专题09-3圆锥曲线小题突破第三季-2019年领军高考数学（理）压轴题必刷题

专题09-3圆锥曲线小题突破第三季-2019年领军高考数学（理）压轴题必刷题

专题09-3圆锥曲线小题突破第三季 ‎1．过抛物线的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点，以AF、BF为直径的圆分别与y轴相切于点M，N，则|MN| =‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设，‎ 因为抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，‎ 可得直线的斜率为，‎ 直线的方程为，‎ 因为为直径的圆分别与轴相切于点，‎ 所以，‎ ‎，‎ 将方程代入，‎ 整理得，‎ ‎，故选C.‎ ‎2．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，且两点为在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设|，∵点A为椭圆C1：上的点， ，‎ 即 ；① 又四边形AF1BF2为矩形， ，即② 由①②得： ，解得 ‎ 设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n， 则 ， ∴双曲线C2的离心率． 故选：D．‎ ‎3．已知抛物线：的焦点为，，两点在抛物线上，且，过点，分别引抛物线的切线，，，相交于点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由焦点弦的性质有：，结合可得：，‎ 结合射影定理有：，‎ 据此可得：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎4．已知椭圆的左、右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线，若，且是曲线上不同的点，满足，则的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵椭圆C1：+=1的左右焦点为F1，F2，‎ ‎∴F1（﹣1，0），F2（1，0），直线l1：x=﹣1，‎ 设l2：y=t，设P（﹣1，t），（t∈R），M（x，y），‎ 则y=t，且由|MP|=|MF2|，‎ ‎∴（x+1）2=（x﹣1）2+y2，‎ ‎∴曲线C2：y2=4x．‎ ‎∵A（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，‎ ‎∴，，‎ ‎∵AB⊥BC，‎ ‎∴=（x1﹣1）（x2﹣x1）+（y1﹣2）（y2﹣y1）=0，‎ ‎∵，，‎ ‎∴（﹣4）（﹣）+=0，‎ ‎∵y1≠2，y1≠y2，‎ ‎∴，‎ 整理，得，‎ 关于y1的方程有不为2的解，‎ ‎∴，且y2≠﹣6，‎ ‎∴0，且y2≠﹣6，‎ 解得y2＜﹣6，或y2≥10．‎ 故选：A．‎ ‎5．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且离心率之积为1，为两曲线的一个交点，则的形状为（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 的焦点坐标为，离心率为，‎ ‎，‎ 椭圆，，‎ ‎，得，，‎ ‎ 为直角三角形，故选B.‎ ‎6．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8  ②‎ 联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．‎ 当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A ‎7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为，，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设，‎ 过抛物线的焦点，‎ 设直线方程为，代入抛物线方程可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 解得，故选B.‎ ‎8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是（ ）‎ A．4 B．6 C．8 D．16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长为，取椭圆与双曲线在一象限的交点为，由椭圆和双曲线定义分别有 ‎，①，②③‎ ‎，得，④‎ 将④代入③得 则，‎ 故最小值为8.‎ ‎9．设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上不同三点，，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎10．设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,|PF1|=λ|PF2|,∠F1PF2=,则椭圆离心率的取值范围为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设F1（-c，0），F2（c，0），由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，‎ 可设|PF2|=t，可得|PF1|=λt，‎ 即有（λ+1）t=2a①‎ 由∠F1PF2= ，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，‎ 即为（λ2+1）t2=4c2，②‎ 由②÷①2，可得e2=令m=λ+1，可得λ=m-1，‎ ‎∵ ，∴∴ ‎ 即有 由≤e2≤，解得，≤e≤.故选：B ‎11．过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，若有三条直线满足，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，（1）当轴，过与抛物线交于，与圆交于，满足题设；‎ ‎（2）当不与轴垂直时，设，代入联立得，‎ 把直线代入圆的方程，得，‎ 设，‎ 因为，所以，可得，‎ 所以，当时，仅有三条，故选B．‎ ‎12．已知椭圆，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝4x＋m对称，则实数m的取值范围是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 椭圆，即：3x2+4y2-12=0， 设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x0，y0）， 则 3x12+4y12-12=0，① 3x22+4y22-12=0 ② ①-②得：3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，‎ 即 3•2x0•（x1-x2）+4•2y0•（y1-y2）=0， ∴． ∴y0=3x0，代入直线方程y=4x+m得x0=-m，y0‎ ‎=-3m； 因为（x0，y0）在椭圆内部， ∴3m2+4•（-3m）2＜12，即3m2+36m2＜12，解得． 故选：B．‎ ‎13．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由双曲线的定义知 ①‎ 又， ②‎ 联立①②解得，‎ 在中，由余弦定理，得，‎ 要求的最大值，即求的最小值，‎ 当时，解得，即e的最大值为，故选B.‎ 解法二：由双曲线的定义知 ①又， ②联立①②解得，因为点P在右支所以 c-,即 c-故 c，即e的最大值为，故选B.‎ ‎14．设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意的圆心为，半径为1，‎ 而圆心（-3sinα，-3cosα），满足（-3sinα）2+（-3cosα）2=9，‎ 故圆心在以（0，0）圆心，半径为3的圆上，‎ ‎∴集合A对应的几何图形为圆x2+y2=4和x2+y2=16之间的圆环区域，‎ 由于原点到直线的距离为，所以直线恰好与圆环的小圆相切．‎ 所以表示的是直线截圆环的大圆所得的弦长．‎ 故点集所表示的轨迹长度为．故选D．‎ ‎15．设xOy，为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，Ox正方向到正方向的角度为θ，那么对于任意的点M，在xOy下的坐标为（x，y），那么它在坐标系下的坐标（，）可以表示为：＝xcosθ＋ysinθ，＝ycosθ－xsinθ．根据以上知识求得椭圆3－＋－1＝0的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 把x′=xcosθ+ysinθ,y′=ycosθ−xsinθ代入椭圆3－＋－1＝0得：‎ ‎3(xcosθ+ysinθ)2−(xcosθ+ysinθ)(ycosθ−xsinθ)+5(ycosθ−xsinθ)2−1=0，‎ 化简得：(4+sin2θ−cos2θ)x2+(4−sin2θ+cos2θ)y2−4sin(2θ+)⋅xy=1.‎ 令4sin(2θ+)=0可得2θ=.‎ 于是椭圆方程为：2x2+6y2=1.‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆离心率为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎16．过抛物线y＝焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y＝－1上，若△ABC为正三角形，则其边长为 A．11 B．13 C．14 D．12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 抛物线焦点为(0,1)，设，线段AB的中点，‎ 很明显直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线方程为y=kx+1，‎ 由,消y可得x2−4kx−4=0，‎ ‎∴x1+x2=4k，‎ ‎∴y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，‎ ‎∴|AB|=y1+y2+2=4k2+4，‎ ‎∴x0=2k,y0=2k2+1，‎ ‎∴D(2k,2k2+1)，‎ ‎∴线段AB的垂直平分线的方程为y−2k2−1=(x−2k)，‎ 即y=x+2k2+3，令y=−1,则x=2k3+4k，∴C(2k3+4k,−1)‎ ‎∴点C到直线AB的距离，‎ ‎∵△ABC为正三角形，∴，‎ ‎∴，‎ 整理可得k2=2，∴|AB|=4k2+4=12.‎ 本题选择D选项.‎ ‎17．在平面直角坐标系xoy中，直线l与曲线和曲线均相切，切点分别为A、B两点，则两切点AB间的长为（ ）‎ A． B． C．. D．‎ ‎【答案】D ‎，‎ 或（舍），‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以切点坐标为，‎ 由切线长定理可得，‎ ‎，故选D.‎ ‎18．如图，设抛物线的焦点为，过轴上一定点作斜率为的直线与抛物线相交于两点，与轴交于点，记面积为，面积为，若，则抛物线的标准方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为直线斜率为2，经过定点 所以直线方程为 ，即 ‎ 作轴，轴 因为，即 ，所以 ‎ 联立方程，化简得 ‎ 根据一元二次方程的求根公式，得 ‎ 所以 ‎ 因为，所以 化简得，即 ‎ 因为 ，所以 即， ‎ 所以选C ‎19．已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则（ ）‎ A．至少存在两个点使得 B．对于任意点都有 C．对于任意点都有 D．存在点使得 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设点的坐标为，则．‎ 对于D，当时，一方面，另一方面容易证成立，‎ 所以，因为与中两个等号成立条件不一样，所以恒成立，所以，因此D不成立．‎ 对于B，当时，，所以，所以B不成立．‎ 对于A，至少存在两个点使得，也就是至少存在两解，‎ 即至少存在两解，恒成立，‎ 所以至多存在一解，所以A不成立．‎ 综合以上分析可得选项C正确．‎ 故选C．‎ ‎20．已知抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为，过点的直线与抛物线在第一象限的交点为，且抛物线在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为 ‎∴过点，的直线方程为 ‎∵抛物线在点处的切线与直线垂直 ‎∴抛物线在点处的切线的斜率为 ‎∵抛物线方程为 ‎∴‎ 设点的坐标为，则，即.‎ ‎∴‎