山东省济南市章丘区2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

山东省济南市章丘区2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

山东省济南市章丘区2019-2020学年高三上学期数学期中考试试卷 一、单选题 ‎1.已知集合 ,则 （    ） ‎ A.                            B.                            C.                            D. ‎ ‎2.设 ,则 在复平面内对应的点位于（    ） ‎ A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限 ‎3.命题“ ”的否定为（    ） ‎ A.                         B.  C.                         D. ‎ ‎4.设 为非零实数,复数 ,则 的最小值为（    ） ‎ A.                                          B.                                          C.                                          D. ‎ ‎5.函数f(x)=x2+ 的图象大致为(    ) ‎ A.            B.            C.            D. ‎ ‎6.若 ,则（    ） ‎ A.                 B.                 C.                 D. ‎ ‎7.在平行四边形 中, 与 交于点 ,则 在 方向上的投影为（    ） ‎ A.                                        B.                                        C.                                        D. ‎ ‎8.已知函数 ,则“ ”是“ 在 上单调递增”的（     ） ‎ A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件 ‎9. ,则 的取值范围为（    ） ‎ A.                       B.                       C.                       D. ‎ ‎10.已知定义在 上的函数 满足 ,且 在 上单调递增,则（    ） ‎ A.                         B.  C.                      D. ‎ 二、多选题 ‎11.将曲线 上每个点的横坐标伸长为原来的 倍(纵坐标不变),得到 的图象,则下列说法正确的是（    ） ‎ A.  的图象关于直线 对称 B.  在 上的值域为 C.  的图象关于点 对称 D.  的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到 ‎12.已知函数 ,若 ,且 ,则下列结论正确的是（    ） ‎ A.                      B.                      C.                      D. ‎ ‎13.定义在 上的函数 的导函数为 ,且 对 恒成立.下列结论正确的是（    ） ‎ A.                                                B. 若 ,则 C.                                               D. 若 ,则 ‎ 三、填空题 ‎14.若向量 与 互相垂直,且 ,则 ________． ‎ ‎15.若函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直，则 ________． ‎ ‎16.已知 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则 的解析式为________．不等式 的解集为________． ‎ ‎17. 分别为 内角 的对边.已知 ‎ ‎（1） ________． ‎ ‎（2）若 ,则 ________． ‎ 四、解答题。‎ ‎18. 分别为 内角 的对边.已知 . ‎ ‎（1）若 的面积为 ,求 ; ‎ ‎（2）若 ,求 的周长. ‎ ‎19.已知 . ‎ ‎（1）若 ,求 ; ‎ ‎（2）若向量 中存在互相垂直的两个向量,求 的值. ‎ ‎20.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量 (单位:焦耳)与地震里氏震级 之间的关系为 . ‎ ‎（1）已知地震等级划分为里氏 级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于 级的为“小地震”,介于 级到 级之间的为“有感地震”,大于 级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约 焦耳，试确定该次地震的类型; ‎ ‎（2）2008年汶川地震为里氏 级,2011年日本地震为里氏 级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? (取 ) ‎ ‎21.已知函数 ‎ ‎（1）化简 ,并求 的最小正周期; ‎ ‎（2）若 ,求 ; ‎ ‎（3）求 的单调递增区间. ‎ ‎22.已知二次函数 . ‎ ‎（1）若 是 的两个不同零点,是否存在实数 ,使 成立?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由. ‎ ‎（2）设 ,函数 ,存在 个零点. ‎ ‎(i)求 的取值范围;‎ ‎(ii)设 分别是这 个零点中的最小值与最大值,求 的最大值.‎ ‎23.已知函数 . ‎ ‎（1）讨论 的单调性; ‎ ‎（2）用 表示 中的最大值，若函数 只有一个零点,求 的取值范围. ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎ ‎1.【答案】 C ‎ ‎【考点】交集及其运算 ‎ ‎【解析】【解答】解:因为 ‎ 所以 ,‎ 故答案为：C.‎ ‎【分析】先由二次不等式的解法求 再利用集合交集的运算可得 ，得解.‎ ‎2.【答案】 D ‎ ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算 ‎ ‎【解析】【解答】解：由题意知 ,‎ 即 ，‎ 故 在复平面内对应的点位于第四象限，‎ 故答案为：D.‎ ‎【分析】先由已知条件求得 ，再确定 在复平面内对应的点位于的象限即可.‎ ‎3.【答案】 C ‎ ‎【考点】命题的否定 ‎ ‎【解析】【解答】解：由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零， ‎ 即命题“ ”的否定为“ ”，‎ 故答案为：C.‎ ‎【分析】由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零,得解.‎ ‎4.【答案】 B ‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用，复数代数形式的混合运算，复数求模 ‎ ‎【解析】【解答】解：因为 ,所以 ， ‎ 当且仅当 ，即 时，等号成立,‎ 故 的最小值为3.‎ 故答案为：B.‎ ‎【分析】由复数的乘法运算得 ，再结合复数模的运算得 ，即可求得复数模的最小值.‎ ‎5.【答案】 B ‎ ‎【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 ‎ ‎【解析】【解答】∵f( x)=( x)2+ =x2+ =f(x), ‎ ‎∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除C,D；‎ 又 时， ,排除A,‎ 故答案为：B.‎ ‎【分析】利用奇偶性排除C、D；利用 时， ,排除A,从而可得结论.‎ ‎6.【答案】 D ‎ ‎【考点】两角和与差的正切公式，二倍角的正切公式 ‎ ‎【解析】【解答】解： ， ‎ ‎ ，‎ 即ABC不符合题意，D符合题意，‎ 故答案为：D.‎ ‎【分析】先由 ，再由两角差的正切公式求出 ，再利用正切的二倍角公式求出 即可得解.‎ ‎7.【答案】 B ‎ ‎【考点】向量的投影 ‎ ‎【解析】【解答】解：因为 , ‎ 所以 .又 ， ，‎ 所以 ，‎ 故 在 方向上的投影为 .‎ 故答案为：B.‎ ‎【分析】由平面向量的线性运算得 ，又 ， ，则可得 在 方向上的投影为 ，得解.‎ ‎8.【答案】 A ‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 ‎ ‎【解析】【解答】解：若 在 上单调递增，则 ,即 在 上恒成立. ‎ 又 在 上单调递增,则 ，所以 .‎ 故“ ”是“ 在 上单调递增”的充分不必要条件.‎ 故答案为：A.‎ ‎【分析】由 在 上单调递增，等价于 在 上恒成立，再求得 ，再判断“ ”与“ ”的充分必要性即可.‎ ‎9.【答案】 B ‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用 ‎ ‎【解析】【解答】因为 , ‎ 所以 ，‎ 当且仅当 即 时等号成立.‎ 又 ，‎ 则 等价于 ,解得： ，‎ 则 的取值范围为 ，‎ 故答案为：B.‎ ‎【分析】先由重要不等式求得 的最小值为4，再利用配方法求二次函数的最值可得 的最大值为 ，再求解即可.‎ ‎10.【答案】 A ‎ ‎【考点】函数单调性的性质，图形的对称性 ‎ ‎【解析】【解答】解：依题意可得, 的图象关于直线 对称. ‎ 因为 ,‎ 则 ，‎ 又 在 上单调递增,‎ 所以 .‎ 故答案为：A.‎ ‎【分析】由已知可得 的图象关于直线 对称.因为 ，又 在 上单调递增,即可得解.‎ 二、多选题 ‎ ‎11.【答案】 B,D ‎ ‎【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 ‎ ‎【解析】【解答】解：因为 ， ‎ 所以 ,‎ 对于A，令 ，解得 （ ），即函数的对称轴方程为 （ ），即A不符合题意；‎ 对于B，因为 ，所以 ，即 ，即 在 上的值域为 ，即B符合题意；‎ 对于C，令 ，解得 ，即 的图象关于点 对称，则 的图象关于点 对称，C不符合题意.‎ 对于D,由 的图象向右平移 个单位长度,得到 的图象,D符合题意.‎ 故答案为：BD.‎ ‎【分析】由三角恒等变换可得 ，再结合三角函数值域的求法、三角函数图像的对称轴、对称中心的求法逐一判断即可得解.‎ ‎12.【答案】 B,C,D ‎ ‎【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 ‎ ‎【解析】【解答】画出函数 的大致图象如下图， ‎ 得出 ,则 ,A不符合题意,B符合题意;‎ 由图可知 ,C符合题意;‎ 因为 ,所以 ,D符合题意.‎ 则结论正确的是BCD，‎ 故答案为：BCD.‎ ‎【分析】先作出 的图像，再观察图像可得 ，再结合 ，求解即可.‎ ‎13.【答案】 C,D ‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性 ‎ ‎【解析】【解答】解：设函数 ， ‎ 则 ‎ 因为 ,所以 ,‎ 故 在 上单调递减,从而 ,整理得 ，‎ ‎ ,A不符合题意,C符合题意.‎ 当 时,若 ,因为 在 上单调递减,所以 ‎ 即 ,即 .D符合题意,从而B不正确.‎ 故答案为：CD.‎ ‎【分析】先构造函数 ，再利用导数可得 在 上单调递减,再利用函数的单调性判断四个命题即可得解.‎ 三、填空题 ‎ ‎14.【答案】‎ ‎【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，数量积判断两个平面向量的垂直关系 ‎ ‎【解析】【解答】解：因为向量 与 互相垂直,可得 ，又 ， ‎ 则 ，‎ 故答案为： .‎ ‎【分析】由向量模的运算 ，再将已知条件代入运算即可.‎ ‎15.【答案】‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 ‎ ‎【解析】【解答】解：因为 ， ‎ 所以 ‎ 由已知有 ‎ 即 ，‎ 故答案为： .‎ ‎【分析】先求原函数的导函数 再利用导数的几何意义可得 得解.‎ ‎16.【答案】；‎ ‎【考点】函数单调性的性质，奇函数 ‎ ‎【解析】【解答】解：设 ，则 ，由函数为奇函数，可得 ， ‎ 则 ，‎ 又 ，‎ 则 ，‎ 当 时， ,所以 ;‎ 当 时,设 ，则函数 为增函数，又 ，即 的解集为 ，即 的解集为 .‎ 综上 的解集为 .‎ 故答案为： .‎ ‎【分析】先由函数为奇函数，结合 时, ,求函数解析式即可；再分 时， 时求解不等式即可得解.‎ ‎17.【答案】 （1）3 （2）‎ ‎【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数基本关系的运用，正弦定理，余弦定理 ‎ ‎【解析】【解答】（1）解：由 ,得 , ‎ 而 ,所以 ，‎ 即 ,故 .（2）因为 ,所以 ,则 ,所以 ，‎ 从而 ，‎ 由正弦定理得 ,则 ，‎ ‎【分析】(1)由余弦定理可得 ，再由两角和、差的余弦公式展开运算求解即可；(2)由（1）可得 ，再由正弦定理可得 ，得解.‎ 四、解答题。 ‎ ‎18.【答案】 （1）解:由 ,得 . ‎ 因为 的面积为 ,‎ 所以 .‎ ‎ （2）解：因为 ,可得 ‎ 由余弦定理得 ,‎ 所以 ，‎ 故 的周长为 .‎ ‎【考点】正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 ‎ ‎【解析】【分析】(1)由已知 ，结合正弦定理可得 ，再结合三角形的面积公式 ，将已知条件代入运算即可；(2)由 ，结合余弦定理得 ,得解.‎ ‎19.【答案】 （1）解： ， ‎ ‎ 由 ,得 ‎ ‎ ，又 ‎ ‎ ‎ ‎（2）解： ， ‎ 若 ,则 ,‎ 即 ,方程无解.‎ 若 ，则 ,解得 .‎ 若 ，则 ,解得 .‎ 综上, 或 .‎ ‎【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，数量积判断两个平面向量的垂直关系 ‎ ‎【解析】【分析】(1)由 ，利用平面向量的坐标运算可得 ，再由向量的夹角公式可得 ，得解；(2)分别讨论若 , ， ，再求解即可.‎ ‎20.【答案】 （1）解：当某次地震释放能量约 焦耳时, ， ‎ 代入 ,得 .‎ 因为 ,所以该次地震为“破坏性地震”.‎ ‎ （2）解：设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为 . ‎ 由题意知, ，‎ 即 ,‎ 所以 ‎ 取 ,得 ‎ 故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震的 倍.‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用 ‎ ‎【解析】【分析】(1)先阅读题意，再计算 ，即可得解；(2)结合地震释放出的能量 (单位:焦耳)与地震里氏震级 之间的关系为 ，再求出 ，再求解即可.‎ ‎21.【答案】 （1）解：因为 ， ‎ 所以最小正周期 .‎ ‎ （2）解：因为 ,所以 ， ‎ 所以 ；‎ ‎ （3）解：设 ,因为函数 在 上为减函数， ‎ 所以要求 的单调递增区间，即求 ( ，且 )的单调递减区间,‎ 所以 的单调递增区间为 和 .‎ ‎【考点】函数的单调性及单调区间，二倍角的余弦公式，三角函数的周期性及其求法 ‎ ‎【解析】【分析】(1)由二倍角的正、余弦公式可得 ，得解；(2)由（1）得 ，所以 ，得解；(3) 设 ,因为函数 在 上为减函数，所以要求 的单调递增区间，即求 ( ，且 )的单调递减区间,再求解即可.‎ ‎22.【答案】 （1）解：依题意可知, .假设存在实数 ,使 成立. ‎ 因为 有两个不同零点，.‎ 所以 ,解得 .‎ 由韦达定理得 ‎ 所以 ‎ 解得 ,而 ,故不存在.‎ ‎ （2）解：因为 ,设 ,则 , ‎ 当 时, ;当 时, .‎ ‎(i)作出函数 的图象，如图所示,所以 .‎ ‎ (ii)设直线 与此图象的最左边和最右边的交点分别为 .‎ 由 ,得 ‎ 由 ,得 ‎ 所以 ‎ 因为 ，‎ 所以当 时， 取得最大值 .‎ 故 的最大值为 .‎ ‎【考点】二次函数在闭区间上的最值，函数的零点与方程根的关系，函数零点的判定定理 ‎ ‎【解析】【分析】(1) .假设存在实数 满足题意，由韦达定理可得： ，解得 ,又 ，即 ，综合可得假设不成立；(2) (i)作出函数 的图象，观察图像即可求出 的取值范围；(ii)设直线 与此图象的最左边和最右边的交点分别为 .即 ，因为 ，代入运算可得解.‎ ‎23.【答案】 （1）解：函数 的定义域为 ,且 . ‎ 当 时, 对 恒成立,所以 在 上单调递增.‎ 当 时,令 ,得 ,‎ 当 时, ;当 时, .‎ 所以 在 上单调递减,在 上单调递增，.‎ ‎ （2）解：①当 时, ,从而 ,所以 在 上无零点， ‎ ‎②当 时, ,‎ 若 ,所以 是 的零点; ‎ 若 ,所以 不是 的零点.‎ ‎③当 时, ,所以 在 上的零点个数只需要考虑 在 上的零点个数.‎ ‎ 在 上的零点个数 在 上实根的个数 在 上实根的个数. ‎ 令函数 ,则 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增；又 ， ， ， ‎ 当 或 时， 在 上无零点;当 或 时, 在 上有唯一零点， 时, 在 上有两个零点，‎ 综上可得：当 时， 在 上有无零点, 当 时， 在 上有1个零点, 当 时， 在 上有2个零点, 当 时， 在 上有1个零点, ‎ 则 在 上有唯一零点, 的取值范围为 .‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性，函数零点的判定定理 ‎ ‎【解析】【分析】(1)先求函数的导函数 ，再讨论 时, 时,函数 的单调性即可；(2)分别讨论函数 在当 ，当 时，当 时,函数 零点个数，然后结合函数在 的零点个数即可得解.‎