甘肃省兰州市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

甘肃省兰州市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

兰州二中2019—2020学年度第一学期期中考试 高二理科数学试题 第I卷 一、选择题（本题12小题，每题5分，共计60分）‎ ‎1.集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x||x|<2}，则(　　)‎ A. A∩B＝∅ B. A∩B＝A C. A∪B＝A D. A∪B＝R ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解二次不等式和绝对值不等式求出集合A与集合B，根据两集合的范围判断集合关系.‎ ‎【详解】解二次不等式可得：，解绝对值不等式可得：，‎ 由范围可知集合A为集合B的子集，由集合间的关系可知：.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值与二次不等式的求解以及集合间的关系，解二次不等式可以辅助图像解题，含一个绝对值的不等式可利用绝对值的定义求解，集合间的关系可以结合韦恩图求解.‎ ‎2.若，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式性质证明不等式是正确，举反例说明不等式是错误的．‎ ‎【详解】若，则、均错，若，则错，‎ ‎∵，∴，C正确．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，解题时一定要注意不等式的性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘（或除）的数一定要分正负，否则易出错．‎ ‎3.设等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的下标和公式可得，再由等差数列的前项和公式求出，最后由特殊角的三角函数值计算可得；‎ ‎【详解】解：‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题.‎ ‎4.已知等比数列中，，则的值为（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 8 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设数列的公比为，由，，得，解得，则，故选B.‎ 考点：等比数列.‎ ‎5.△中，已知，，，如果△有两组解，则的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由正弦定理得 A+C=180°-60°=120°， 由题意得：A有两个值，且这两个值之和为180°， ∴利用正弦函数的图象可得：60°＜A＜120°， 若A=90，这样补角也是90°，一解，不合题意， ＜sinA＜1， ∵x=sinA，则2＜x＜‎ 故选D ‎6.在中，已知，则的形状为（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理可得，再由二倍角公式可得即可判断；‎ ‎【详解】解：因为 或，即或 故为等腰或直角三角形，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理及三角恒等变换的应用，三角形形状的判定，属于基础题.‎ ‎7.设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的最小值为（ ）‎ A. 12 B. ‎13 ‎C. 14 D. 15‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，由于，可得：，，判断，的符号即可得出．‎ ‎【详解】解：设等差数列的公差为，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则满足的正整数的最小值为13．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前项和公式性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎8.的三边，，的对角分别为，，，若是与的等差中项，，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得，由正弦定理得出，，然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可．‎ ‎【详解】解：，，得，，‎ 由正弦定理得：，‎ ‎，，‎ 则 当时，的最大值是．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用为解题关键，属于中档题．‎ ‎9.已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，若，，则角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知等式利用正弦定理化简，整理求出的值，求出的度数，利用余弦定理列出关系式，把与的值代入得到关于与的方程，与已知等式联立求出与的值，再利用正弦定理求出的值，即可确定出的度数．‎ ‎【详解】解：已知等式利用正弦定理化简得：，‎ 由，整理得：，即，‎ 由余弦定理得：，即①，‎ 与联立，解得：，，‎ 由正弦定理，得：，‎ ‎，，‎ 则．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．‎ ‎10.已知数列满足，且，则数列的前项和（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列的递推公式可得，变形可得，即为以为首项，为公差的等差数列，再根据等差数列的求和公式计算可得；‎ ‎【详解】解：因为，即 所以为以为首项，为公差的等差数列；‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式及等差数列的求和公式的应用，属于中档题.‎ ‎11.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1200尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（ ）‎ A. 12 B. ‎11 ‎C. 10 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 大鼠和小鼠每天穿墙尺寸都构成一个等比数列，只是公比不同，然后由等比数列前项和公式计算可得．‎ ‎【详解】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列，它们都是等比数列，，数列的公比为，数列的公比为，设需要天能打穿墙，‎ 则，‎ 时，，‎ 时，，‎ 因此需要11天才能打穿．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的应用，掌握等比数列的前项和公式是解题关键．‎ ‎12.在中，，，分别为内角，，的对边，三边，，成等差数列，且 ‎，则的值为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 三边，，成等差数列，可得，利用正弦定理可得：，即，设，平方相加即可得出．‎ ‎【详解】解：三边，，成等差数列，‎ ‎，‎ 利用正弦定理可得：，‎ ‎，‎ 设，‎ 则平方相加可得：，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分）‎ ‎13.已知一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 一元二次不等式对一切实数都成立，的图象在轴上方，，由此能够求出的取值范围．‎ ‎【详解】解：一元二次不等式对一切实数都成立，‎ 由题意知，‎ 根据的图象 ‎，，解得．‎ 的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题时要抓住二次函数与轴无交点的特点进行求解．主要考查了二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．‎ ‎14.若，满足约束条件，则的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出可行域，再根据斜率含义确定最优解.‎ ‎【详解】作出可行域，如图，则的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ ‎15.在中，角的对边分别为，已知，且，则为 ．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，，，，，即，解得．‎ 所以在中．‎ ‎，，，．‎ 考点：1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．‎ ‎16.正项数列的前项和为，且，设，则数列的前2019项的和为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．‎ ‎【详解】解：正项数列的前项和为，①，‎ 则②，‎ ‎②-①得：，‎ 整理得：‎ 因为 ‎，‎ 当时，，解得：，‎ 所以：数列是以1为首项，1为公差的等差数列.‎ 则，‎ 所以：.‎ 则：，‎ 数列的前2019项的和为：，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．‎ 三、解答题（本题共6小题，共计70分）‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）若不等式的解集与不等式的解集相等，求实数，的值；‎ ‎（2）若，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先解出分式不等式，再根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系计算可得；‎ ‎（2）依题意可得，即得画出线性约束条件表示的可行域，根据目标函数的几何意义计算可得；‎ ‎【详解】解：（1）因为，，，解得；‎ 即不等式的解集为，‎ 所以，且得两根为，‎ 所以 解得 ‎（2）由题意可得，画出可行域，如图所示 由解得，作平行直线系，‎ 故得取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法，一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，简单的线性规划问题，属于中档题.‎ ‎18.已知等差数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式以及前项和；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设数列的公差为，由已知条件得到方程组，解得即可；‎ ‎（2）分为偶数和为奇数，分别计算可得；‎ ‎【详解】解：（1）设数列的公差为，则，解得，‎ 故.‎ ‎（2）若为偶数，‎ 则 ‎，‎ 若为奇数，‎ 则 ‎，‎ 故 ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，分组求和，属于基础题.‎ ‎19.在中，内角，，对边的边长分别是，，.已知，.‎ ‎（1）若的面积等于3，试判断的形状，并说明理由；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）为等边三角形；详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）为等边三角形，理由为：利用余弦定理列出关系式，把，的值代入得到关系式，再由的面积等于，利用三角形面积公式列出关系式，两式联立求出与的值，即可对于的形状做出判断；‎ ‎（2）已知等式利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简，再利用和差化积公式变形，由为0与不为0两种情况，分别求出三角形面积即可．‎ ‎【详解】解：（1）为等边三角形，理由为：‎ ‎，‎ 由余弦定理得：，‎ 即，‎ 的面积等于，‎ ‎，即，‎ 解得：，‎ 则为等边三角形；‎ ‎（2）由，‎ 变形得：，‎ 即，‎ 若，即，由，得，此时面积；‎ 若，可得，由正弦定理得：，‎ 由余弦定理可得：，此时面积为.‎ 故得面积为.‎ ‎【点睛】此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎20.已知数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由递推公式可得，再利用累乘法求出数列的通项公式；‎ ‎（2）首先可得，再利用错位相减法求和即可；‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎，‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎，故，‎ 经检验时也成立，‎ 故的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎①-②得 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查累乘法求数列的通项公式及错位相减法求和，属于中档题.‎ ‎21.如图，有一位于处的雷达观察站发现其北偏东，与相距海里的处有一货船正匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于点北偏东（其中），且与相距海里的处．‎ ‎（1）求该船的行驶速度；‎ ‎（2）在处的正南方向20海里处有一暗礁（不考虑暗礁的面积）．如果货船继续行驶，它是否有触礁的危险？说明理由．‎ ‎【答案】（1）海里/小时；（2）有.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用余弦定理，即可求得结论；‎ ‎（2）（2）由（1）知，在△ABC中，，设BC延长线交AE于F，则，在△AFC中，由正弦定理，即可求得结论．‎ ‎【详解】（1）由题意， ‎ ‎，‎ 由余弦定理可得 ‎ ‎∵航行时间为20分钟 ‎∴该船的行驶速度（海里/小时）；‎ ‎（2）‎ 由（1）知，在△ABC中，，‎ 设BC延长线交AE于F，则，‎ 在△AFC中，由正弦定理可得，‎ ‎，‎ ‎（海里）‎ ‎∴F与E重合，即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险．‎ ‎【点睛】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是确定三角形，属于中档题．‎ ‎22.已知数列的前项和为，点在曲线，数列满足 ‎，，的前项和为.‎ ‎(1)求，的通项公式；‎ ‎(2)设 ，数列的前项和为，求使不等式恒成立的最大正整数的值．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，由，验证成立，即可求得；再由，，的前项和为，求出；‎ ‎（2）根据裂项求和求出，再求证是递增数列，只要恒成立，即可求出最大正整数值.‎ ‎【详解】(1)由已知得，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 当时，符合上式．‎ 所以.‎ 因为数列满足，‎ 所以数列为等差数列．设其公差为，‎ 则解得，‎ 所以.‎ ‎(2)由(1)得，，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以是递增数列，所以，‎ 故要使恒成立，只要恒成立，‎ 解得，所以使不等式成立的最大正整数的值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及裂项求和法，属于常规题.‎