辽宁省某重点中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学（理）试题

辽宁省某重点中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学（理）试题

‎2012-2013学年度（上）期末考试 高二数学试卷（理）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点一定共面的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2、①；‎ ‎ ②设，命题“的否命题是真命题；‎ ‎ ③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件；‎ ‎ 则其中正确的个数是（ ）‎ ‎ A．0 B．‎1 ‎‎ ‎ C．2 D．3‎ ‎3、三个共面向量、、两两所成的角相等，且，，，则 等于（ ） ‎ 输出s 结束 开始 否 是 A．或6 B． ‎6 ‎‎ C． D．3或6‎ ‎4、抛物线的准线方程是（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5、已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，‎ ‎ ．对于结论：①；②；③是平面的法向量；‎ ‎ ④．其中正确的个数是（ ）‎ ‎ A．1 B．‎2 ‎‎ ‎ C．3 D．4‎ ‎6、平面上两定点、的距离为4，动点满足，则的最小值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．5‎ ‎7、执行如右图所示的程序框图,输出的值为（　 　） ‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎8、 点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是（　　 ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9、 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10、已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心 ‎ 率的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ C A D B ‎11、如右图在一个二面角的棱上有两个点，，线段分别在 这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱， ，则这个二面角的度数为（　　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12、设离心率为的双曲线的右焦点为F，直线过点F且斜率为，则直线与双曲线左、右支都有交点的条件是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13、从集合{，，，}中任意取出两个不同的数记作，则方程 表示焦点在轴上的双曲线的概率是 ．‎ ‎14、在正方体中，与平面所成角的正弦值为 ．‎ ‎15、在中，.如果一个椭圆通过、两点，它的一个焦点为点，另一 ‎ 个焦点在边上，则这个椭圆的焦距为 ．‎ ‎16、三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)‎ ‎17、 (本小题满分10分)设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量 ‎ ‎ ,,动点的轨迹为E.‎ （1） 求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状； ‎ （2） 当时，轨迹E与直线交于两点，求弦的长.‎ ‎18、（本小题满分12分）如下左图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所 D M P C B A 在的平面，BC＝，且M为BC的中点.求二面角P－AM－D的大小．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19、（本题满分12分）上右图一个44网格，其各个最小正方形的边长为，现用直径为 的硬币投掷到此网格上,设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点.‎ ‎ （1）求硬币落下后完全在最大的正方形内的概率； ‎ ‎ （2）求硬币落下后与网格线没有公共点的概率．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知直线l：与抛物线 ‎ C：交于A、B两点，为坐标原点 ‎ .‎ ‎ （1）求直线l和抛物线C的方程；‎ ‎ （2）抛物线上一动点P从A到B运动时，求点P到直线l ‎ ‎ 的最大值，并求此时点P的坐标．‎ ‎21、（本小题满分12分）下左图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）求直线和平面所成角的正弦值.‎ A B C D E F ‎ 22、（本小题满分12分）上右图已知、分别为椭圆：的上、‎ 下焦点，其中也是抛物线：的焦点，点是与在第二象限的交点， 且 ‎ ‎. （1）求椭圆的方程；‎ （1） 已知，，直线 与椭圆 相交于两点.求四边形面积的最大值.‎ ‎2012-2013学年度上学期期末考试答案 高二数学试卷（理）‎ 一、选择题：‎ ‎1—12 DBABCCCDAD BA 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎17、解: （1）因为,,,‎ ‎ 所以 , 即. ‎ ‎ 当m=0时,方程表示两直线,方程为; 当时, 方程表示的是圆 ‎ 当且时,方程表示的是椭圆; ‎ ‎ 当时,方程表示的是双曲线. ……6分 ‎ （2)联立 得，则……10分 z y x M P D C B ‎ 18、解：以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系,依题意可得 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎ …… 3分 ‎ 设，且平面PAM，则 ‎ 即∴ ， 取，得 …… 8分 取，显然平面ABCD， ‎ ‎∴结合图形可知，‎ 二面角P－AM－D为45°网] ……12分 ‎19、 解：（1）因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点 ‎ ‎ 所以圆心的最大限度为原正方形向外再扩张1个小圆半径的区域，且四角为 ‎ 四分之一圆弧，此时总面积为：16×16＋4×16×1＋π×12=320＋π… 4分 ‎ 完全落在最大的正方形内时，圆心的位置在14为边长的正方形内，其面积 ‎ ‎ 为14×14=196；故：硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为：‎ ‎ ；…… 8分 ‎ （2）每个小正方形内与网格线没有公共点的部分是正中心的边长为2的正方 ‎ ‎ 形的内部，一共有16个小正方形，总面积有：16×22=64；‎ ‎ 故：硬币落下后与网格线没有公共点的概率为：．…… 12分 ‎20、解：（1）由得, ‎ ‎ 设 ‎ 则 ‎ = …… 3分 ‎ 所以解得 ‎ ‎ 所以直线的方程为抛物线C的方程为…… 6分 ‎ （2）由得， ‎ ‎ 设 ，‎ ‎ 到直线的距离为 ‎ ‎ 因为，所以当时，max=，‎ ‎ 此时 …… 12分 ‎21、解: 设，建立如图所示的坐标系，则 ‎.‎ ‎∵为的中点，∴. …… 2分 ‎（1）证：， ‎ ‎∵，平面，‎ ‎∴平面. …… 5分 ‎（2）证：∵， ‎ ‎∴，∴. ‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴平面平面. …… 8分 ‎  (3)解：设平面法向量为，由可得：‎ ‎ ，取. ‎ ‎ 又，设和平面所成的角为，则 ‎ .‎ ‎∴直线和平面所成角的正弦值为. …… 12分 ‎22、解：（1）设.由C2：，得F1（0，1）. ‎ ‎ 因为M在抛物线C2上，故①. 又，则②. ‎ ‎ 解①②得 因为点M在椭圆上，‎ ‎ 方法一： ③ 又c=1，则④‎ ‎ 解③④得 故椭圆C1的方程为. ‎ ‎ 方法二：，即 ③ ‎ ‎ 又c=1，则 ④ ‎ ‎ 解③④得 故椭圆C1的方程为. …… 5分 ‎ （2）不妨设，，且.‎ ‎ 将代入中，可得， ‎ ‎ 即，所以. …… 7分 ‎ 由（1）可得. ‎ ‎ 故四边形AEBF的面积为 ‎ ‎ ‎ 所以 …… 10分 ‎ 因为，所以. ‎ ‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ ‎ 故四边形AEBF面积的最大值为. …… 12分 ‎ ‎ ‎ ‎