湖北省天门市2013届高三数学模拟测试（一）试题 文 新人教A版

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天门市2013届高三模拟测试（一）‎ 数学（文）试题 ‎ 本试卷分三个大题，共22小题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 考生注意：‎ ‎ 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。‎ ‎ 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，若在试题卷上作答，答案无效。‎ ‎ 3．考试结束，监考员将试题卷，答题卡一并收回。‎ ‎—、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的。‎ ‎1．若复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为 ‎ A．2i B．‎2 ‎C．-I D．-1‎ ‎2．下列命题中，真命题是 A． B．‎ C． D． ‎ ‎3．在等差数列中，，且，则的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎4．已知函数的图象如图所示 ‎ =‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在平面直角坐标系中，若不等式组为常数)，所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 ‎ ‎ A．3 B．‎2 C．1 D．－5‎ ‎6．双曲线与抛物线有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于 ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎7．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“”的平面 ‎ A．不存在 B．有且只有一对 C．有且只有两对 D．有无数对 ‎8．在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在R上定义运算：xy=x（l－y）．若对任意x>2，不等式（x－a）x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是 ‎ A．[一1，7] B．（一∞，3] C．（一∞，7] D．（一∞，－1]U[7，+∞）‎ ‎10．点P的底边长为，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则 取值范围是 ‎ A．[0，2] B．[0，3] C．[0，4] D．[—2，2]‎ 二：填空题。本大题共７小题，每小题5分共35分.本题须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。‎ ‎11．已知 .‎ ‎12．若一个圆台的主视图如图所示，则其全面积等于 . ‎ ‎ 13．已知则tan‎2a= ‎ ‎14．若Sn是等差数列的前n项和，且S8－S4=12，则S12的值为 ‎ ‎15．三个好朋友同时考进同一所高中，该校高一有10个班，则至少有2人分在同一班的概率为 .‎ ‎16．运行如图所示的程序框图，若输入n=4，则输出S的值为 ．‎ ‎　　‎ ‎ 17．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时不等式 ‎ 恒成立，若 ‎ 则a，b，c的大小关系（用“>”连接）是 。‎ ‎ 　三．解答题：本大题共５小题，共６5分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎18．（本小题满分12分）设角A，B，C为△ABC的三个内角。（1）设时，取极大值，试求的值；（2）当A取时，而·，求BC边长的最小值。‎ ‎ 19．（本小题满分12分）已知等比数列{an}满足 (‎ ‎(I)求{an}的通项公式；‎ ‎(II)设，求数列的前n项的和.‎ ‎20．(本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD,. ‎ ‎ (I )求证：平面PAB丄平面PCD ‎ (II)如果 AB=BC=2, PB=PC=求四棱锥P-ABCD的体积. ‎ ‎21．（本小题满分13分）已知点，‎ ‎ （1）求P的轨迹C的方程；（是否存在过点l与曲线C相交于A，B两点，并且曲线C存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。‎ ‎2２．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）判断函数在区间上零点的个数，并给予证明；‎ 天门市2013届高三模拟测试（一）‎ 数学（文）试题参考答案 ‎—、选择题：‎ DDCCA BDBCC 二：填空题。‎ ‎11．2 12． 13． 14．36 15． 16．11 17．c>a>b ‎ 三．解答题：‎ ‎18.解：（1）因为. ……2分 因为，则.由，得，‎ 所以，即.……………………………………………………4分 所以当时，为增函数；当时，为减函数.故，取极大值= ………………………………………………6分 ‎（2）由知，………………………………………………………8分 而， …………………………………………………10分 当且仅当时，边长的最小值为 …………………………………12分 ‎ 19．解（Ⅰ）设an＝a1qn－1，依题意，有 解得a1＝1，q＝－． …4分 所以an＝(－)n－1． …5分 ‎（Ⅱ）bn＝＋＋…＋＝(n＋1)[＋＋…＋]‎ ‎＝(n＋1)[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝n． …7分 记数列{}的前n项的和为Sn，则 Sn＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n×(－3)n－1，‎ ‎－3Sn＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n×(－3)n，‎ 两式相减，得 ‎4Sn＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n－1－n×(－3)n＝－n×(－3)n，‎ 故Sn＝． …12分 ‎20．解：（Ⅰ）因为四棱锥P-ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD，‎ 又侧面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥PA．‎ 又∠APD＝，即PA⊥PD，而CD∩PD＝D，所以PA⊥平面PCD．‎ 因为PAÌ平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD． …4分 A B C D P O ‎（Ⅱ）如图，作PO⊥AD，垂足为O，则PO⊥平面ABCD．‎ 连结OB，OC，则PO⊥OB，PO⊥OC．‎ 因为PB＝PC，所以Rt△POB≌Rt△POC，所以OB＝OC．‎ 依题意，ABCD是边长为2的正方形，由此知O是AD的中点． …7分 在Rt△OAB中，AB＝2，OA＝1，OB＝．‎ 在Rt△OAB中，PB＝，OB＝，PO＝1． …10分 故四棱锥P-ABCD的体积V＝AB2·PO＝． …12分 ‎21.解：（1） P的轨迹是以MN为焦点，长轴长为的椭圆 ‎ 所以的轨迹的方程为…………………………………………………4分 ‎（2）设，由题意知的斜率一定不为0，故不妨设，代入椭圆方程整理得，‎ 显然 则……①，…………………8分 假设存在点，使得四边形为平行四边形，其充要条件为，则点的坐标为。由点在椭圆上，即 整理得…………………………………10分 又在椭圆上，即故……②‎ 将代入由①②解得 即直线的方程是：，即………………………13分 ‎22．（Ⅰ）∵，‎ ‎ ，‎ 当时，；当　‎ 时，.‎ 当时，取得极小值，无极大值.‎ ‎（Ⅱ）函数在区间上有且只有一个零点. ‎ 证明如下：‎ ‎∵， ‎ ‎， ‎ ‎，‎ 函数在区间上必定存在零点. ‎ ‎ ∵，当时，， ‎ ‎ 在区间上单调递增， ‎ ‎ ∴函数在区间上的零点最多一个. ‎ ‎ 综上知：函数在区间上存在唯一零点． ‎