数学文·广东省中山市第一中学2017届高三上学期第二次统测文数试题 Word版含解析]

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全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合， ，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为,所以，故选A.‎ 考点：集合运算．‎ ‎2.在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（ ）‎ A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）‎ ‎【答案】C 考点：平面向量的线性运算．‎ ‎3.设, 则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，所以，故选B.‎ 考点：指数函数、对数函数的图象．‎ ‎4.在中，“”是“”的（ ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于大角对大边，同时大边对大角，及正弦定理可得，所以“”是“”的充分必要条件，故选C.‎ 考点：充要条件与正弦定理．‎ ‎5.已知抛物线的准线与椭圆相切，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：抛物线的定义．‎ ‎6.已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以可得解得，所以使成立的一个充分不必要条件是应该是的一个真子集，故选B.‎ 考点：指数函数的性质与充要条件．‎ ‎7.要得到函数的图象，只需将函数的图象向（ ）平移（ ）‎ 个单位 A．左， B．右， C．左， D．右，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以要得到函数的图象，只需要把的图象向右平移个单位即可,故选D.‎ 考点：三角函数的图象变换．‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ ‎【答案】D 考点：函数图象与函数性质．‎ ‎ ‎ ‎9.若，且，则（ ）‎ A． B． C． ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，即，平方可得由可得，所以，所以，故选A.‎ 考点：三角求值．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了三角函数给条件求值的问题，属于中档题.解答这类问题通常从对条件的化简入手，逐步靠近结论.本题中利用二倍角公式和和角公式把条件化简得到，问题转化为同角三角函数的基本关系，平方可得的值，结合给出的范围判断的符号，求出其值即得．‎ ‎10.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆 上的点，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：椭圆的几何性质．‎ ‎ ‎ ‎11.已知为定义在上的函数的导函数，且在上 恒成立，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设，，所以在上递增，所以，整理得，故选C．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了学生的发散思维能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的条件进行联想，构造函数，求导既可应用该条件又能得到函数的单调性，把问题转化为根据单调性比较大小的题目，使问题得到解答.‎ ‎12.已知,直线与函数的图象在处相切，设 ‎,若在区间上，不等式恒成立，则实数有（ ）‎ A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 ‎【答案】B 考点：导数的几何意义，利用导数求函数在某区间上的最值.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数在某区间上的最值，属于中档题.解答本题首先利用导数求出函数的图象在处的切线，求导时把化成，利用商的求导法则进行，求出的值，再利用导数研究函数在区间上的单调性，求出其最大值和最小值，列出的不等式组，求出其范围即可.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13．已知向量的夹角为，且，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，所以.‎ 考点：平面向量的数量积运算.‎ ‎14．已知，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：．‎ 考点：三角求值与诱导公式、二倍角公式．‎ ‎ ‎ ‎15．函数的部分图象如右图所示，则 . ‎ ‎【答案】‎ 考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现分别是函数轴右侧的第一个零点和函数值为的点，即可求得的坐标，进而求得向量的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案．‎ ‎16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：‎ ‎① 当时，； ② 函数有个零点；‎ ‎③的解集为； ④ ，都有．‎ 其中正确的命题是 ． ‎ ‎【答案】③④‎ 考点：命题的真假判断.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了函数解析的求法，函数的零点，及函数在区间上的最值等，考查了函数的基本性质，属于中档题.本题解答的关键是根据函数的奇偶性和的解析式求出的解析式，应用解析式求出不等式的解，并判断零点个数，难点是命题④的判断，本质是通过研究其单调性求出其最值问题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图 象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象，求的图象 离原点O最近的对称中心．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：(1) ‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎ ‎ 由上表可得： f (x)＝5sin． ………………………………………6分 ‎(2)由(1)知：f(x)＝5sin，因此g(x)＝5sin＝5sin．……………8分 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z． ‎ 令＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z． 即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，‎ ‎∴ y＝g(x)图象离原点O最近的对称中心为． ……………………12分 考点：正弦函数的图象及其变换、正弦函数的性质.‎ ‎18．（12分）已知向量设函数．‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）设分别是内角的对边，若，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1） ‎ ‎，当即时递减．‎ ‎ 单减区间是． ……………………6分 ‎（2）由（1）知得得：‎ ‎ ．又， ‎ ‎ ． ……………………12分 考点：三角恒等变换、正弦函数的单调性及正余弦定理解三角形.‎ ‎19．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层．某 幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗 费用(单位：万元)与隔热层厚度(单位：cm)满足关系，若不建隔热层，每 年能源消耗费用为8万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．‎ ‎（1）求的值及的表达式；‎ ‎（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）隔热层修建时，总费用最小值为万元.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）把代入可得，进而得到的表达式；（2）利用均值不等式即可求得的最小值及相应的值.‎ 试题解析：（1）由已知条件得C(0)＝8，则k＝40， ………………………………………2分 ‎ f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋ (0≤x≤10)． ……………………5分 ‎(2) f(x)＝6x＋10＋－10≥2－10＝70(万元)，（也可以利用导求最小值）．‎ 当且仅当6x＋10＝，即x＝5时等号成立． ……………………11分 ‎ 当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元． …………………12分 考点：不等式的实际应用．‎ ‎20．（12分）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长 半轴为半径的圆与直线相切．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知点，为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在点，使 为定值？若存在，试求出点的坐标和定值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）定点为，.‎ 试题解析：(1) 由e＝，得＝，即c＝a ① 又因为以原点O为圆心，‎ 椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且与直线2x－y＋6＝0相切，‎ ‎ a＝＝，代入①得c＝2，所以b2＝a2－c2＝2.‎ ‎ 椭圆的方程为＋＝1. ………………………………………………………4分 ‎(2)由 得：(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1·x2＝， …………………6分 根据题意，假设x轴上存在定点E(m，0)，使得2＋·＝·(＋)＝·为定值，‎ 则有： ·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)·(x2－m)＋y1y2‎ ‎＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2) ＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)‎ ‎＝(k2＋1)·－(2k2＋m)·＋(4k2＋m2)＝‎ ‎. ……9分 要使上式为定值，即与k无关，则应使3m2－12m＋10＝3(m2－6)， 即，‎ 此时 为定值，定点为. ……………………12分 考点：椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系，直线与椭圆位置关系中的定点、定值问题.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系，直线与椭圆位置关系中的定点、定值问题，考查了待定系数和方程的思想，考生的运算能力和数据处理能力能力，属于难题.求椭圆方程，关键是根据题意找的关系，容易解答，难点是对定点、定值的处理，通常设出定点，进行反向验证，因为含有两个参数，要搞清主元，本题中要求定点，所以定点的坐标为主元.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（1）在的切线与直线平行，求的值；‎ ‎（2）不等式对于的一切值恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由导数的几何意义可知，据此即可求得的值；（2）不等式对于的一切值恒成立，等价于对于的一切值恒成立.构造函数，利用导数研究其在上的单调性，求出最小值，再构造函数，讨论其单调性，得到满足题意的参数范围.‎ 记，则. ………………………6分 令，得，当变化时，的变化情况如下表 ‎_‎ ‎+‎ 极小 ‎∴ 的最小值为. …………………………………………8分 记，则，令，得.‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴ ①当时，函数在上为增函数，，‎ 即在上的最小值，满足题意. …………10分 ‎②当时，函数在上为减函数，，‎ 即在上的最小值，满足题意.‎ ‎③当时，函数在上为减函数，，‎ 即在上的最小值，不满足题意.‎ 综上,所求实数的取值范围为． …………………………………………12分 考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、在给定区间上的最值，不等式的恒成立等.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、在给定区间上的最值，不等式的恒成立等，考查了分类讨论的数学思想、函数的思想，属于难题.（1）中根据导数的几何意义图象在某点处的导数就是切线斜率，即可求；本题的难点是（2）中不等式的恒成立，转化为函数的最值，通过讨论求出满足条件的的范围， ‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.‎ ‎22．(10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，直线经过圆上的点，并且，圆交直线于点，其中在线 段上．连结，．‎ ‎（1）证明：直线是圆的切线；‎ ‎（2）若，圆的半径为，求的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ 试题解析：(1)证明：连结. 因为，∴ 又是圆的半径，‎ ‎∴ 是圆的切线. ………………………………………5分 ‎(2) 解: 因为直线是圆的切线， ∴ 又，‎ ‎∴ 则有，‎ 又，故. ‎ 设，则，又，故，即. ‎ 解得，即. ∴ ……………………10分 考点：圆切线的性质及三角形相似的应用.‎ ‎23．(10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为 ‎，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若为曲线上的动点，求中点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】（1）的直角坐标，的直角坐标方程为；（2）.‎ 试题解析：(1) 点的直角坐标，由，得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为. …………………………………… 4分 ‎（2）曲线的参数方程为（为参数），直线的普通方程为，‎ 设，则，那么点到直线的距离 ‎，‎ ‎∴点到直线的最小距离为. …………………………………………10分 考点：圆的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化及点到直线的距离公式.‎ ‎24.(10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设函数，当时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 试题解析：(1) 当时，.解不等式，得.‎ ‎∴的解集为. ……………………5分 ‎（2）当时，，‎ 当时等号成立，所以当时，等价于. ① ……7分 当时，①等价于，无解.‎ 当时，①等价于，解得.‎ ‎∴的取值范围是. ……………………………………………………………10分 考点：绝对值不等式的解法．‎ ‎ ‎