湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编-立体几何

湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编-立体几何

湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编 立体几何　2017.02‎ 一、选择、填空题 ‎1、（黄冈市2017届高三上学期期末）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S为（注：圆台侧面积公式为）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎3、（荆门市2017届高三元月调考）如上图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中点，底边在直径上，则它的表面积是 A． B．8 C．10 D．11‎ ‎4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如上图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）一只蚂蚁从正方体的顶点A处出发，经过正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点的位置，则下列图中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是 A．①② B．①③ C．②④ D．③④‎ ‎6、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为 ‎ A. 2 B. C. D.‎ ‎7、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）‎ 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为（立方寸），则图中的为（ ）‎ A．1.2 B．1.6 C. 1.8 D．2.4‎ ‎8、（襄阳市2017届高三1月调研）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎9、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）已知某几何体的三视图如图所示（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的表面积是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）已知四棱锥P－ABCD的三视图如图，则四棱锥P－ABCD的全面积为（　 　）‎ ‎ A．3＋　　 B．2＋ 第4题图 ‎ C．5 D．4‎ ‎11、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）如图所示，在四边形中，,将沿折起，使得平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是 A.平面平面 B.平面平面 ‎ C. 平面平面 D.平面平面 ‎12、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知两条不同的直线和两个不同的平面，以下四个命题中正确命题的个数是（ ）‎ ‎①若，且，则 ②若，且，则 ‎③若，且，则 ④若，且，则 A．4 B．3 C. 2 D．1‎ ‎13、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）在三棱锥中，与都是边长 为6的正三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的面积为________.‎ 二、解答题 ‎1、（黄冈市2017届高三上学期期末）如图，在各棱长均为2的三棱柱中，侧面底面，‎ ‎ （1）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；‎ ‎ （2）已知点D满足，在直线上是否存在点P,使DP//平面 ‎？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由.‎ ‎2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，， 分别为的中点，点在线段上． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．‎ ‎3、（荆门市2017届高三元月调考）如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，都是等边三角形， EF∥AB，且EFAB ，M,O分别为的中点,连接.‎ ‎ （Ⅰ）求证：MO⊥底面ABCD； ‎ ‎ （Ⅱ）若EF=2AB，求二面角的余弦值. ‎ ‎4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝3，AA1＝3，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．‎ ‎（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；‎ ‎（Ⅱ）若OC＝OA，求二面角A1－AC－B的余弦值．‎ ‎5、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）如图，在三棱柱中，，，，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎6、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考） 如图，在三棱柱中，平面，为的中点.‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎ （2）求二面角的余弦值.‎ ‎7、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）如图，四棱锥中， ，，侧面为等边三角形， , .‎ ‎（Ⅰ）证明：平面;‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎8、（襄阳市2017届高三1月调研）在长方体中，E,F分别是的中点，.‎ ‎(1)求证：EF//平面；‎ ‎(2))求证：平面平面；‎ 在线段上是否存在一点Q,使得二面角为，若存在，求的值，不存在，说明理由.‎ ‎9、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）如图，在四棱锥中，为棱的中点，异面直线与所成的角为.‎ ‎ （1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；‎ ‎ （2）若二面角的大小为，求二面角的余弦值.‎ ‎10、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，． （1）求证：平面⊥平面；‎ ‎（2）若二面角大小的为 ，求的长 ‎11、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且 ‎ （1）求证：;‎ ‎ （2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，请说明理由.‎ ‎12、（荆州中学2017届高三1月质量检测）如图，在四棱锥中，侧面底面,,为的中点，底面是直角梯形，,，,．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）设为棱上一点，,试确定的值使得二面角为．‎ 参考答案 一、选择、填空题 ‎1、D　　2、B　　3、C　　4、C　　5、C　　　6、D ‎7、B　　8、B　　9、D　　10、A 11、D 　 12、C　　13、60π 二、解答题 ‎1、解：（1)∵侧面底面，作于点，∴平面．‎ 又，且各棱长都相等，‎ ‎∴，，．…2分 故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎，，，，‎ ‎∴，，．……4分 设平面的法向量为，‎ 则 ,解得．由． ‎ 而侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角，‎ ‎∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为…………………6分 ‎（2）∵，而 ‎∴又∵，∴点的坐标为． ‎ 假设存在点符合题意，则点的坐标可设为，∴．‎ ‎∵，为平面的法向量，‎ ‎∴由，得． ……………10分 又平面，故存在点，使，其坐标为，‎ 即恰好为点．………12分 ‎2、（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，‎ ‎ 所以．由分别为的中点，得， ‎ ‎ 所以． …………2分 ‎ 因为侧面底面，且，所以底面． ‎ 又因为底面，所以． …………4分 ‎ ‎ 又因为，平面，平面， ‎ ‎ 所以平面． ………………6分 ‎ ‎（Ⅱ）解：因为底面，，所以两两垂直，以分别为、、，建立空间直角坐标系，则 ‎， ‎ ‎ 所以，，，设，则，‎ 所以，，易得平面的法向量． ‎ ‎ 设平面的法向量为，由，，得 ‎ 令， 得． ‎ 因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，‎ ‎ 所以，即，所以 ，‎ ‎ 解得，或（舍）． 综上所得：……12分 ‎3、（Ⅰ）证法一：取BC、AD中点G、H，连接EH、FG、HG，‎ 又因为EF∥AB，所以EF∥平面ABCD，则EF∥HG，‎ 由EH=FG，可知EFGH是等腰梯形， …………………………………2分 M和O分别为EF和HG的中点，则MO⊥HG. ‎ ‎ 因为均为正三角形，所以EH⊥AD、FG⊥BC、HG⊥BC，‎ 则 BC⊥平面EFGH， …………………………………4分 MO在平面EFGH内，所以BC⊥MO；‎ 又MO⊥HG，HG和BC是底面ABCD上的两条相交直线，‎ 故MO⊥底面ABCD. …………………………………6分 ‎ 证法二：连接AC、AM、CM，则O为AC中点，‎ 因为EF∥AB，所以EF∥平面ABCD，则EF∥CD，‎ 因为均为正三角形，则EA=ED=FB=FC，‎ 可知EFBA和EFCD是全等的等腰梯形， …………………………………2分 因为M为EF中点，则MA=MB=MC=MD. ‎ 所以MAC和MBD是全等的等腰三角形， …………………………………4分 所以MO⊥AC，MO⊥BD，‎ 又AC和BD是底面ABCD上的两条相交直线，‎ 故MO⊥底面ABCD. …………………………………6分 ‎ （Ⅱ）方法一：过F作OG延长线的垂线交于N点，连接BN，‎ 因为EF=2AB，所以MF=ON=AB，，则BO⊥BN，‎ 又FN∥MO，所以FN⊥底面ABCD，则FN⊥BO，所以BO⊥平面BFN，‎ 则BO⊥BF，因此∠FBN为二面角F—BD—N的平面角，………………………………9分 设AB，则EM=MF=ON,‎ 则，又，‎ 所以∠FBN，即二面角F—BD—N为，同样二面角E—BD—A为，‎ 因此二面角为，则所求余弦值为0. ……………………………………12分 方法二：以O为坐标原点，直线HG、OM分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，‎ 过F作OG延长线的垂线交于N点，连接BN，‎ 因为EF=2AB，设AB，则EM=MF=ON，‎ 则，则B，‎ D，F，‎ E,设平面BDE的法向量为 ‎，‎ 则，，‎ ‎,, 取,…………9分 设平面BDF的法向量为，则,‎ 取, 因为，即，‎ ‎ 所以平面BDE⊥平面BDF，因此二面角为，则所求余弦值为0. …12分 ‎4、解：（Ⅰ）证明：由题意tan∠ABD＝＝，tan ∠AB1B＝＝，‎ ‎0<∠ABD，∠AB1B<，∠ABD＝∠AB1B，‎ ‎∠ABD＋∠BAB1＝∠AB1B＋∠BAB1＝，AB1⊥BD …………………2分 又CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊥CO． …………………3分 又BD与CO交于点O，AB1⊥平面CBD， …………………4分 又BC⊂平面CBD，BC⊥AB1． …………………5分 ‎（Ⅱ）如图，以O为原点，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则，，，． ‎ ‎，，． …………………7分 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则，即， ‎ 令x＝1，可得n＝(1，，－)是平面ABC的 一个法向量． …………………9分 设平面A1AC的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则，即， ‎ 令x＝2，可得m＝(2，－，)是平面A1AC的一个法向量．…………………10分 设二面角A1－AC－B的平面角为α，则 二面角A1－AC－B的余弦值为． …………………12分 ‎5、【解析】（Ⅰ）设E为BC的中点，连接由题意得 ‎ 所以因为，所以 ‎ 故………………………………………………3分 ‎ 由D，E分别为，BC的中点，‎ ‎ 得，从而，‎ ‎ 所以四边形为平行四边形 ‎ 故,又因为 ‎ 所以………………………………6分 ‎（Ⅱ）（解法一）作，连接 ‎ 由，得 ‎ 由，得全等 ‎ 由，得，‎ ‎ 因此为二面角的平面角……9分 ‎ 由，得 ‎ ‎ 由余弦定理得………………………………12分 ‎（解法二）以CB的中点E为原点，分别以射线EA，‎ EB为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz，‎ 如图所示……………………………………7分 ‎ 由题意知各点坐标如下：‎ ‎ ‎ ‎ 所以……9分 设平面的法向量为，平面的法向量为 由，即 可取 由，即 可取 于是 由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，‎ 故二面角的平面角的余弦值为……………………12分 ‎6、‎ ‎7、解：方法一：空间向量法 ‎（Ⅰ）以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,, ,‎ 设，则 ，‎ 且， ， ，‎ 由,得 ，‎ 解得： ，‎ 由,得 ①‎ 由,得 ②‎ 解①②，得 ，‎ ‎ , , , ,‎ ‎, ,‎ ‎ ,‎ 平面 …………………6分 ‎（Ⅱ）设平面的法向量，‎ 则,， ，‎ 又 ,,‎ ‎ ，取 ，得，‎ ‎, ，‎ 故与平面 所成的交的正弦值为.‎ 方法二：综合法 ‎（Ⅰ） 解：如下图，取的中点，连结，，则四边形为矩形，‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ 侧面为等边三角形，,‎ ‎,且,‎ 又 ,‎ ‎, ,‎ ‎,‎ 平面.‎ ‎（Ⅱ）过点作于，‎ 因为，，所以平面平面 所以平面平面,‎ 由平面与平面垂直的性质，知平面,‎ 在中，由，得，所以.‎ 过点作平面于，连结，则为与平面所成角的角，‎ 因为 ，平面,‎ 所以平面，所以,‎ 在中，由，求得.‎ 在中， ,所以 ,‎ 由，得 ，‎ 即，解得,‎ 所以,‎ 故与平面所成角的正弦值为.‎ ‎8、(Ⅰ)证：过F作FM∥C1D1交CC1于M，连结BM ∵F是CD1的中点，∴FM∥C1D1， 2分 又∵E是AB中点，∴BE∥C1D1， 因此BE∥FM，BE = FM，EBMF是平行四边形，∴EF∥BM 又BM在平面BCC1B1内，∴EF∥平面BCC1B1． 4分 ‎(Ⅱ)证：∵D1D⊥平面ABCD，CE在平面ABCD内，∴D1D⊥CE 在矩形ABCD中，，∴ 6分 故△CED是直角三角形，∴CE⊥DE，∴CE⊥平面D1DE ∵CE在平面CD1E内，∴平面CD1E⊥平面D1DE． 8分 ‎(Ⅲ)解：以为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则 C(0，2，0)，E(1，1，0)，D1(0，0，1) 平面D1DE的法向量为 设，则 ‎ 设平面DEQ的法向量为m = (x，y，z)，则 令y = 1，则 10分 ∴ 由于，∴ ∴线段CD1上存在一点Q，使得二面角Q－DE－D1为45°，且． 12分 ‎9、解：（I）延长交直线于点， ‎ ‎∵点为的中点，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵∥，即∥．∴四边形为平行四边形，即∥．‎ ‎∵，∴，∴∥，‎ ‎∵平面，∴∥平面， …………4分 ‎ ‎∵，平面，∴平面，故在平面内可以找到一点，使得直线∥平面 ………………………6分　　 　　‎ ‎（II）法一、‎ 如图所示，∵，异面直线与所成的角为，即⊥ 又，‎ ‎∴⊥平面． ‎ 又即⊥‎ ‎∴⊥平面 ‎ ‎∴⊥．‎ 因此是二面角的平面角，其大小为．‎ ‎∴． ……………………8分 ‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则．‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，，，‎ 易知平面的法向量为 设平面的法向量为，则，可得：．‎ 令，则，∴． …………………………10分 设二面角的平面角为，‎ 则=． ‎ ‎ ∴ 二面角的余弦值为． ………………１２分 法二、同法一可得⊥平面， ‎ 过点作交的延长线于，连接 ‎∵⊥平面 平面 ‎∴ 又，∴平面 ‎∴∴即为二面角的平面角．……………10分 在中 ‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴ 二面角的余弦值为． ………………１２分 ‎10、解：（1）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，‎ ‎∴四边形BCDQ为平行四边形， ∴CD // BQ …………… (2分)‎ ‎∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ ‎∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面MQB，∴平面MQB⊥平面PAD…………… (5分)‎ ‎（2）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD．…… (6分)‎ 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．‎ 则，，，，‎ 由 ，且，得 所以 又，‎ ‎∴ 平面MBQ法向量为……………(8分)‎ 由题意知平面BQC的法向量为……………(9分)‎ ‎∵二面角M-BQ-C为60° ∴，∴ ……………(10分)‎ ‎ ∴…………………………(12分) ‎ ‎11、（1）证明：连接交于点，‎ 因，则 由平面侧面，且平面侧面，‎ 得，又平面， 所以. ……2分 三棱柱是直三棱柱，则，所以. ……3分 又，从而侧面 ，又侧面，故.‎ ‎……5分 ‎（2）由（1），则直线与平面所成的角 所以，又，所以 ……7分 假设在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为 由是直三棱柱，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则由，‎ ‎，得 ‎ 所以，‎ 设平面的一个法向量，由， 得：‎ ‎，取 ……9分 由（1）知，所以平面的一个法向量 ‎……10分 所以，解得 ‎∴点为线段中点时，二面角的大小为 ……12分 ‎12、解：（Ⅰ）令中点为，连接， 点分别是的中点， ,.‎ 四边形为平行四边形. ,又平面, 平面,.‎ ‎（Ⅱ）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），则，，，， ，，‎ ‎，设平面的法向量为，则且，即且，取，得，,平面的一个法向量为.‎ 又，所以为平面的一个法向量，由 ‎，又，所以.‎