‎，即，所以在上是增函数，‎ 所以，即在上恒成立.‎ 当时，因为在是增函数，‎ 因为， ，‎ 所以在上存在唯一零点，‎ 当时，，在上单调递减，‎ 从而，即，所以在上单调递减，‎ 所以当时，，即.‎ 所以不等式在区间内有解 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎18．（1）（2）见解析（3）‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）由得 即（且）‎ 则数列为以为公差的等差数列 因此 ‎ ‎（Ⅱ）证明：因为（）‎ 所以（）‎ ‎ （）‎ ‎ （）‎ 所以（）‎ 因为 所以数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）得 所以 ‎ ‎ （）‎ 所以是递增数列.‎ 因为当时，，当时，‎ 当时，‎ 所以数列从第3项起的各项均大于0，故数列的前2项之和最小.‎ 记数列的前项和为，则 .‎ ‎19．（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：连接，设交于，因为是等腰直角三角形 ‎，所以，又，所以是和的中点 已知，所以四边形是正方形 则，又，‎ 所以平面，‎ 同理，‎ 所以平面 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明过程知为正方形，如图建立坐标系，则：‎ ‎，，，，‎ 设（），‎ 由可得 则，‎ 易知平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为 则得 令得，‎ 所以，‎ 解得，所以 ‎20．（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先确定抛物线方程:再设切点,利用导数几何意义求切线斜率,得法线斜率,根据点斜式得法线方程,与抛物线方程联立方程组,结合韦达定理及弦长公式可得法线被抛物线截得的线段的长度，最后利用导数求函数最值,确定切点坐标,（2）设直线：，则根据对称求出直线方程:,令得,即直线通过定点.‎ 试题解析：解：（1）把 代入抛物线方程，解得，‎ 抛物线方程为，设切点为，‎ 显然点不为原点，在点处的法线方程为，‎ 即，‎ 消元得 ，‎ 法线被抛物线截得的线段的长度为，‎ 设为偶函数，不妨设，‎ 所以当 所以当，故在减函数，在增函数，‎ 所以当时，法线被抛物线截得的线段最短.‎ ‎（2）设直线：，其关于法线对称的直线为，‎ 设与抛物线的交点交轴的点为，切线交轴的点为，‎ 由于平行于轴，且与关于法线对称，‎ 由此可以推出，因此为等腰三角形，‎ 于是，从而，化简得，‎ 所以，对称直线都过定点.‎