2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第7章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质

2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第7章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质

‎2010~2014年高考真题备选题库 第7章 立体几何 第5节 直线、平面垂直的判定与性质 ‎1．（2012安徽，5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　　　　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若α⊥β，又α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又因为a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，即不能推出α⊥β.‎ 答案：A ‎2．（2011浙江，5分）下列命题中错误的是(　　)‎ A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析：对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．‎ 答案：D ‎3．（2011新课标全国，12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.‎ ‎(1)证明：PA⊥BD；‎ ‎(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．‎ 解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.‎ 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.‎ 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.‎ 所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.‎ ‎(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，则 A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．‎ ‎＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．‎ 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 因此可取n＝(，1，)．‎ 设平面PBC的法向量为m，则 可取m＝(0，－1，－)．则cos〈m，n〉＝＝－.‎ 故二面角A－PB－C的余弦值为－.‎