2017-2018学年贵州省遵义航天高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年贵州省遵义航天高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

‎2017-2018学年贵州省遵义航天高级中学高二下学期期中考试数学（理科）‎ 第 Ⅰ 卷 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知为虚数单位, 则复数的模为（ ） ‎ A. 0 B. C.1 D.‎ ‎2．命题“”的否定是（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎3．命题“”是命题“”的（ ） ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4．双曲线的渐近线方程为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知曲线在点，则过点的切线方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6.下列说法中错误的是（ ）‎ A．给定两个命题，若为真命题，则都是假命题；‎ B．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”；‎ C．若命题，则，使得；‎ D．函数在处的导数存在，若是的极值点，则是 的充要条件. ‎ ‎7．如图，的二面角的棱上有两点，直线 ‎ 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．‎ ‎ 已知，则的长为（ ）‎ ‎ A． B．7 ‎ ‎ C． D．9‎ ‎8.已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．与圆及圆都外切的圆的圆心的轨迹为（ ）‎ ‎ A．椭圆 B．双曲线一支 C．抛物线 D．圆 ‎ ‎10． 一个体积为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11. 已知函数的导函数为，且满足，则＝(　　)‎ A．　　B． C． D．‎ ‎12.已知抛物线的焦点是F，过点F的直线与抛物线C相交于P、Q两点，且点Q在第一象限，若，则直线PQ的斜率是（ ）‎ A、 B、1 C、 D、‎ 第 Ⅱ 卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上相应位置）‎ ‎13．由曲线和所围图形的面积 ． ‎ ‎14．抛物线的焦点坐标为 ．‎ ‎15．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 。‎ ‎16．圆C经过点与圆相切于点,则圆C的方程为 ‎ 三、解答题（本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 函数．若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若,且成等比数列 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，若数列前n项和，证明.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数在的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，内角，，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，‎ ‎，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求平面与 平面所成的锐二面角的余弦值．‎ 第20题图 ‎21.（本小题满分12分）‎ 椭圆：的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：以线段为直径的圆恒过定点．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ ‎ 设函数 ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。‎ ‎2017--2018学年度第二学期半期考试 高二数学（理科）参考答案及评分标准 一.选择题：‎ ‎ 1-5 CCACB 6-10 DCCBB 11-12 BD 二．填空题：‎ ‎13． 14．(1，0) 15．36 16． ‎ 三．解答题：‎ ‎17.由条件得， …………………………………2分 ‎∵曲线在点处的切线与直线垂直，‎ ‎∴此切线的斜率为0，即，有，得，……………4分 ‎∴，‎ 由得，由得． ………………………6分 ‎ ∴在上单调递减，在上单调递增， …………………8分 ‎ 当时，取得极小值．‎ ‎ 故的单调递减区间为，极小值为2． …………………………10分 ‎18.解析：（Ⅰ）由题意知：……………………2分 解，故数列；…………………………………………………….5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，……………………………8分 则 ‎……………………………………….12分 ‎19解（1）由已知得 ‎…………3分 又 函数在的单调递减区间为和. ………6分 ‎（2）由（1）知 锐角，‎ 又 ‎，即…………9分 又 ‎. …………12分 ‎20.（Ⅰ）证明：连，，则和皆为正三角形．‎ 取中点，连，，则，， …………………2分 则平面，则 …………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，所以．‎ 如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系， …………7分 则，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 因为，，‎ 所以 取 ……………………………………9分 面的法向量取， ……………………………………10分 则，…………………………11分 平面与平面所成的锐二面角的余弦值．…………………12分 ‎21．解：（1）解：，又，联立解得：，‎ 所以椭圆C的标准方程为． ‎ ‎（2）证明：设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为，‎ 联立得．‎ ‎，‎ 整理得：，故，‎ 又，(分别为直线PA，PB的斜率)，‎ 所以，‎ 所以直线PB的方程为：，‎ 联立得，‎ 所以以ST为直径的圆的方程为：，‎ 令，解得：，‎ 所以以线段ST为直径的圆恒过定点．‎ ‎22. 解 （Ⅰ）若 则 列表如下 ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎-‎ 单调增 极大值 单调减 单调减 ‎……5分 ‎（Ⅱ）在 两边取对数, 得 ,由于所以 ‎ (1)‎ 由(1)的结果可知,当时, , ‎ 为使(1)式对所有成立,当且仅当,即 ……12分