2020版高考数学一轮复习(讲义·理)第10章计数原理概率随机变量及其分布 第9讲 离散型随机变量的均值方差和正态分布

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2020版高考数学一轮复习(讲义·理)第10章计数原理概率随机变量及其分布 第9讲 离散型随机变量的均值方差和正态分布

第9讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布 ‎[考纲解读] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,并能根据分布列正确求出期望与方差,并能解决一些实际问题.(重点、难点)‎ ‎2.借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,掌握正态曲线的相关性质,并能进行正确求解.‎ ‎[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的热点题型. 预计2020年将会考查:①与分布列相结合求期望与方差,通过设置密切贴近现实生活的情景,考查概率思想的应用意识和创新意识;②正态分布的考查,尤其是正态总体在某一区间内的概率. 题型为解答题中的一问,试题难度不会太大,属中档题型.‎ ‎1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎ (1)均值:称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.‎ ‎(2)D(X)=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差.‎ ‎2.均值与方差的性质 ‎(1)E(aX+b)=aE(X)+b;‎ ‎(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).‎ ‎3.两点分布与二项分布的均值、方差 ‎4.正态曲线 ‎(1)正态曲线的定义 函数φμ,σ(x)=e,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线(μ是正态分布的期望,σ是正态分布的标准差).‎ ‎(2)正态曲线的特点 ‎①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;‎ ‎②曲线是单峰的,关于直线x=μ对称;‎ ‎③曲线在x=μ处达到峰值;‎ ‎④曲线与x轴之间的面积为1;‎ ‎⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;‎ ‎⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.‎ ‎5.正态分布 ‎(1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a,b(a1.75,则p的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 根据题意,学生一次发球成功的概率为p,即P(X=1)=p,发球二次的概率P(X=2)=p(1-p),发球三次的概率P(X=3)=(1-p)2,则E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3,依题意有E(X)>1.75,则p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,结合p的实际意义,可得00),试卷满分150分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的,则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为(  )‎ A.400 B.500 C.600 D.800‎ 答案 A 解析 ∵P(X≤90)=P(X≥110)=,‎ ‎∴P(90≤X≤110)=1-2×=,‎ ‎∴P(100≤X≤110)=,‎ 则成绩在100分到110分之间的人数为1000×=400.故选A.‎ 条件探究 若将举例说明1中“正方形”改为“矩形”,“X~N(1,1)”变为“X~N(-1,1),阴影部分如图所示”,则结果如何?‎ 解 对于正态分布N(-1,1),可知μ=-1,σ=1,正态曲线关于直线x=-1对称,故题图中阴影部分的面积为×[P(-30)和N(μ2,σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有(  )‎ A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2‎ C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2‎ 答案 A 解析 μ反映正态分布的平均水平,x=μ是正态曲线的对称轴,由图知μ1<μ2,σ反映正态分布的离散程度,σ越大,曲线越“矮胖”,表明越分散,σ越小,曲线越“高瘦”,表明越集中,由图知σ1<σ2.‎ ‎2.在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从正态分布,即ξ~N(100,100),已知满分为150分.‎ ‎(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率;‎ ‎(2)若这次考试共有2000名考生参加,试估计这次考试及格(不小于90分)的人数.‎ 解 (1)由ξ~N(100,100),知μ=100,σ=10.‎ ‎∴P(80<ξ≤120)=P(100-20<ξ≤100+20)=0.9544,‎ 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.9544.‎ ‎(2)P(90<ξ≤110)=P(100-10<ξ≤100+10)=0.6826,‎ ‎∴P(ξ>110)=×(1-0.6826)=0.1587,‎ ‎∴P(ξ≥90)=0.6826+0.1587=0.8413.‎ ‎∴估计及格人数约为2000×0.8413≈1683.‎ 高频考点 均值、方差的计算和实际应用 考点分析 离散型随机变量的均值、方差是高考大题的必考题型之一.通常以实际问题为背景,综合考查概率计算、求分布列,计算均值、方差还应特别注意与函数知识的综合问题.‎ ‎[典例] (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.‎ ‎(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?‎ 解 (1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)==0.2,‎ P(X=300)==0.4,‎ P(X=500)==0.4.‎ 因此X的分布列为 X ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500.‎ 当300≤n≤500时,‎ 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;‎ 若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;‎ 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.‎ 因此E(Y)=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.‎ 当200≤n<300时,‎ 若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;‎ 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n,‎ 因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.‎ 所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.‎
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