2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章 6 第6讲 双曲线
第 6 讲 双曲线
1．双曲线的定义
条 件 结论 1 结论 2
平面内的动点 M 与平面内的两个定点 F1，F2
||MF1|－|MF2||＝2a
2a<|F1F2|
M 点的
轨迹为
双曲线
F1、F2 为双曲线的焦
点
|F1F2|为双曲线的焦距
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)
y2
a2－
x2
b2＝1(a＞0，b＞0)
图 形
范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R y≤－a 或 y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±
b
ax y＝±
a
bx
离心率 e＝
c
a，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2
叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的半实
轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长
性质
a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线及性质
(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2
－y2＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线⇔离心率 e＝ 2⇔两条渐近线 y＝±x 相互垂直．
4．双曲线中一些常用的结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.
(2)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，
|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为
2b2
a ，异支的弦中
最短的为实轴，其长为 2a.
(4)设 P，A，B 是双曲线上的三个不同的点，其中 A，B 关于原点对称，直线 PA，PB
斜率存在且不为 0，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为
b2
a2.
(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，
则 S△PF1F2＝b2·
1
tan
θ
2
，其中 θ 为∠F1PF2.
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线．( )
(2)椭圆的离心率 e∈(0，1)，双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)．( )
(3)方程
x2
m －
y2
n ＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
[教材衍化]
1．(选修 21P61A 组 T1 改编)若双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离
等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为
x
a±
y
b＝0，
即 bx±ay＝0，
所以 2a＝
bc
a2＋b2＝b.
又 a2＋b2＝c2，所以 5a2＝c2.
所以 e2＝c2
a2＝5，所以 e＝ 5.
答案： 5
2．(选修 21P62A 组 T6 改编)经过点 A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线
方程为________．
解析：设双曲线的方程为
x2
a2－
y2
a2＝±1(a＞0)，
把点 A(3，－1)代入，得 a2＝8(舍负)，
故所求方程为
x2
8 －y2
8＝1.
答案：
x2
8 －
y2
8 ＝1
3．(选修 21P61 练习 T3 改编)以椭圆
x2
4 ＋
y2
3 ＝1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方
程为________．
解析：设要求的双曲线方程为
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)，由椭圆
x2
4 ＋
y2
3 ＝1，得焦点为(±1，
0)，顶点为(±2，0)．所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)．所以 a＝1，c＝2，所以
b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为 x2－
y2
3 ＝1.
答案：x2－
y2
3 ＝1
[易错纠偏]
(1)忽视双曲线的定义；
(2)忽视双曲线焦点的位置；
(3)忽视双曲线的渐近线与离心率的关系．
1．平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于 6 的点的轨迹是________．
解析：由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，得 a＝3，又 c＝4，则 b2＝c2－a2＝7，所以所求点
的轨迹是双曲线
y2
9 －
x2
7 ＝1 的下支．
答案：双曲线
y2
9 －
x2
7 ＝1 的下支
2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为
π
3 ，则
双曲线的离心率为________．
解析：若双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为
x2
a2－
y2
b2＝1，则渐近线的方程为 y＝
±
b
ax，由题意可得
b
a＝tan
π
3 ＝ 3，b＝ 3a，可得 c＝2a，则 e＝
c
a＝2；若双曲线的焦点在 y
轴上，设双曲线的方程为
y2
a2－
x2
b2＝1，则渐近线的方程为 y＝±
a
bx，由题意可得a
b＝tan
π
3 ＝
3，a＝ 3b，可得 c＝
2 3
3 a，则 e＝
2 3
3 .综上可得 e＝2 或 e＝
2 3
3 .
答案：2 或
2 3
3
3．若双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率
为________．
解析：由条件知 y＝－
b
ax 过点(3，－4)，所以
3b
a ＝4，即 3b＝4a，所以 9b2＝16a2，所以 9c2
－9a2＝16a2，所以 25a2＝9c2，所以 e＝
5
3.
答案：
5
3
双曲线的定义
(1)(2020·宁波高三质检)设双曲线 x2－
y2
8 ＝1 的两个焦点为 F1，F2，P 是双曲线上
的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2 的面积等于( )
A．10 3 B．8 3
C．8 5 D．16 5
(2)(2020·温州八校联考)△ABC 的顶点 A(－5，0)，B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直
线 x＝3 上，则顶点 C 的轨迹方程是________．
【解析】 (1)依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝
6，|PF2|＝8，所以等腰三角形 PF1F2 的面积 S＝
1
2×8× 62－(8
2 )2
＝8 5.
(2)如图，△ABC 与内切圆的切点分别为 G，E，F.
|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线的定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 6 的双曲
线的右支，方程为
x2
9 －
y2
16＝1(x>3)．
【答案】 (1)C (2)x2
9－
y2
16＝1(x>3)
(变条件)若本例(1)中“|PF1|∶|PF2|＝3∶4”变为“PF1⊥PF2”，其他条件不变，如何求
解．
解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则{m2＋n2＝36，
m2＋n2－2mn＝4，
解得 mn＝16，所以 S△PF1F2＝
1
2mn＝8.
双曲线定义的应用规律
类型 解读
求方程
由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线的定义，确定 2a，2b
或 2c 的值，从而求出 a2，b2 的值，写出双曲线方程
解焦点三角形
利用双曲线上点 M 与两焦点的距离的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中
2a<|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题
[提醒] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双
曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
1．已知双曲线 x2－
y2
24＝1 的两个焦点为 F1，F2，P 为双曲线右支上一点．若|PF1|＝
4
3
|PF2|，则△F1PF2 的面积为( )
A．48 B．24
C．12 D．6
解析：选 B.由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝
1
3|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝
8，又|F1F2|＝10，故三角形 PF1F2 为直角三角形，因此 S△PF1F2＝
1
2|PF1|×|PF2|＝24.
2．(2020·衢州调研)若双曲线
x2
4 －
y2
12＝1 的左焦点为 F，点 P 是双曲线右支上的动点，
A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( )
A．8 B．9
C．10 D．12
解析：选 B.由题意知，双曲线
x2
4 －
y2
12＝1 的左焦点 F 的坐标为(－4，0)，设双曲线的右
焦点为 B，则 B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋
（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当 A，P，B 三点共线且 P 在 A，B 之间时取等
号．
所以|PF|＋|PA|的最小值为 9.
双曲线的标准方程
(1)已知双曲线 C：
x2
a2－
y2
b2＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 y＝
5
2 x，且与椭
圆
x2
12＋
y2
3 ＝1 有公共焦点，则 C 的方程为( )
A.
x2
8 －
y2
10＝1 B.
x2
4 －
y2
5 ＝1
C.
x2
5 －
y2
4 ＝1 D.
x2
4 －
y2
3 ＝1
(2)(2020·浙江省六市六校联盟模拟)如图所示，已知双曲线以长方形
ABCD 的顶点 A，B 为左、右焦点，且双曲线过 C，D 两顶点．若 AB＝
4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
【解析】 (1)根据双曲线 C 的渐近线方程为 y＝
5
2 x，可知
b
a＝
5
2
①，又椭圆
x2
12＋
y2
3 ＝1 的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以 a2＋b2＝9 ②，根据①②可知 a2
＝4，b2＝5，所以选 B.
(2)设双曲线的标准方程为
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)．
由题意得 B(2，0)，C(2，3)，
所以{4＝a2＋b2，
4
a2－ 9
b2＝1，解得{a2＝1，
b2＝3，
所以双曲线的标准方程为 x2－
y2
3 ＝1.
【答案】 (1)B (2)x2－
y2
3 ＝1
(1)求双曲线标准方程的答题模板
(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法
①与双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1 共渐近线的方程可设为
x2
a2－
y2
b2＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为 y＝±
b
ax，则双曲线的方程可设为
x2
a2－
y2
b2＝λ(λ≠0)；
③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x2
m＋
y2
n ＝1(mn<0)或 mx 2＋ny2＝
1(mn<0)．
分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为 12，离心率为
5
4；
(2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)；
(3)渐近线方程为 y＝±
1
2x，且经过点(4， 3)．
解：(1)设双曲线的标准方程为
x2
a2－
y2
b2＝1 或
y2
a2－
x2
b2＝1(a>0，b>0)．
由题意知，2b＝12，e＝
c
a＝
5
4，
所以 b＝6，c＝10，a＝8.
所以双曲线的标准方程为
x2
64－
y2
36＝1 或
y2
64－
x2
36＝1.
(2)因为双曲线经过点 M(0，12)，
所以 M(0，12)为双曲线的一个顶点，
故焦点在 y 轴上，且 a＝12.
又 2c＝26，所以 c＝13.
所以 b2＝c2－a2＝25.
所以双曲线的标准方程为
y2
144－
x2
25＝1.
(3)法一：因为双曲线的渐近线方程为 y＝±
1
2x，
所以可设双曲线的方程为 x2－4y2＝λ(λ≠0)．
因为双曲线过点(4， 3)，
所以 λ＝16－4×( 3)2＝4，
所以双曲线的标准方程为
x2
4 －y2＝1.
法二：因为渐近线 y＝
1
2x 过点(4，2)，而 3<2，
所以点(4， 3)在渐近线 y＝
1
2x 的下方，在 y＝－
1
2x 的上方(如图)．
所以双曲线的焦点在 x 轴上，故可设双曲线方程为
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得{b
a＝1
2，
16
a2－ 3
b2＝1，
解得{a2＝4，
b2＝1，
所以双曲线的标准方程为
x2
4 －y2＝1.
双曲线的几何性质(高频考点)
双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题
多为容易题或中档题．主要命题角度有：
(1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长；
(2)求双曲线的渐近线方程；
(3)求双曲线的离心率(或范围)．
角度一 求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长
(2020·义乌模拟)已知离心率为
5
2 的双曲线 C：
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点
分别为 F1，F2，M 是双曲线 C 的一条渐近线上的点，且 OM⊥MF2，O 为坐标原点，若 S△
OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( )
A．32 B．16
C．84 D．4
【解析】 由题意知 F 2(c，0)，不妨令点 M 在渐近线 y＝
b
ax 上，由题意可知|F2M|＝
bc
a2＋b2＝b，所以|OM|＝ c2－b2＝a.由 S△OMF2＝16，可得
1
2ab＝16，即 ab＝32，又 a2＋b2
＝c2，
c
a＝
5
2 ，所以 a＝8，b＝4，c＝4 5，所以双曲线 C 的实轴长为 16.故选 B.
【答案】 B
角度二 求双曲线的渐近线方程
已知 F1，F2 是双曲线 C：
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若|PF1|
＋|PF2|＝6a，且△PF1F2 最小内角的大小为 30°，则双曲线 C 的渐近线方程是( )
A. 2x±y＝0 B．x± 2y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
【解析】 由题意，不妨设|PF1|＞|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝6a，
解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c，而 c＞a，
所以有|PF2|＜|F1F2|，
所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos 30°，得 c＝ 3a，所以 b＝
c2－a2＝ 2a，
所以双曲线的渐近线方程为 y＝±
b
ax＝± 2x，
即 2x±y＝0.
【答案】 A
角度三 求双曲线的离心率(或范围)
(1)(2019·高考浙江卷)渐近线方程为 x±y＝0 的双曲线的离心率是( )
A.
2
2 B．1
C. 2 D．2
(2)已知双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线上
存在一点 P 使
sin∠PF1F2
sin∠PF2F1＝
a
c，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
【解析】 (1)因为双曲线的渐近线方程为 x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还
是在 y 轴上，都满足 a＝b，所以 c＝ 2a，所以双曲线的离心率 e＝
c
a＝ 2.故选 C.
(2)在△PF1F2 中，由正弦定理知
|PF2|
sin∠PF1F2＝
|PF1|
sin∠PF2F1，又
sin∠PF1F2
sin∠PF2F1＝
a
c，所以
|PF2|
|PF1|
＝
a
c，所以点 P 在双曲线右支上，设 P(x0，y0)，如图，
又因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝
2a2
c－a.由双曲线的几何性质知
|PF2|>c－a，则
2a2
c－a>c－a，即 e2－2e－1<0，所以 1－ 2
1，故 10，b>0)的左焦点 F 作圆 O：x2＋y2＝a2 的两条切线，切点为
A，B，双曲线左顶点为 C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝± 3x B．y＝±
3
3 x
C．y＝± 2x D．y＝±
2
2 x
解析：选 A.如图所示，连接 OA，OB，
设双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的焦距为 2c(c>0)，则 C(－a，0)，F(－c，0)．
由双曲线和圆的对称性知，点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝
1
2∠ACB＝
1
2×120°＝60°.
因为|OA|＝|OC|＝a，
所以△ACO 为等边三角形，
所以∠AOC＝60°.
因为 FA 与圆 O 相切于点 A，所以 OA⊥FA，
在 Rt△AOF 中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即 c＝
2a，
所以 b＝ c2－a2＝ （2a）2－a2＝ 3a，
故双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为
y＝±
b
ax，即 y＝± 3x.
2．(2020·绍兴诸暨高考模拟)设双曲线
x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别是 F 1，
F2，点 P 在双曲线上，且满足∠PF2F1＝2∠PF1F2＝60°，则此双曲线的离心率等于( )
A．2 3－2 B.
3＋1
2
C. 3＋1 D．2 3＋2
解析：选 C.设双曲线的焦距长为 2c，
因为点 P 为双曲线上一点，且∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，
所以 P 在右支上，∠F2PF1＝90°，
即 PF1⊥PF2，|PF1|＝2csin 60°＝ 3c，
|PF2|＝2ccos 60°＝c，
所以由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝( 3－1)c＝2a，所以 e＝
c
a＝
2
3－1
＝ 3＋1.
故选 C.
3．(2020·嘉兴一中高考适应性考试)若双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的右焦点到渐近线的
距离等于焦距的
3
4 倍，则双曲线的离心率为________，如果双曲线上存在一点 P 到双曲线
的左右焦点的距离之差为 4，则双曲线的虚轴长为________．
解析：因为右焦点到渐近线的距离为 b，若右焦点到渐近线的距离等于焦距的
3
4 倍，
所以 b＝
3
4 ·2c＝
3
2 c，
平方得 b2＝
3
4c2＝c2－a2，即 a2＝
1
4c2，
则 c＝2a，则离心率 e＝
c
a＝2，
因为双曲线上存在一点 P 到双曲线的左右焦点的距离之差为 4，
所以 2a＝4，则 a＝2，从而 b＝ 16－4＝2 3.
答案：2 4 3
直线与双曲线的位置关系
已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2，0)，实轴长为 2 3.
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C 左支交于 A，B 两点，求 k 的取值范围．
【解】 (1)设双曲线 C 的方程为
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)．
由已知得，a＝ 3，c＝2，再由 a2＋b2＝c2，得 b2＝1，
所以双曲线 C 的方程为
x2
3 －y2＝1.
(2)设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，
将 y＝kx＋ 2代入
x2
3 －y2＝1，
得(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
由题意知{
1－3k2 ≠ 0，
Δ＝36（1－k2） > 0，
xA＋xB＝ 6 2k
1－3k2 < 0，解得 3
3 < k < 1.
xAxB＝ －9
1－3k2 > 0，
所以 k 的取值范围为( 3
3 ，1).
(变问法)在本例(2)的条件下，线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0，m)，求 m 的
取值范围．
解：由(2)得：xA＋xB＝
6 2k
1－3k2，
所以 yA＋yB＝(kxA＋ 2)＋(kxB＋ 2)
＝k(xA＋xB)＋2 2＝
2 2
1－3k2.
所以 AB 的中点 P 的坐标为( 3 2k
1－3k2，
2
1－3k2).
设直线 l0 的方程为：y＝－
1
kx＋m，
将 P 点坐标代入直线 l0 的方程，得 m＝
4 2
1－3k2.
因为
3
3 0，b>0)的离心率为 3，点( 3，0)是双曲
线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点 F2 作倾斜角为 30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点 A，B，
求 AB 的长．
解：(1)因为双曲线 C：
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，点( 3，0)是双曲线的一个
顶点，
所以{c
a＝ 3，
a＝ 3，
解得 c＝3，b＝ 6，
所以双曲线的方程为
x2
3 －
y2
6 ＝1.
(2)双曲线
x2
3 －
y2
6 ＝1 的右焦点为 F2(3，0)，所以经过双曲线右焦点 F2 且倾斜角为 30°
的直线的方程为 y＝
3
3 (x－3)．
联立{x2
3 －y2
6＝1，
y＝ 3
3 （x－3），
得 5x2＋6x－27＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝－
6
5，x1x2＝－
27
5 .
所以|AB|＝ 1＋1
3× (－6
5 )2
－4 × (－27
5 )＝
16 3
5 .
[基础题组练]
1．若双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝± 2x
C．y＝±
1
2x D．y＝±
2
2 x
解析：选 B.由条件 e＝ 3，即
c
a＝ 3，得
c2
a2＝
a2＋b2
a2 ＝1＋
b2
a2＝3，所以
b
a＝± 2，所以双曲
线的渐近线方程为 y＝± 2x.故选 B.
2．已知双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为 y＝kx(k＞0)，离心率 e＝ 5k，则
双曲线的方程为( )
A.
x2
a2－
y2
4a2＝1 B.
x2
a2－
y2
5a2＝1
C.
x2
4b2－
y2
b2＝1 D.
x2
5b2－
y2
b2＝1
解析：选 C.由已知得{b
a＝k，
c
a＝ 5k，
a2＋b2＝c2，
所以 a2＝4b2.所以双曲线的方程为
x2
4b2－
y2
b2＝1.
3．(2020·杭州学军中学高三质检)双曲线 M：x 2－
y2
b2＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，
记|F1F2|＝2c，以坐标原点 O 为圆心，c 为半径的圆与曲线 M 在第一象限的交点为 P，若|PF1|
＝c＋2，则点 P 的横坐标为( )
A.
3＋1
2 B.
3＋2
2
C.
3＋3
2 D.
3 3
2
解析：选 A.由点 P 在双曲线的第一象限可得|PF1|－|PF2|＝2，则|PF2|＝|PF1|－2＝c，又
|OP|＝c，∠F1PF2＝90°，由勾股定理可得(c＋2)2＋c2＝(2c)2，解得 c＝1＋ 3.易知△POF2
为等边三角形，则 xP＝
c
2＝
3＋1
2 ，选项 A 正确．
4．(2020·杭州中学高三月考)已知 F1，F2 分别是双曲线 C：
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的左、
右焦点，若 F2 关于渐近线的对称点恰落在以 F1 为圆心，OF1 为半径的圆上，则双曲线 C 的
离心率为( )
A. 3 B．3
C. 2 D．2
解析：选 D.由题意，F1(－c，0)，F2(c，0)，一条渐近线方程为 y＝
b
ax，则 F2 到渐近线
的距离为
bc
b2＋a2＝b.
设 F2 关于渐近线的对称点为 M，F2M 与渐近线交于点 A，所以|MF2|＝2b，A 为 F2M 的
中点，又 O 是 F1F2 的中点，所以 OA∥F1M，所以∠F1MF2 为直角，
所以△MF1F2 为直角三角形，
所以由勾股定理得 4c2＝c2＋4b2，
所以 3c2＝4(c2－a2)，所以 c2＝4a2，
所以 c＝2a，所以 e＝2.
故选 D.
5．已知 F 是双曲线 C：x2－
y2
3 ＝1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A
的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )
A.
1
3 B.
1
2
C.
2
3 D.
3
2
解析：选 D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为 F(2，0)，当 x＝2 时，代入双曲线 C
的方程，得 4－
y2
3 ＝1，解得 y＝±3，不妨取点 P(2，3)，因为点 A(1，3)，所以 AP∥x 轴，
又 PF⊥x 轴，所以 AP⊥PF，所以 S△APF＝
1
2|PF|·|AP|＝
1
2×3×1＝
3
2.故选 D.
法二：由题可知，双曲线的右焦点为 F(2，0)，当 x＝2 时，代入双曲线 C 的方程，得 4
－
y2
3 ＝1，解得 y＝±3，不妨取点 P(2，3)，因为点 A(1，3)，所以AP→
＝(1，0)，PF→
＝(0，－3)，
所以AP→
·PF→
＝0，所以 AP⊥PF，所以 S△APF＝
1
2|PF|·|AP|＝
1
2×3×1＝
3
2.故选 D.
6．(2020·浙江高中学科基础测试)已知双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)与抛物线 y 2＝20x
有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个交点为 P，若|PF|＝17，则双曲线的离心率为( )
A. 5 B.
5
3
C.
5
4 D.
5
2
解析：选 B.由题意知 F(5，0)，不妨设 P 点在 x 轴的上方，由|PF|＝17 知点 P 的横坐标
为 17－5＝12，则其纵坐标为 20 × 12＝4 15，设双曲线的另一个焦点为 F1(－5，0)，则|PF1|
＝ （12＋5）2＋（4 15）2＝23，所以 2a＝|PF1|－|PF|＝23－17＝6，所以 a＝3，所以 e＝
c
a＝
5
3，故选 B.
7．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知曲线
x2
2 ＋
y2
k2－k＝1，当曲线表示焦点在 y 轴上
的椭圆时 k 的取值范围是________；当曲线表示双曲线时 k 的取值范围是________．
解析：当曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆时，k2－k＞2，
所以 k＜－1 或 k＞2；
当曲线表示双曲线时，k2－k＜0，
所以 0＜k＜1.
答案：k＜－1 或 k＞2 0＜k＜1
8．(2020·金华十校联考)已知 l 是双曲线 C：
x2
2 －
y2
4 ＝1 的一条渐近线，P 是 l 上的一点，
F1，F2 是 C 的两个焦点，若PF1→
·PF2→
＝0，则 P 到 x 轴的距离为________．
解析：F1(－ 6，0)，F 2( 6，0)，不妨设 l 的方程为 y＝ 2x，则可设 P(x0， 2x0)，由
PF1→
·PF2→
＝(－ 6－x0，－ 2x0)·( 6－x0，－ 2x0)＝3x20－6＝0，得 x0＝± 2，故 P 到 x 轴的距
离为 2|x0|＝2.
答案：2
9．(2020·瑞安四校联考)设双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与直线 x＝
a2
c 分别交
于 A，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若 60°<∠AFB<90°，则该双曲线的离心率的取值
范围是________．
解析：双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1 的两条渐近线方程为 y＝±
b
ax，x＝
a2
c 时，y＝±
ab
c ，不妨设 A
(a2
c ，
ab
c )，B(a2
c ，－ab
c )，因为 60°<∠AFB<90°，所以
3
3 0，b>0)，
所以渐近线方程为 bx±ay＝0 且 a2＋b2＝25，
又圆心 M(0，5)到两条渐近线的距离为 r＝3.
所以
|5a|
b2＋a2＝3，得 a＝3，b＝4，
所以双曲线 G 的方程为
x2
9 －
y2
16＝1.
12．已知双曲线
y2
a2－
x2
b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 2x＋y＝0，且顶点到渐近线
的距离为
2 5
5 .
(1)求此双曲线的方程；
(2)设 P 为双曲线上一点，A，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，
若AP
→
＝PB→
，求△AOB 的面积．
解：(1)依题意得{a
b＝2，
|2 × 0＋a|
5
＝2 5
5 ，
解得{a＝2，
b＝1，
故双曲线的方程为
y2
4 －x2＝1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为 y＝±2x，设 A(m，2m)，B(－n，2n)，其中 m>0，n>0，
由AP→
＝PB→
得点 P 的坐标为(m－n
2 ，m＋n).将点 P 的坐标代入
y2
4 －x2＝1，整理得 mn＝1.
设∠AOB＝2θ，因为 tan(π
2 －θ)＝2，则 tan θ＝
1
2，从而 sin 2θ＝4
5.
又|OA|＝ 5m，|OB|＝ 5n，
所以 S△AOB＝
1
2|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.
[综合题组练]
1．(2020·舟山市普陀三中高三期中)过双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点 A 作斜率
为－1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B，C.若AB→
＝
1
2BC→
，则双曲线的离
心率是( )
A. 2 B. 3
C. 5 D. 10
解析：选 C.直线 l：y＝－x＋a 与渐近线 l1：bx－ay＝0 交于点 B( a2
a＋b，
ab
a＋b)，
l 与渐近线 l2：bx＋ay＝0 交于点 C( a2
a－b，
－ab
a－b)，A(a，0)，
所以AB→
＝(－ ab
a＋b，
ab
a＋b)，BC→
＝( 2a2b
a2－b2，－ 2a2b
a2－b2)，
因为AB→
＝
1
2BC→
，
所以 b＝2a，
所以 c2－a2＝4a2，
所以 e2＝
c2
a2＝5，所以 e＝ 5，故选 C.
2．(2020·宁波高考模拟)如图，F1，F2 是椭圆 C1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是
C1、C2 在第二、四象限的公共点，若 AF1⊥BF1，且∠AF1O＝
π
3 ，则 C1 与 C2 的离心率之和
为( )
A．2 3 B．4
C．2 5 D．2 6
解析：选 A.F1，F2 是椭圆 C1 与双曲线 C2 的公共焦点，A、B 分别是 C1、C2 在第二、四
象限的公共点，
若 AF1⊥BF1，且∠AF1O＝
π
3 ，可得 A(－1
2c，
3
2 c)，B(1
2c，－ 3
2 c)，
代入椭圆方程可得
c2
4a2＋
3c2
4b2＝1，可得
e2
4 ＋
3
4
e2－4
＝1，
可得 e4－8e2＋4＝0，解得 e＝ 3－1.
代入双曲线方程可得：
c2
4a2－
3c2
4b2＝1，
可得：
e2
4 －
3
4－4
e2
＝1，
可得：e4－8e2＋4＝0，解得 e＝ 3＋1，
则 C1 与 C2 的离心率之和为 2 3.
故选 A.
3．设双曲线 x2－
y2
3 ＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2.若点 P 在双曲线上，且△F1PF2 为
锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是__________．
解析：由题意不妨设点 P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当 PF2⊥x 轴时，
将 x＝2 代入 x2－y2
3＝1，解得 y＝±3，所以|PF2|＝3，所以 PF1＝ F1F＋PF＝5，所以|PF1|＋|PF2|
有最大值 8；当∠P 为直角时，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝16，又因为|PF1|－|PF2|＝2，两
边平方得(|PF1|－|PF2|)2＝4，所以|PF1||PF2|＝6，解得|PF1|＝1＋ 7，|PF2|＝－1＋ 7，所以|PF1|＋
|PF2|有最小值 2 7.因为△F1PF2 为锐角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范围为(2 7，8)．
答案：(2 7，8)
4．(2020·温州十五校联合体联考)过点 M(0，1)且斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C：
x2
a2－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的两渐近线交于点 A，B，且BM→
＝2AM→
，则直线 l 的方程为____________；如果
双曲线的焦距为 2 10，则 b 的值为________．
解析：直线 l 的方程为 y＝x＋1，两渐近线的方程为 y＝±
b
ax.其交点坐标分别为
( a
b－a，
b
b－a)，(－ a
a＋b，
b
a＋b).由BM→
＝2AM→
，得 xB＝2xA.若
a
b－a＝－
2a
a＋b，得 a＝3b，由 a2＋
b2＝10b2＝10 得 b＝1，若－
a
a＋b＝
2a
b－a，得 a＝－3b(舍去)．
答案：y＝x＋1 1
5．已知双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离等于 3，过右
焦点 F2 的直线 l 交双曲线于 A，B 两点，F1 为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB 的面积等于 6 2，求直线 l 的方程．
解：(1)依题意，b＝ 3，c
a＝2⇒a＝1，c＝2，所以双曲线的方程为 x2－
y2
3 ＝1.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知 F2(2，0)．
易 验 证 当 直 线 l 斜 率 不 存 在 时 不 满 足 题 意 ， 故 可 设 直 线 l ： y ＝ k(x － 2) ， 由
{y＝k（x－2），
x2－y2
3＝1， 消元得(k 2 －3)x 2 －4k 2x＋4k 2 ＋3＝0，k≠± 3，x 1 ＋x 2 ＝
4k2
k2－3，x 1x2 ＝
4k2＋3
k2－3 ， y1 － y2 ＝ k(x1 － x2) ， △ F1AB 的 面 积 S ＝ c|y1 － y2| ＝ 2|k| · |x1 － x2| ＝
2|k|·
16k4－4（k2－3）（4k2＋3）
|k2－3| ＝12|k|·
k2＋1
|k2－3|＝6 2.得 k4＋8k2－9＝0，则 k＝±1.所以直线
l 的方程为 y＝x－2 或 y＝－x＋2.
6．已知双曲线 C：
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为 y＝ 3x，右焦点 F 到直
线 x＝
a2
c 的距离为
3
2.
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)斜率为 1 且在 y 轴上的截距大于 0 的直线 l 与双曲线 C 相交于 B、D 两点，已知
A(1，0)，若DF→
·BF→
＝1，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切．
解：(1)依题意有
b
a＝ 3，c－
a2
c ＝
3
2，
因为 a2＋b2＝c2，所以 c＝2a2，所以 a＝1，c＝2，所以 b2＝3，所以双曲线 C 的方程为
x2－
y2
3 ＝1.
(2)证明：设直线 l 的方程为 y＝x＋m(m>0)，B(x 1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD 的中点
为 M，
由{y＝x＋m，
x2－y2
3＝1 得 2x2－2mx－m2－3＝0，
所以 x1＋x2＝m，x1x2＝－
m2＋3
2 ，
又因为DF→
·BF→
＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，所以 m＝0(舍)或 m＝2，
所以 x1＋x2＝2，x1x2＝－
7
2，M 点的横坐标为
x1＋x2
2 ＝1，
因为DA→
·BA→
＝(1－x 1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x 1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，所以
AD⊥AB，
所以过 A、B、D 三点的圆以点 M 为圆心，BD 为直径，
因为点 M 的横坐标为 1，所以 MA⊥x 轴，
所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切．
