2020高中数学 第三章几类不同增长的函数模型
课时分层作业(二十四) 几类不同增长的函数模型
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
B [结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确．故选B.]
2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2
y2>y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
B [在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]
3．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
C [用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．]
4．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－1.01
0.01
0.98
2.00
则x，y最合适的函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
D [根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.]
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
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C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
D [显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.]
二、填空题
6．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .
y＝x2 [当x变大时，x比ln x增长要快，
∴x2要比xln x增长的要快．]
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒.
e6－1 [当v＝12 000时，2 000×ln＝12 000，
∴ln＝6，∴＝e6－1.]
8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝ekt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________；经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．
2ln 2 1 024 [设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e，解得k＝2ln 2，y(5)＝e(2ln 2)·5＝e10ln 2＝210＝1 024(个)．]
三、解答题
9．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图324所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点).
图324
[解] 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
由题图知，
当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
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当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
10．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
[解] 据表中数据作出散点图如图：
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．
将(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．
当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2，
故可预测第8年松树的高度为2米．
[冲A挑战练]
1．函数y＝2x－x2的图象大致是( )
A B C D
A [分别画出y＝2x，y＝x2的图象，由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x<－1时，y<0，故排除D，故选A.]
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
A B C D
D [设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.]
3．若已知16log2x [作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的图象，如图所示：
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由图象可知，在(0,4)内，x>log2x；
x＝4或x＝16时，x＝log2x；
在(4,16)内xlog2x.]
4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
1．75 [∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得
∴y＝－2×(0.5)x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．]
5．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[解] 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
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