2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题1 第1讲 集合与简易逻辑
专题复习检测
A卷
1．(2018年新课标Ⅱ)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( )
A．{3} B．{5}
C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}
【答案】C
【解析】A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}．故选C．
2．(2019年辽宁辽阳模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{x|－7＜2＋3x＜5}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{x|0＜x＜1} B．{x|x≤0或x≥1}
C．{x|x≤－3} D．{x|x＞－3}
【答案】C
【解析】由y＝lg x，可得x>0，故A＝{x|x>0}．由－7＜2＋3x＜5，解得－3
0}∪{x|－3－3}．所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故选C．
3．(2019年山东烟台模拟)设a，b均为不等于1的正实数，则“a>b>1”是“logb2>loga2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当a>b>1时，易得logb2>loga2，充分性成立．当logb2>loga2时，a>b>1不一定成立，如a＝，b＝2时，显然logb2>loga2成立，而a>b>1不成立，故必要性不成立．所以“a>b>1”是“logb2>loga2”的充分不必要条件．故选A．
4．(2019年上海)已知集合A＝(－∞，3)，B＝(2，＋∞)，则A∩B＝________.
【答案】(2,3)
【解析】根据交集的概念，可得A∩B＝(2,3)．
5．已知集合M＝{x|x2－5x≤0}，N＝{x|p1，
则集合B＝.
所以(∁RA)∩B.
(2)设f(x)＝(1－m2)x2＋2mx－1.
若集合B∩Z为单元素集，则满足f(x)<0的整数有且只有一个．
当1－m2＝0时，B＝{x|2x－1<0}或B＝{x|－2x－1<0}，都不满足题意．
又易得f(0)＝－1<0，所以
解得m＝0，则实数m的取值范围为{0}．
B卷
8．设全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤2x}，B＝{(x，y)|x2＋y2≤4x}，给出以下命题：①A∩B＝A，②A∪B＝B，③A∩(∁UB)＝∅，④B∩(∁UA)＝U，其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】集合A表示的是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部的点构成的集合，集合B表示的是以(2,0)为圆心，2为半径的圆及其内部的点构成的集合，易知AB，可知①②③正确，④错误．故选C．
9．已知p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点；q：函数g(x)＝x2－a在(0，＋∞)内是减函数．若p∧(¬q)为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(1,2] D．(－∞，1]
【答案】C
【解析】由题意可得对p，当a＝0或Δ＝1＋8a＝0时，f(x)在(0,1)内都没有零点，令f(0)f(1)<0，即－1·(2a－2)<0，得a>1；对q，令2－a<0，即a>2，则¬q对应的a的取值范围是a≤2.∵p∧(¬q)为真命题，∴实数a的取值范围是(1,2]．
10．(2019年北京)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】|＋|>||⇔|＋|>|－|⇔|＋|2>|－|2⇔·>0⇔cos A>0.又点A，B，C不共线，故cos A>0⇔与的夹角为锐角，即|＋|>||⇔与的夹角为锐角，所以“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充要条件．故选C．
11．(2019年江苏南通模拟)已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，4x>3x；q：∃θ∈R，cos θ－sin θ＝.则在命题：①p∨q，②p∧q，③(¬p)∨q，④p∧(¬q)中，是真命题的是________(填序号)．
【答案】①④【解析】由指数函数的图象可得当x∈(0，＋∞)时，4x>3x恒成立，故p是真命题．由于cos θ－sin θ＝cos∈[－，]，故q是假命题．所以①④是真命题，②③是假命题．
12．设集合M＝{x|－a＜x＜a＋1，a∈R}，集合N＝{x|x2－2x－3≤0}．
(1)当a＝1时，求M∪N及N∩∁RM；
(2)若M≠∅且x∈M是x∈N的充分条件，求实数a的取值范围．
【解析】(1)N＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}．
当a＝1时，M＝{x|－a＜x＜a＋1，a∈R}＝{x|－1＜x＜2}，
∴M∪N＝{x|－1≤x≤3}∪{x|－1＜x＜2}＝{x|－1≤x≤3}，N∩∁RM＝{x|x＝－1或2≤x≤3}．
(2)若M≠∅，则－a－.
若x∈M是x∈N的充分条件，则M⊆N.
N＝{x|－1≤x≤3}，M＝{x|－a＜x＜a＋1，a∈R}，
要使M⊆N，则即
∴－＜a≤1.
