2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题08 不等式（讲）（解析版）
专题08 不等式(讲)
1．【2019年高考全国II卷理数】若a>b，则( )
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
2．【2019年高考天津卷理数】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为( )
A．2 B．3
C．5 D．6
【答案】D
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.
目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，
故目标函数在点处取得最大值.由，
得，所以.故选C.
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．
3．【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】方法一：.
因为，所以，
即，当且仅当时取等号成立.
又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.
方法二：
.
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.
4【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】化简不等式，可知 推不出，由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，故选B.
【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.
一、考向分析：
不等式
一元二次不等式
导数与不等式恒成立
数列与不等式证明
基本不等式
线性规划
二、考向讲解
考查内容
解 题 技 巧
一元二次
不等式
1、含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论
(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论。
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式。
(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集。
2、一元二次不等式恒成立问题求解思路
(1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解。
(2)一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围。
线性规划
1．求目标函数的最值3步骤：①作图；②平移；③求值。
2．常见的3类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by。求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值。
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2。
(3)斜率型：形如z＝。
导数与不等式恒成立
1、含全称、存在量词不等式恒成立问题的方法
(1)存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max。
(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min。
(3)任意x1∈A，x2∈B，使f(x1)≥g(x2)，则f(x)min≥g(x)max。
(4)存在x1∈A，x2∈B，使f(x1)≤g(x2)，则f(x)min≤g(x)max。
2、利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围。恒成立问题的求解方法：a≥f(x)在x∈D上恒成立，则a≥f(x)max(x∈D)；a≤f(x)在x∈D上恒成立，则a≤f(x)min。
基本不
等式
1．应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”。所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件。
2．在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式。
3、条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解。
4、基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：
(1)先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点。
(2)用基本不等式求最值，要有用基本不等式求最值的意识。
(3)检验。检验等号是否成立，完成后续问题。
数列与不
1．两平面向量共线的充要条件有两种形式
①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b(b≠0)⇔a＝λb。
等式证明
2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数。当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解。
考查一元二次不等式解法：
【例1】已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，则a＋b＝( )
A．－3 B．1 C．－1 D．3
【解析】由题意得，A＝{x|－1
1。
若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，解得x<或x>1。
若a>0，原不等式等价于(x－1)<0。
① 当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解； ②当a>1时，<1，解(x－1)<0，得1，解(x－1)<0，得11}；
当01时，解集为。
考查一元二次不等式恒成立：
【典例1】已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－) B．(－，0) C．(－∞，0)∪(，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞)
【答案】A
【解析】因为f(x)在R上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f(x)在R上是增函数，结合题意得－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立⇒mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒⇒m∈(－∞，－)。
【典例2】设函数f(x)＝mx2－mx－1。若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围。
【答案】{m|m<}。
【解析】要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m2m－6<0在x∈[1,3]上恒成立。
令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]，当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒
7m－6<0，所以m<，所以00，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2 ＋3
＝－2＋3＝1。当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立。故f(x)＝4x－2＋的最大值为1。
考查线性规划：
【例1】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )
(A)6 (B)19 (C)21 (D)45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义
可知目标函数在点处取得最大值，联立直线方程：，可得点的
坐标为，据此可知．故选C．
【例2】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
【答案】D
【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润
，由题意可列，其表示如图阴影部分区域：
当直线过点时，取得最大值，所以
，故选D．
考查数列与不等式：
【例1】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列。
(1)求数列{an}的通项公式，(2)若bn＝log2an＋2，设数列的前n项和为Tn，证明≤Tn<1。
【解析】 (1)由题意Sn，an，成等差数列，2an＝Sn＋，
当n＝1时，2a1＝S1＋，所以a1＝，当n≥2时，Sn＝2an－，Sn－1＝2an－1－。
两式相减得an＝2an－2an－1，所以an＝2an－1。 由{an}为正项数列，an≠0，所以＝2(n≥2)，
因此数列{an}是以为首项，以2为公比的等比数列，即an＝2n－2。
(2)证明：bn＝log2an＋2＝log22n－2＋2＝n，＝－，
则Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－。因为≤1－<1，所以≤Tn<1。
考查导数与不等式：
【例1】已知函数，证明：当时，．
【证明】由题意：原不等式等价于：恒成立；令，
∴，，∵，∴恒成立，∴在上单调递增，∴在上存在唯一使，∴，即，且在上单调递减，在上单调递增，∴.
又，，
∵，∴，∴，∴，综上所述：当时，.
【例2】已知函数，若，证明：当时，；当时，；
【证明】当时，，
∴.
令，∴.
∴当时，，在上递增，当时，，在上递减.
∴，∴恒成立，∴在上单调递增，
又，∴当时，；当时，.
不等式恒成立问题
分离参数求参数取值范围
【例1】已知函数f(x)＝ex＋ax2－e2x。若x>0时，总有f(x)>－e2x，求实数a的取值范围。
【解析】由f(x)>－e2x得a>－。设g(x)＝－，x>0，则g′(x)＝。所以当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)在(0,2)上单调递增；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)在(2，＋∞)上单调递减。所以g(x)≤g(2)＝－。因此，a的取值范围是。
小结：利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围。恒成立问题的求解方法：a≥f(x)在x∈D上恒成立，则a≥f(x)max(x∈D)；a≤f(x)在x∈D上恒成立，则a≤f(x)min。
转化法求参数范围
【例2】设函数f(x)＝a2lnx＋ax(a≠0)，g(x)＝2tdt，F(x)＝g(x)－f(x)。
(1)试讨论F(x)的单调性。(2)当a>0时，－e2≤F(x)≤1－e在x∈[1，e]恒成立，求实数a的取值。
【解析】(1)由题意得：g(x)＝2tdt＝x2，所以F(x)＝g(x)－f(x)＝x2－a2lnx－ax(x>0)，
F′(x)＝2x－－a＝，
a>0时，x∈(0，a)时，F′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，F′(x)>0，
所以函数F(x)在(0，a)单调递减，在区间(a，＋∞)单调递增；
a<0时，x∈时，F′(x)<0，x∈时，F′(x)>0，
所以函数F(x)在区间单调递减，在单调递增，
综上，a>0时，函数F(x)在区间(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增；
a<0时，函数F(x)在区间单调递减，在区间单调递增。
(2)由题意得F(1)＝g(1)－f(1)＝1－a≤1－e，即a≥e，当a>0时，由(1)得F(x)在[1，e]内单调递减，
故要使－e2≤F(x)≤1－e在x∈[1，e]恒成立，只需即即即a＝e。
小结：破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围。
不等式能成立问题
含参数的能成立(存在型)问题
【例1】已知函数f(x)＝x3－ax2＋10。
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程。
(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围。
【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋10，所以f′(x)＝3x2－2x。所以k＝f′(2)＝8。
又f(2)＝14，所以切线方程为y＝8x－2。
(2)由已知得：a>＝x＋，设g(x)＝x＋(1≤x≤2)，则g′(x)＝1－，因为1≤x≤2，
所以g′(x)<0。所以g(x)在[1,2]上是减函数，所以g(x)min＝g(2)＝，a>，
即a的取值范围是。
小结：含参数的能成立(存在型)问题的解题方法
(1)a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min； (2)a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max。
含有全称量词与存在量词的不等式问题
【例2】已知函数f(x)＝lnx－mx(m∈R)，g(x)＝x－(a>0)。
(1)求函数f(x)的单调区间。
(2)若m＝，对∀x1，x2∈[2,2e2]都有g(x1)≥f(x2)成立，求实数a的取值范围。
【解析】(1)f(x)＝lnx－mx，x>0，所以f′(x)＝－m，
当m≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增。
当m>0时，由f′(x)＝0得x＝；由得0。
综上所述，当m≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当m>0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为。
(2)若m＝，则f(x)＝lnx－x。对∀x1，x2∈[2,2e2]都有g(x1)≥f(x2)成立，等价于对∀x∈[2,2e2]都有g(x)min≥f(x)max，由(1)知在[2,2e2]上f(x)的最大值为f(e2)＝，g′(x)＝1＋>0(a>0)，x∈[2,2e2]，函数g(x)在[2,2e2]上是增函数，g(x)min＝g(2)＝2－，由2－≥，得a≤3，又a>0，所以a∈(0,3]，即实数a的取值范围是(0,3]。
小结：含全称、存在量词不等式恒成立问题的方法
1．存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max。
2．任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min。
3．任意x1∈A，x2∈B，使f(x1)≥g(x2)，则f(x)min≥g(x)max。
4．存在x1∈A，x2∈B，使f(x1)≤g(x2)，则f(x)min≤g(x)max。
