2018-2019学年广东省蕉岭县蕉岭中学高二下学期第三次月考数学（文)试题 解析版

2018-2019学年广东省蕉岭县蕉岭中学高二下学期第三次月考数学（文)试题 解析版

绝密★启用前 广东省蕉岭县蕉岭中学2018-2019学年高二下学期第三次月考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，应选答案C。‎ ‎2．已知复数，则（　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵复数 ‎∴‎ 故选B.‎ ‎3．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为，故选A．‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎4．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺. ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图，已知，， ‎ ‎∴，解得 ， ‎ ‎∴，解得 .‎ ‎∴折断后的竹干高为4.55尺 故选B.‎ ‎5．若角满足，则( )‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二倍角公式整理已知条件得 ‎，再将所求式子利用二倍角公式化简可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角恒等式，通过二倍角公式化简可得结果，属于基础题.‎ ‎6．将函数的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，可得的图象，再往上平移个单位，得函数的图象.‎ ‎∵的单调区间与函数相同 ‎∴令，解得： .‎ 当时，该函数的单调增区间为.‎ 故选C.‎ 点睛：由的图象，利用图象变换作函数的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位；而先周期变换(‎ 伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．‎ ‎7．设函数，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得或，解得或，故选D。‎ 考点：本题主要考查分段函数的概念，指数函数、幂函数的性质。‎ 点评：简单题，解不等式，需明确具体内容是什么，通过分段讨论，分别解指数不等式、无理不等式即得。也可以利用图象法。‎ ‎8．已知为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为 A． B．‎ C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设右焦点关于渐近线： 的对称点为，则在上交于，由点到直线距离公式可得， 为直角三角形，三边分别为，由对称性知， ， ，故选C.‎ ‎9．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由三视图知该几何体为棱锥,其中平面ABCD,‎ 此三棱锥的体积.故选A . ‎ ‎10．已知数列的前项和为，且，则（　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得， ，则 ，即 ，故选A.‎ ‎11．在中，，点为边上一点，且，则（　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故选D. ‎ ‎12．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为．‎ 过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角．‎ ‎∴当最小时，最小，则当和抛物线相切时，最小．‎ 设切点，由的导数为，则的斜率为.‎ ‎∴，则.‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故选C．‎ 点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，‎ 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．曲线在处的切线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 欲求出在处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而解决问题。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，时，，‎ 所以曲线在点处的切线的斜率为，‎ 所以曲线在点处的切线的方程为，‎ 故答案为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．‎ ‎14．若变量， 满足约束条件，则点到点的最小距离为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域如图所示：‎ 点到点的最小距离为到直线的距离为．‎ 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如.‎ ‎15．已知数列对任意的有，若,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式求解.‎ ‎【详解】‎ 令,则可知 ‎ ‎∴为等差数列，首项和公差均为2.‎ ‎∴，∴‎ 故答案为：4038‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列性质的判定，考查等差数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16．已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为_____________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎∵函数是奇函数 ‎∴函数的图象关于点对称 ‎∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点对称，则.‎ 又∵‎ ‎∴，从而 ‎∴，即 ‎∴函数的周期为2，且图象关于直线对称.‎ 画出函数的图象如图所示：‎ ‎ ‎ ‎∴结合图象可得区间内有8个零点，且所有零点之和为.‎ 故答案为4.‎ 点睛：函数零点的求解与判断：‎ ‎(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且 ‎，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知 ,,分别为三个内角,,的对边，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若且的面积为，求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据正弦定理边化角，根据三角恒等变换求出A；‎ ‎（2）根据面积求出bc=4，利用余弦定理求出a．‎ 详解：（1）由正弦定理得， ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ，即． ‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴ ∴． ‎ ‎（2）由： 可得． ‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴由余弦定理得：，‎ ‎∴.‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎18．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：‎ 日期 ‎4月1日 ‎4月7日 ‎4月15日 ‎4月21日 ‎4月30日 温差x/℃‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数y/颗 ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎（1）从这5天中任选2天,记发芽的种子数分别为,求事件“均不小于25”的概率；‎ ‎（2） 若由线性回归方程得到的估计数据与月份所选5天的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的. 请根据4月7日，4月15日与4月21日这三天的数据，求出关于的线性回归方程，并判定所得的线性回归方程是否可靠？‎ ‎ 参考公式: ， ‎ 参考数据: ‎ ‎【答案】(1) (2) 所得到的线性回归方程是可靠的 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）用列举法列出所有的基本事件，分析可得“m，n均不小于25”的情况个数，用古典概型公式，计算即可得答案；（2）根据所给的数据，先做出，的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，再根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，则根据求得的结果和所给的数据进行比较，即可得到所求的方程是可靠的．‎ 试题解析：(1)所有的基本事件为(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个． ‎ 设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为 ‎(25，30)，(25，26)，(30，26)，共3个，故由古典概型概率公式得P(A)＝. ‎ ‎(2) 由题意得 且.‎ ‎∴ ，‎ ‎∴关于的线性回归方程， ‎ 且 当时， ；‎ 当时， ；‎ 当时， ；‎ 当时， ；‎ 当时， .‎ ‎∴所得到的线性回归方程是可靠的. ‎ 点睛：求线性回归直线方程的步骤 ‎(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；‎ ‎(2)求系数：公式有两种形式， ，根据题目具体情况灵活选用；‎ ‎(3)求： ；‎ ‎(4)写出回归直线方程．‎ ‎19．如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，交于点,是的中点，为上一动点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是的中点，，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明平面，再证明；（2）利用等体积法可以求出点P到平面FGD的距离.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵平面，平面，∴，‎ ‎∵四边形是正方形，∴，‎ ‎∵，平面，平面，‎ ‎∴平面 ‎∵平面，∴ ；‎ ‎（2）连接，‎ 由（1）知平面，所以是三棱锥的高，‎ 且，‎ 又，‎ ‎，‎ 在中，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 记点到平面的距离为，由得，‎ 解得，‎ 所以点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间垂直位置关系的证明，考查空间点到面的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20．已知抛物线的焦点为，点满足.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点的直线交抛物线于两点，当时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据点在抛物线上及，即可求得得值，从而可求出抛物线的方程；（2）易知直线斜率必存在，设，，，由，可得，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，即可求出，从而可求出直线的方程.‎ 试题解析：（1）由条件易知在抛物线上，， ‎ 故，即抛物线的方程为； ‎ ‎（2）易知直线斜率必存在，设，，， ‎ ‎①， ‎ 联立得即， ‎ 由得，且②， ③， ‎ 由①②③得，即直线. ‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，在为增函数，在为减函数；当时,在为增函数，在为减函数；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求出函数的导数，对分类讨论，根据导数的正负即可得出函数的单调性；（2）法一：对任意，都有恒成立等价于在上恒成立， 即在上恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，即可求得，从而可得实数的取值范围；法二：要使恒成立，只需，对进行和分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求出，即可实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）由题知： , ‎ 当时,在时恒成立 ‎∴在上是增函数. ‎ 当时, ,‎ 令，得 ；令,得 .‎ ‎∴在上为增函数，在上为减函数. ‎ ‎（2）法一：由题知： 在上恒成立， 即在上恒成立. ‎ 令，所以 ‎ 令得；令得. ‎ ‎ ∴在上单调递增，在上单调递减. ‎ ‎∴ , ‎ ‎∴. ‎ 法二：要使恒成立，只需, ‎ 当时，在上单调递增.‎ ‎∴,即，这与矛盾，此时不成立. ‎ 当时,‎ ‎（i）若即时，在上单调递增，‎ ‎∴，即，这与矛盾，此时不成立.‎ ‎（ii）若即时，在上单调递增，在上单调递减 .‎ ‎∴即，解得.‎ 又∵‎ ‎∴ , ‎ ‎（iii） 即时，在 递减，则,‎ ‎∴ ‎ 又∵‎ ‎∴； ‎ 综上所述可得： . ‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;‎ ‎（3）若恒成立，可构造新函数，转化为.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点 ，直线和曲线交于两点，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用三角恒等式消参得到曲线C的普通方程，利用极坐标公式得到直线l的直角坐标方程；（2）先证明点P在直线l上，再利用直线参数方程t的几何意义解答.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 所以曲线C的普通方程为.‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题得点在直线l上，直线l的参数方程为，‎ 代入椭圆的方程得，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎