2017-2018学年四川省乐山四校高二第二学期半期联考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年四川省乐山四校高二第二学期半期联考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省乐山四校高二第二学期半期联考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．某校为了了解高一,高二,高三这三个年级之间的学生打王者荣耀游戏的人数情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)‎ A. 抽签法 B. 系统抽样法 C. 分层抽样法 D. 随机数法 ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意，总体由差异明显的几部分组成，即可判定采用分层抽样的方法进行抽样．‎ 详解：由题意，总体中有高一、高二、高三这三个年级之间的学生组成，各部分具有明显的差异，所以应采用分层抽样的方法进行抽样，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了抽样方法的判定，其中熟记各种抽样方法的使用条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎2．峨眉山市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是(　　)‎ A. 19 B. 20 C. 21.5 D. 23‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据茎叶图中的数据，结合中位数的定义，即可作出求解．‎ 详解：由题意的，这组数据是：，‎ 根据中位数的定义，可知其中位数为，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了茎叶图中数据的读取和中位数的定义，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎3．一个正三棱锥的四个面上分别标有数字－2、－1、1、2，随机抛掷一次，记向下一面的数字为n，则函数y＝－x3＋nx在[1，＋∞)上为减函数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：函数y＝－x3＋nx在[1，＋∞)上为减函数则导函数小于等于零恒成立可得，在根据古典概型计算即可.‎ 详解：由题可得函数y＝－x3＋nx在[1，＋∞)上为减函数，则在[1，＋∞)上恒成立可得，故满足题意的由-2，-1,1三种，故概率为，所以选C 点睛：考查古典概型和导函数得应用，正确理解函数y＝－x3＋nx在[1，＋∞)上为减函数求出n的范围是本题关键，属于中档题.‎ ‎4．秦九韶(1208-1261年)，字道古，汉族，生于普州安岳(今四川省安岳县)，南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中提出多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出的值为( )‎ A. 9 B. 18 C. 20 D. 35‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意，执行程序的运行，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出的值即可．‎ 详解：由题意，初始值，程序运行过程中，‎ 第一次循环：；‎ 第二次循环：；‎ 第三次循环：，此时跳出循环，输出的值，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的的值是解答的关键，属于基础题，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎5．点在边长为2的正方形内运动，则动点到顶点的距离的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据题意得出PA等于2 的临界值情况，再根据几何概型求解即可.‎ 详解：由题可知当PA=2时是以A为圆心2为半径的四分之一圆，所以概率为P=，故选C 点睛：考查几何概型，根据条件先找出问题的临界条件是解题关键，属于基础题.‎ ‎6．若函数在区间（1，+∞）单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A. （-∞，-2] B. （-∞，-1] C. [2，+∞） D. [1，+∞）‎ ‎【答案】D ‎【解析】在上恒成立，由于当时， ，则选D.‎ ‎7．设曲线y＝ax－2ln(x＋2)在点(0, f(0))处的切线方程垂直于直线为x+2y=0，则a＝(　　)‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据题意可得切线的斜率与直线为x+2y=0的斜率相乘为-1，可得，从而可得a.‎ 详解：由题得：，由 ‎ 点睛：考查函数的切线方程，本题的关键是要得到，考查学生的基础知识，属于基础题.‎ ‎8．按如下程序框图，若输出结果为，则判断框内应补充的条件为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由程序框图，写出每次循环的的取值，结合已知输出的结果为即可确定判断框内应补充的条件．‎ 详解：由程序框图遏制：，则 第一次循环：，不满足条件，执行循环体；‎ 第二次循环：，不满足条件，执行循环体；‎ 第三次循环：，满足条件，推出循环体，‎ 故判断框内应补充的条件为，故选A．‎ 点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．‎ ‎9．向上抛掷一颗骰子1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则(　　)‎ A. A与B是互斥而非对立事件 B. A与B是对立事件 C. B与C是互斥而非对立事件 D. B与C是对立事件 ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据互斥事件和对立事件的概念，逐一判定即可．‎ 详解：对于A、B中，当向上的一面出现点数时，事件同时发生了，所以事件与不是互斥事件，也不是对立事件；对于事件与 不能同时发生且一定有一个发生，所以事件与是对立事件，故选D．‎ 点睛：本题主要考查了互斥事件与对立事件的判定，其中熟记互斥事件和对立事件的基本概念是判定的关键，试题比较基础，属于基础题．‎ ‎10．某校高二（16）班共有50人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在内的学生人数为( )‎ A. 36 B. 25 C. 22 D. 11‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据频率分别直方图的性质，求得，进而求得在之间的概率，即可求解其人数．‎ 详解：由频率分别直方图可知：，‎ 解得，‎ 所以在之间的概率为，‎ 所以在之间人数为人，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了用样本估计总体，独立性检验的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.‎ ‎11．已知a ≥＋lnx对任意x∈[，e]恒成立，则a的最小值为(　　)‎ A. 1 B. e-2 C. D. 0‎ ‎【答案】BD ‎【解析】分析：根据题意只需求出＋lnx在x∈[，e]的最大值即可得a的最小值.‎ 点解：由题可得：令，可得函数在递减，在递增，又所以函数的最大值为e-2，故，选B.‎ 点睛：考查导函数得应用，分析得求函数＋lnx的最大值是解题关键，求最值首先分析函数单调性，再求最值即可，属于中档题.‎ ‎12．已知y＝f(x)为R上的连续可导函数，当x≠0时，f ′(x)＋ >0，则函数g(x)＝f(x)＋的零点个数为(　　)‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或2‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意可得，x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg（x）在（-∞，0）上也无零点，从而得出结论．‎ 详解：‎ 点睛：本题考察了函数的单调性，导数的应用，函数的零点，属中档题．‎ 二、填空题 ‎13．某中学采用系统抽样方法，从该校高二年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从这16个数中取的数是35，则在第1小组中随机抽到的数是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据系统抽样的定义进行求解即可．‎ 详解：由题意，样本间隔为，‎ 因为在这16个数字中取到的数字为，‎ 设从第一小组中随机抽取的数字为，则，解得．‎ 点睛：本题主要考查了系统抽样的应用，其中熟记系统抽样的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题．‎ ‎14．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为＝0.95－0.15.由以上信息，得到下表中c的值为________.‎ 天数x(天)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 繁殖个数y(千个)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ c ‎【答案】9.‎ ‎【解析】分析：根据回归方程必过样本中心点，代入x和y的平均值即可计算c.‎ 详解：代入已知方程可得c=9‎ 点睛：考查回归方程的结论，属于基础题.‎ ‎15．已知总体的各个体的值从小到大为：，且总体的中位数为4.若要使该总体的方差最小，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据数据的中位数，求得，进而由平均数的公式，求解，再利用方差的公式，得到当时，最小，此时，即可求解结果．‎ 详解：根据题意可得，从小大的数字，且总体的中位数为，‎ 则，即，‎ 所以数据的平均数为，‎ 所以数据的方差为 ‎ ‎，‎ 当时，最小，此时，‎ 所以．‎ 点睛：本题主要考查了统计知识的综合应用，其中解答中熟记统计数据中的中位数、平均数、方差的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎16．已知函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f ′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________．‎ ‎①当x＝时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；‎ ‎③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．‎ ‎【答案】①.‎ ‎【解析】分析：根据导函数得图像可知，1,2是导函数的解，故1,2是极值点，根据图可知1为极大值点，2是极小值点.‎ 详解：有图可知1为极大值点，2是极小值点，故②③④正确，①错 点睛：考查函数极值点的定义以及极大值、极小值的判定，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产件这样的产品需要再增加可变成本 (元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 利用题意得到利润函数 ，结合导函数研究原函数可得要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．‎ 试题解析：‎ 设该厂生产x件这种产品利润为L(x)‎ 则L(x)＝500x－2 500－C(x)＝500x－2 500－＝300x－x3－2 500(x∈N)‎ 令L′(x)＝300－x2＝0，得x＝60(件)‎ 又当0≤x<60时，L′(x)>0，x>60时，L′(x)<0‎ 所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．‎ 所以当x＝60时，L(x)＝9 500元．‎ 答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎18．柴静《穹顶之下》的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识,对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来,某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析,得出下表数据.‎ x ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图，并说明其相关关系；‎ ‎(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数.‎ ‎(相关公式：)‎ ‎【答案】(1) 散点图见解析.为正相关 ‎(2) .‎ ‎(3)7.‎ ‎【解析】分析：（1）根据表中数据，画出散点图即可； （2）根据公式，计算线性回归方程的系数即可； （3）由线性回归方程预测x=9时，y的平均值为7‎ 详解：‎ ‎　(1)散点图如图所示.为正相关.‎ xiyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106.＝＝6,＝＝4,‎ x＝42＋52＋72＋82＝154,‎ 则＝＝＝1,＝－＝4－6＝－2,‎ 故线性回归方程为＝x＋＝x－2.‎ ‎(3)由线性回归方程可以预测,燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7. ‎ 点睛：‎ 本题考查了统计知识中的画散点图与求线性回归方程的应用问题，解题的关键是求出线性归回方程中的系数，是基础题目．‎ ‎19．已知函数f (x)＝a lnx＋＋x (a≠0)．‎ ‎(1)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；‎ ‎(2)讨论函数f (x)的单调性．‎ ‎【答案】(1) a＝－1或a＝.‎ ‎(2) 当a>0时,f(x)在(a,＋)上单调递增,在(0,a)上单调递减．当a<0时,所以函数f(x)在(0,－2a)上单调递减,在(－2a,＋)上单调递增.‎ ‎【解析】分析：（1）先求出f′（x）=﹣+1，（x＞0），由题意得：f′（1）=﹣2，解方程求出即可；（2）求出f′（x）=，（x＞0），讨论①a＞0时，②a＜0时的情况，从而求出函数的单调区间；（3）由（2）得，当a∈（﹣∞，0）时，函数f（x）的最小值为f（﹣2a），故g（a）=f（﹣2a），得g′（a）=ln（﹣2a）﹣2，得g（a）在（﹣∞，﹣e2）递增，在（﹣e2，0）递减，从而g（a）最大值=e2，进而求出g（a）的最大值．‎ 详解：‎ ‎(1)f(x)的定义域为{x|x>0}．f′(x)＝－＋1 (x>0)．‎ 根据题意,有f′(1)＝－2,所以2a2－a－3＝0,解得a＝－1或a＝‎ ‎(2)解：　f′(x)＝－＋1＝＝(x>0)．‎ 当a>0时,因为x>0,‎ 由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0,解得x>a；‎ 由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0,解得00,‎ 由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0,解得x>－2a；由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0,解得00时,f(x)在(a,＋)上单调递增,在(0,a)上单调递减．当a<0时,所以函数f(x)‎ 在(0,－2a)上单调递减,在(－2a,＋)上单调递增.‎ 点睛：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，切线的方程，对导数的基础知识的运用的灵活是解题关键，是一道综合题．‎ ‎20．某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，记成绩不小于80分者为等，小于80分者为等．‎ ‎(1)求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；‎ ‎(2)如果用分层抽样的方法从等和等中共抽取5人组成“创新团队”，则从等和等中分别抽几人？‎ ‎(3)在(2)问的基础上，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是等的概率．‎ ‎【答案】（1），；（2）；（3）.‎ ‎【解析】分析：（1）由茎叶图可得女生成绩的中位数为，男生的平均成绩为；‎ ‎（2）用分层抽样可得分别抽取的人数为人、人，分别记为和，列举可得总的基本事件共有个，齐总至少有人是等有7个，由概率公式即可求解．‎ 详解：(1)由题中茎叶图知，女生成绩的中位数是75.5.‎ 男生成绩的平均值为＝ (69＋76＋78＋85＋87＋91)＝81.‎ ‎(2)用分层抽样的方法从A等和B等学生中共抽取5人，每个人被抽中的概率是.‎ 根据茎叶图知，A等有8人，B等有12人，‎ 所以抽取的A等有8×＝2(人)，B等有12×＝3(人)‎ ‎(3)记抽取的A等2人分别为A1，A2，抽取的B等3人分别为B1，B2，B3，从这5人中抽取2人的所有可能的结果为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10种．‎ 其中至少有1人是A等的结果为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7种．‎ 所以至少有1人是A等的概率为.‎ 点睛：本题主要考查了茎叶图的数字特征，以及古典概型及概率的计算问题，试题比较基础，属于基础题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎21．某校600名文科学生参加了4月25日的三调考试，学校为了了解高三文科学生的数学、外语情况，利用随机数表法从抽取100名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为000，001，002，…599‎ ‎12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76‎ ‎55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30‎ ‎16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64‎ ‎84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76‎ ‎（1）若从第6行第7列的数开始右读，请你一次写出最先抽出的5个人的编号（上面是摘自随机数表的第4行到第7行）；‎ ‎（2）抽出的100名学生的数学、外语成绩如下表：‎ 外语 优 良 及格 数学 优 ‎8‎ m ‎9‎ 良 ‎9‎ n ‎11‎ 及格 ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ 若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；‎ ‎（3）在外语成绩为良的学生中，已知m≥12，n≥10，求数学成绩优比良的人数少的概率．‎ ‎【答案】(1) 最先抽出的5人的编号依次为：544,354,378,520,384．‎ ‎(2) .‎ ‎(3) .‎ ‎【解析】分析：（1）根据简单的随机抽样的定义，即可得到结论；‎ ‎（2）根据数学成绩优秀率是，构造关于的方程，解方程可得值，进而根据抽取样本容量为，可得的值；‎ ‎（3）由题意，且，所以满足条件的的基本事件总数即满足数学成绩的优比良的人数少的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．‎ 详解：（1）从第6行第7列的数开始右读，最先抽出的5人的编号依次为：544，354，378，520，384．‎ ‎（2）∵，解得m=18，‎ ‎∵8+9+8+18+n+9+9+11+11=100，解得n=17．‎ ‎(3)由题意m+n=35，且m≥12，n≥10，∴满足条件的（m，n）有：（12，23），（13，22），（14，21），（15，20），（16，19），（17，18），（18，17），（19，16），（20，15），（21，14），（22，13），（23，12），（24，11），（25，10），共14种，且每种出现都是等可能的，‎ 记“数学成绩优比良的人数少”为事件M，则事件M包含的基本事件有：‎ ‎（12，23），（13，22），（14，21），（15，20），（16，19），（17，18），共6种， ‎ ‎．‎ 点睛：本题主要考查了古典概型的概率计算公式，其中熟练掌握古典概型的概率计算公式求解概率的步骤是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎22．已知函数f (x)＝ex＋2x2－3x.‎ ‎(1)求证：函数f (x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点．‎ ‎(2)当x≥时，若关于x的不等式f (x)≥ x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）先求f′（0）与f′（1），看两值是否异号，然后证明f′（x）在[0，1]上单调性，即可证明函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点； （2）由题意得到ex-，x2-ax-1≥0，构造g（x）=ex-x2-ax-1，分类讨论求出g（x）的最值，即可得到a的范围．‎ 详解：(1)f ′(x)＝ex＋4x－3,‎ ‎∵f ′(0)＝e0－3＝－2<0,f ′(1)＝e＋1>0,‎ ‎∴f ′(0)·f ′(1)<0.‎ 令h(x)＝f ′(x)＝ex＋4x－3,则h′(x)＝ex＋4>0,‎ ‎∴f ′(x)在区间[0,1]上单调递增,‎ ‎∴f ′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点,‎ ‎∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点．‎ ‎(2)由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1,得ex＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1,即ax≤ex－x2－1,‎ ‎∵x≥,∴a≤‎ 令g(x)＝,则g′(x)＝‎ 令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1,则φ′(x)＝x(ex－1)．∵x≥,∴φ′(x)>0.‎ ‎∴φ(x)在[,＋∞)上单调递增．∴φ(x)≥φ()＝－>0.‎ 因此g′(x)>0,故g(x)在[,＋∞)上单调递增,‎ 则g(x)≥g()＝＝2－,∴a的取值范围是a≤2－.‎ 点睛：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，化归与转化思想，属于中档题．‎