湖南省怀化市2012届高三数学第二次模拟考试统一检测试题 理

湖南省怀化市2012届高三数学第二次模拟考试统一检测试题 理

湖南省怀化市2012届高三数学第二次模拟考试统一检测试题 理 ‎ 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共150分.时量：120分钟.‎ 第一部分（选择题）‎ 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.）‎ ‎1. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 一、三象限的角平分线上 B. 二、四象限的角平分线上 C. 实轴上 D. 虚轴上 ‎2.已知集合和则是的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3. 一个简单几何体的主视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为 ①长、宽不相等的矩形；②正方形；③圆；④三角形. 其中正确的是 ‎ A. ①② 　　 B. ②③ 　 　 C. ③④ D. ①④ ‎ ‎4. 若为等差数列，是其前n项和，且，则的值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5 . 右表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据；根据表格提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么表中t的值为 A.3 B. ‎3.15 ‎‎ C. 3.5 D. 4.5‎ ‎6 . 由曲线围成的封闭图形的面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7 . 程序框图如图所示，已知曲线E的方程为，若该程序输出的结果为s，则 ‎ A.当时，E是椭圆 B.当时，E是双曲线 C.当时，E是抛物线 D.当时，E是一个点 ‎8 . 函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 ‎①； ②；‎ ‎③； ④ ‎ A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①③‎ 第二部分（非选择题）‎ 二、填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.‎ ‎（一）选作题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）‎ ‎9.已知，，则的最小值为 .‎ ‎10．曲线C1的参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C2的极坐标方程为，若斜率为1的直线经过C1的焦点，且与C2相切，则= .‎ ‎11．用0.618法进行优选时，若某次存优范围上的一个好点是2.382，则= .‎ ‎（二）必做题（12～16题）‎ ‎12．已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·=_____.‎  ‎13．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150] 内的学生中选取的人数应为__________人．‎ ‎14．在中，则以为焦点且过点的双曲线的离心率 为 . ‎ ‎15. 已知实数满足，则的最小值是 。‎ ‎16．如右图，一个树形图依据下列规 律不断生长：1个空心圆点到下一 行仅生长出1个实心圆点，1个实 心圆点到下一行生长出1个实心圆 点和1个空心圆点．则第8行的实 心圆点的个数是 ．‎ 设第n行的实心圆点的个数是 ，‎ 则的递推关系式为 ．‎ ‎ ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分，答题时应写出文字说明、证明过程或和演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间 上的最大值和最小值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量。例如：家居用电的碳排放量（千克） = 耗电度数0.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数0.785等。怀化某中学高一一同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查。若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如右：‎ ‎（I）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；‎ ‎（II）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列.如果2周后随机地从A小区中任选25人，记表示25个人中低碳族人数，求E.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 在三棱锥中，底面，，是的中点，且，． ‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）当角变化时，求直线与平面 所成 的角的取值范围．‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ ‎2010年,中国浙江吉利控股集团有限公司以18亿美元收购沃尔沃汽车公司,并计划投资20亿美元来发展该品牌.据专家预测,从2010年起,沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆(2010年的销售量为20000辆),销售利润按照每年每辆比上一年减少10%(2010年销售利润为2万美元/辆)计算.求 ‎(1)第n年的销售利润为多少?‎ ‎(2)到2014年年底,中国浙江吉利控股集团有限公司能否通过沃尔沃汽车实现盈利?(即销售利润超过总投资,0.95≈0.59).‎ ‎21.（本小题满分13分）‎ 设椭圆和抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：‎ ‎（1）求曲线，的标准方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于不同两点、，‎ 且，请问是否存在直线过抛物线的焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎22.（本小题满分13分）‎ 设是函数的两个极值点．‎ ‎(1)若，求函数的解析式； ‎ ‎(2)若，求的最大值． ‎ ‎(3)若，且求证：．‎ 参考答案及评分标准 三、解答题：若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.‎ ‎17解：（1）‎ ‎…………4分 所以的最小正周期为.…………6分 ‎ （2）将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，‎ ‎………8分 时，，‎ ‎，即取得最大值2.……10分 当，即时，，取得最小值－1.…12分 ‎18解：（I）记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A，‎ P(A)=……6分 ‎（II）设A小区有人，2周后非低碳族的概率……8分 ‎2周后低碳族的概率=………… ……………10分 依题意~B(25，)，所以E=25=17………………12分 ‎19（1）证明：∵AC=BC=a ∴△ACB是等腰三角形 又D是AB的中点 ‎ ‎ ∴CD⊥AB又VC⊥底面ABC ∴VC⊥AB………2分 于是AB⊥平面VCD. 又AB平面VAB ， ∴平面VAB⊥平面VCD ……4分 ‎（2）解：过点C在平面VC内作CH⊥VD于H，连接BH， 则由（1）知AB⊥CH， ‎ ‎ ∴CH⊥平面VAB， 于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角 ……7分 ‎ 在 ；‎ 设 ， ……10分 ‎＜＜＜＜1，0＜＜‎ 又≤≤，＜＜……………………12分 ‎20解：(1)∵沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆,因此汽车的销售量构成了首项为20000,公差为10000的等差数列 .‎ ‎∴an=10000+10000n. ………………………………2分 ‎∵沃尔沃汽车销售利润按照每年比上一年减少10%,因此每辆汽车的销售利润构成了首项为2,公比为1-10%的等比数列 .∴bn=2×0.9n-1. ………4分 ‎∴第n年的销售利润记为 ,cn=an×bn=(10000+10000n)×2×0.9n-1. ………6分 ‎(2)记到2014年年底,中国浙江吉利控股集团有限公司利润总和为S万美元,则S=20000×2+30000×2×0.9+40000×2×0.92+50000×2×0.93+60000×2×0.94,　①‎ ‎………8分 ‎0.9S=20000×2×0.9+30000×2×0.92+40000×2×0.93+50000×2×0.94+60000×2×0.95,②‎ ‎①-②得 ‎0.1S=20000×2+20000(0.9+0.92+0.93+0.94)-60000×2×0.95,‎ S=10(220000-320000×0.95)≈31.2×104<(20+18)×104. ………12分 答:第n年的销售利润为(10000+10000n)×2×0.9n-1万美元,到2014年年底,中国浙江吉利控股集团有限公司不能实现盈利. ………13分 ‎21解：（1）由题意一定在上. 设为， 则 ………2分 ‎ 椭圆上任何点的横坐标 所以也在上，从而 ‎ 的方程为 ………… 4分 从而，（4，-4）一定在上，设C2的方程为 ‎………5分 即C2的方程为………6分 ‎（2）假设直线过C2的焦点F（1，0）.‎ ‎ 当的斜率不存在时，则 ‎ 此时， 与已知矛盾……………8分 ‎ 当的斜率存在时设为，则的方程为代入C1方程并整理得：‎ ‎ ‎ ‎ 设，则…………10分 ‎ ‎ ‎ ，………12分 ‎ 存在符合条件的直线且方程为……………13分 ‎22解：（1）∵是函数的两个极值点，‎ ‎∴，．∴，，‎ 解得．∴． -------------------4分 ‎(2)∵是函数的两个极值点，∴．‎ ‎∴是方程的两根．‎ 对一切恒成立.‎ ‎＞0，＜0‎ ‎-------------------6分 由，‎ ‎＜，‎ 则 当0＜＜4时，＞0，在（0，4）内是增函数；‎ 当4＜＜6时，＜0，在（0，4）内是减函数；‎ 时，是极大值为96，在（0，6）上的最大值是96.‎ 的最大值是.………………………………8分 ‎（3）∵是方程的两根．‎ ‎∵. ‎ ‎∴……………10分 ‎ ‎