2017年高考数学（理科,江苏专版）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题3 第12讲 高考中的数列

2017年高考数学（理科,江苏专版）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题3 第12讲 高考中的数列

第12讲　高考中的数列 题型一| 等差、等比数列的判定与证明 ‎　(2013·江苏高考)设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝，n∈N*，其中c为实数．‎ ‎(1) 若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；‎ ‎(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.‎ ‎[证明]　(1)由c＝0，得bn＝＝a＋d.1分 又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b＝b1b4， 2分 即2＝a，化简得d2－2ad＝0.‎ 因为d≠0，所以d＝2a. 4分 因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.‎ 从而对于所有的k，n∈N*，‎ 有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk. 6分 ‎(2)设数列{bn}的公差是d1，则bn＝b1＋(n－1)d1，‎ 即＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的n∈N*，有 n3＋n2＋cd1n＝c(d1－b1). 8分 令A＝d1－d，B＝b1－d1－a＋d，D＝c(d1－b1)，则对于所有的n∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)‎ 在(*)式中分别取n＝1,2,3,4，得 A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1，‎ 从而有 10分 由②③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0，即d1－d＝0，b1－d1－a＋d＝0，cd1＝0. 14分 若d1＝0，则由d1－d＝0，得d＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.又因为cd1＝0，所以c＝0. 16分 ‎【名师点评】　证明(或判断)数列是等差(比)数列的基本方法：‎ ‎(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇒{an}是等差数列；＝q(q是非零常数)⇒{an}是等比数列；‎ ‎(2)等差(比)中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇒{an}是等差数列；a＝an·an＋2(n∈N*，an≠0)⇒{an}是等比数列．‎ ‎(2016·南通三模)已知数列{an}，{bn}均为各项都不相等的数列，Sn为{an}的前n项和，an＋1bn＝Sn＋1(n∈N*)．‎ ‎(1)若a1＝1，bn＝，求a4的值；‎ ‎(2)若{an}是公比为q的等比数列，求证：存在实数λ，使得{bn＋λ}为等比数列；‎ ‎(3)若{an}的各项都不为零，{bn}是公差为d的等差数列，求证：a2，a3，…，an，…成等差数列的充要条件是d＝.‎ ‎[解]　(1)由a1＝1，bn＝，知a2＝4，a3＝6，a4＝8. 3分 ‎(2)证明：法一：因为an＋1bn＝Sn＋1，所以a1qnbn＝＋1，‎ 所以qnbn＝＋－，即bn＝n－， 5分 所以存在实数λ＝，使得bn＋λ＝n，‎ 又因为bn＋λ≠0(否则{bn}为常数数列与题意不符)，‎ 所以当n≥2，＝，此时{bn＋λ}为等比数列，‎ 所以存在实数λ＝，使{bn＋λ}为等比数列. 10分 法二：因为an＋1bn＝Sn＋1，①‎ 所以当n≥2时，anbn－1＝Sn－1＋1，②‎ ‎①－②得，当n≥2时，an＋1bn－anbn－1＝an，③‎ 由③得，当n≥2时，bn＝bn－1＋＝bn－1＋， 5分 所以bn＋＝，又因为bn＋≠0(否则{bn}为常数数列与题意不符)，‎ 所以存在实数λ＝，使{bn＋λ}为等比数列. 10分 ‎(3)证明：因为{bn}为公差为d的等差数列，所以由③得，当n≥2时，an＋1bn－an(bn－d)＝an，‎ 即(an＋1－an)bn＝(1－d)an，因为{an}，{bn}各项均不相等，所以an＋1－an≠0,1－d≠0，‎ 所以当n≥2时，＝，④‎ 当n≥3时，＝，⑤‎ 由④－⑤，得当n≥3时－＝＝，⑥ 12分 先证充分性：即由d＝证明a2，a3，…，an，…成等差数列，‎ 因为d＝，由⑥得－＝1，‎ 所以当n≥3时，－1＝，‎ 又an≠0，所以an＋1－an＝an－an－1，‎ 即a2，a3，…，an，…成等差数列．‎ 再证必要性：即由a2，a3，…，an，…成等差数列证明d＝， 14分 因为a2，a3，…，an，…成等差数列，所以当n≥3时，an＋1－an＝an－an－1，‎ 所以由⑥得，－＝－＝1＝，‎ 所以d＝，所以a2，a3，…，an，…成等差数列的充要条件是d＝. 16分 题型二| 数列中的新定义问题 ‎　(2014·江苏高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．‎ ‎(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；‎ ‎(2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d<0.若{an}是“H数列”，求d的值；‎ ‎(3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．‎ ‎[解]　(1)证明：由已知，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.所以{an}是“H数列”. ‎ ‎ 4分 ‎(2)由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d.‎ 因为{an}是“H数列”，‎ 所以存在正整数m，使得S2＝am，‎ 即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1. 6分 因为d<0，所以m－2<0，‎ 故m＝1.从而d＝－1. 7分 当d＝－1时，an＝2－n，Sn＝是小于2的整数，n∈N*.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝2－Sn＝2－，使得Sn＝2－m＝am，所以{an}是“‎ H数列”．因此d的值为－1. 10分 ‎(3)证明：设等差数列{an}的公差为d，‎ 则an＝a1＋(n－1)d＝na1＋(n－1)(d－a1)(n∈N*)．‎ 令bn＝na1，cn＝(n－1)(d－a1)，则an＝bn＋cn(n∈N*). 12分 下证{bn}是“H数列”．‎ 设{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝a1(n∈N*)．‎ 于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝，‎ 使得Tn＝bm，所以{bn}是“H数列”. 14分 同理可证{cn}也是“H数列”．‎ 所以，对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立. 16分 ‎【名师点评】　本例先给出“H数列”的定义，在此基础上，借助an与Sn的关系及等差数列的有关知识对所给命题进行论证，重在考查学生接受新知识及应用已知知识解决问题的能力．‎ ‎(2016·南通调研)若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”．‎ ‎(1)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1.‎ ‎①求数列{an}的通项公式；‎ ‎②试判断数列{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．‎ ‎(2)已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z(n∈N*)．求证：{an}为“等比源数列”．‎ ‎[解]　(1)①由an＋1＝2an－1，得an＋1－1＝2(an－1)，且a1－1＝1，‎ 所以数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ 所以an－1＝2n－1.‎ 所以，数列{an}的通项公式为an＝2n－1＋1.3分 ‎②数列{an}不是“等比源数列”．用反证法证明如下：‎ 假设数列{an}是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(m＜n＜k)按一定次序排列构成等比数列．因为an＝2n－1＋1，所以am＜an＜ak.‎ 所以a＝am·ak，得(2n－1＋1)2＝(2m－1＋1)(2k－1＋1)，即22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1.‎ 又m＜n＜k，m，n，k∈N*，‎ 所以2n－m－1≥1，n－m＋1≥1，k－1≥1，k－m≥1.‎ 所以22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m为偶数，与22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1矛盾．‎ 所以，数列{an}中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．‎ 综上可得，数列{an}不是“等比源数列”. 6分 ‎(2)不妨设等差数列{an}的公差d≥0.‎ 当d＝0时，等差数列{an}为非零常数数列，数列{an}为“等比源数列”．‎ 当d＞0时，因为an∈Z，则d≥1，且d∈Z，所以数列{an}中必有一项am＞0. ‎ ‎ 12分 为了使得{an}为“等比源数列”，‎ 只需要{an}中存在第n项，第k项(m＜n＜k)，使得a＝amak成立， 14分 即[am＋(n－m)d]2＝am[am＋(k－m)d]，即(n－m)[2am＋(n－m)d]＝am(k－m)成立．‎ 当n＝am＋m，k＝2am＋amd＋m时，上式成立．所以{an}中存在am，an，ak成等比数列．‎ 所以，数列{an}为“等比源数列”. 16分 题型三| 数列的综合应用 ‎　已知数列{an}满足a1＝x，a2＝3x，Sn＋1＋Sn＋Sn－1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和．‎ ‎(1)若数列{an}为等差数列．‎ ‎①求数列的通项an；‎ ‎②若数列{bn}满足bn＝2an，数列{cn}满足cn＝t2bn＋2－tbn＋1－bn，试比较数列{bn}前n项和Bn与{cn}前n项和Cn的大小．‎ ‎(2)若对任意n∈N*，an0，其前n项和Bn>0，‎ 又因为cn＝t2bn＋2－tbn＋1－bn＝(16t2－4t－1)bn，‎ 所以其前n项和Cn＝(16t2－4t－1)Bn，‎ 所以Cn－Bn＝2(8t2－2t－1)Bn， 6分 当t<－或t>时，Cn>Bn；‎ 当t＝－或t＝时，Cn＝Bn；‎ 当－时，由p(n－1)an＝(pn＋1－2p)an－1(n≥2)，又an>0，‎ 所以p(n－1)an

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