2019-2020学年辽宁省大连市高二上学期期中考试数学试题 word版

2019-2020学年辽宁省大连市高二上学期期中考试数学试题 word版

大连市2019～2020学年第一学期期中考试 高二数学试卷 ‎（时间：120分钟 总分：100分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；并将条形码粘贴在指定区域。‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。‎ ‎3．第Ⅱ卷答案用黑色签字笔填写在试卷指定区域内。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，其中1～10小题为单选题，每小题只有一个选项符合题意；11～12为多选题，每小题有两个选项符合题意，选对一个得3分，两个都选对得5分，选错或选错一个得0分。)‎ ‎1．直线的斜率是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若圆C与圆C′（x＋2）2＋（y－1）2＝1关于原点对称，则圆C′的方程是（ ）‎ ‎ A．（x＋1）2＋（y－2）2＝1 B．（x-2）2＋（y－1）2＝1‎ ‎ C．（x－1）2＋（y+2）2＝1 D．（x-2）2＋（y+1）2＝1‎ ‎3．如图，在三棱锥中，点D是棱AC的中点，若，，，则等于（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎4．直线是（ ）‎ ‎ A．过点的一切直线 B．过点的一切直线 ‎ C．过点且除x轴外的一切直线 D．过点且除直线外的一切直线 ‎5．如果存在三个不全为0的实数，，，使得向量，则关于，，叙述正确的是（ ）‎ ‎ A．，，两两相互垂直 B．，，中只有两个向量互相垂直 ‎ C．，， 共面 D．，，中有两个向量互相平行 ‎6．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点P中，在平面内的是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎7．若直线与直线平行，则（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C．或2 D．或 ‎8．设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎9．如图所示，正方体的棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎10．已知椭圆的左焦点为，有一质点A从处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射（无论经过几次反射速率始终保持不变），若质点第一次回到时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（多选题）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中错误的是（ ）‎ ‎ A．若为椭圆,则 ‎ ‎ B．若为双曲线,则或 ‎ C．曲线可能是圆 ‎ ‎ D．若为椭圆，且长轴在轴上，则 ‎12．（多选题）在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值可以是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）‎ ‎13．在平面直角坐标系中，双曲线的虚轴的一个端点到一条渐近线的距离为 。‎ ‎14．已知圆与圆相交，则实数的取值范围为 。‎ ‎15．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为 。‎ ‎16．某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是 米。‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17．（本小题10分）‎ ‎（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；‎ ‎（2）已知椭圆的离心率，求的值。‎ ‎18．（本小题12分）‎ ‎ 已知圆与直线相交于不同的两点，为坐标原点。‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数的值。‎ ‎19．（本小题12分）‎ ‎ 底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点。‎ ‎（1）在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）。‎ ‎（2）若，求平面与平面的距离。‎ ‎20．（本小题12分）‎ ‎ 如图，设是圆上的动点，点是在轴上的射影，为上一点，且。‎ ‎（Ⅰ）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）求过点且斜率为的直线被所截线段的长度。‎ ‎21．（本小题12分）‎ 如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且。‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由。‎ ‎22．（本小题12分）‎ ‎ 已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：‎ ‎2019～2020学年第一学期期中考试 ‎ BDBDC BBACD AD AB 第Ⅱ卷（非选择题，共×分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）‎ ‎13、 14、 15、 16．32‎ 三、解答题：本大题共3小题，共30分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（1）（2）‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵双曲线与双曲线1有相同焦点，∴设所求双曲线方程为：1，（﹣4＜λ＜16），∵双曲线过点（，2），∴1，∴λ＝4或λ＝﹣14．（舍）‎ ‎∴所求双曲线方程为．‎ ‎（2）椭圆方程可化为1，‎ 因为m0，所以m，‎ 即a2＝m，b2，c，由e，得，解得m＝1，所以m＝1．‎ ‎18．（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）‎ 解：由消去得，由已知得，得，得实数的取值范围是；‎ ‎（2）因为圆心到直线的距离为，‎ 所以 由已知得，解得.‎ ‎19．（1）见解析;（2）‎ 试题解析：‎ ‎（1）如图，取的中点，连接，则平面即为所求平面.‎ ‎（2）如图，连接交于，∵在直棱柱中，底面为菱形，‎ ‎∴，∴分别以为轴， 为原点建立如图所示空间直角坐标系，‎ 又∵所有棱长为2， ，∴‎ ‎， ， ，∴‎ ‎，∴， ，设 是平面的一个法向量，则，即，令 得， ，∴点到平面的距离 ‎，∴平面与平面的距离 ‎20．（1）； （Ⅱ）.‎ 解：（1）设的坐标为，的坐标为，‎ 由已知得，因为在圆上， 所以，即的方程为； ‎ ‎（Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为 ， ‎ 设直线与的交点为，，将直线方程代入的方程，得：‎ ‎，整理得，所以，，‎ 所以.‎ ‎21．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ)见解析.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，‎ 由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.‎ ‎(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 易知：，由可得点F的坐标为，由可得，设平面AEF的法向量为：，则 ‎，‎ 据此可得平面AEF的一个法向量为：，‎ 很明显平面AEP的一个法向量为，‎ ‎，二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.‎ ‎(Ⅲ)易知，由可得，‎ 则，注意到平面AEF的一个法向量为：，‎ 其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.‎ ‎22．（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，则.‎ 当时，直线的方程为.‎ 令，得，从而.‎ 直线的方程为.‎ 令，得，从而.‎ 所以 ‎.‎ 当时，，‎ 所以.‎ 综上，为定值.‎