广东省华南师范大学附属中学2018届高三上学期第一次月考数学（理）试题

广东省华南师范大学附属中学2018届高三上学期第一次月考数学（理）试题

华南师大附中2018届高三综合测试（一）‎ 数学（理科）‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试勇士120分钟．‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号等填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号．‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．‎ ‎3．回答第Ⅱ卷时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答卷上．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）已知，，则（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）设，且，则是的（ ）‎ ‎（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件 ‎（C）既不充分也不必要条件 （D）充要条件 ‎（3）函数与在同一直角坐标系下的图像大致是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）设命题，使得，则为（ ）‎ ‎（A），使得 （B），使得 ‎（C），使得 （D），使得 ‎（5）把的图像向左平移个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）设，，，则（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（7）函数在定义域内的零点的个数为（ ）‎ ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）3‎ ‎（8）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）给出下列命题：‎ ‎①正切函数图象的对称中心是唯一的；‎ ‎②若函数的图像关于直线对称，则这样的函数是不唯一的；‎ ‎③若，是第一象限角，且，则；‎ ‎④若是定义在上的奇函数，它的最小正周期是，则．‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎（10）函数是定义域为的非常值函数，且对任意，有，，则是（ ）‎ ‎（A）奇函数但非偶函数 （B）偶函数但非奇函数 ‎（C）奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 ‎（11）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为．若函数，且，，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）已知定义在上的偶函数的导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎（13）__________．‎ ‎（14）已知函数，则这个函数在点处的切线方程是__________．‎ ‎（15）由，，，四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________．‎ ‎（16）已知函数在区间上至少有一个极值点，则的取值范围为__________．‎ 三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．‎ ‎（17）（本小题满分12分）已知函数，．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和最小值；‎ ‎（2）在中，，，的对边分别为，，，已知，，，求，的值．‎ ‎（18）（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）求在区间上的最小值．‎ ‎（19）（本小题满分12分）如图，在矩形中，，，平面，且，、、分别为，，中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎（20）（本小题满分12分）已知抛物线上一点到焦点的距离．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过的直线与相交于，两点，的垂直平分线与相交于，两点，若，求直线的方程．‎ ‎（21）（本小题满分12分）设函数．‎ ‎（1）若是函数的极值点，1和是函数的两个不同零点，且，，求；‎ ‎（2）若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请将相应号框涂黑．‎ ‎（22）（本小题满分10分）在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线交的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长．‎ ‎（23）（本小题满分10分）已知函数，且不等式的解集为，，．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）对任意实数，都有成立，求实数的最大值．‎ 数学（理科）参考答案 一、选择题：CCDA BCCB BBCC 二、填空题：（13）2 （14） （15） （16）‎ 三、解答题 ‎（17）解：（1）‎ 所以函数的最小正周期是，最小值为．‎ ‎（2）因为，所以，又 ‎，所以，，‎ 因为，由正弦定理得，‎ 由余弦定理得，‎ 又，所以，．‎ ‎（18）解：（1）．‎ 令，得．‎ 与的变化情况如下表：‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎＋‎ 所以的单调递减区间是，单调递增区间是．‎ ‎（2）当，即时，函数在上单调递增，所以在区间 上的最小值为；‎ 当，即时，‎ 由（1）知在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以在区间上的最小值为；‎ 当，即时，函数在上单调递减，‎ 所以在区间上的最小值为．‎ ‎（19）解：（1）以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．‎ 则，，，，，，‎ 又是中点，∴，，‎ ‎∴，∴，‎ 又平面，平面，∴平面，‎ 又是中点，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴平面，‎ ‎∵，，平面，∴平面平面．‎ ‎（2）设平面的法向量，则，‎ 由（1）知，，‎ ‎∴，取，得，‎ 同样求平面的一个法向量，‎ ‎，，‎ ‎∴二面角的余弦值为．‎ ‎（20）解：（1）由抛物线的定义，得，又，‎ ‎∴，即，∴．‎ ‎∵在抛物线上，‎ ‎∴，解得（舍去）或．‎ 故的方程为．‎ ‎（2）由题意可知，直线的斜率存在，且不等于0，故可设的方程为，由消去并整理，得．‎ 其判别式 设，，则 ‎∴．‎ ‎∴的中点的坐标为，．‎ 又的斜率为，其方程为即 由消去并整理，得，‎ 其判别式 设，，则，‎ ‎∴．‎ ‎∴的中点的坐标为 ‎∵，∴即，∴．‎ 又，∴，‎ 即 化简，得解得．‎ 故所求直线的方程为，即或．‎ 解法二：由得：，‎ ‎．‎ ‎，，，．‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 由对称性有，所以也有．‎ 即，是方程的两根，所以 ‎，又因为，∴，解得：．‎ 故所求直线的方程为，即或．‎ ‎（21）解：（1），∵是函数的极值点，∴．∵1是函数的零点，得，‎ 由解得，．‎ ‎∴，，‎ 令，，得；‎ 令得，‎ 所以在上单调递减；在上单调递增．‎ 故函数至多有两个零点，其中，，‎ 因为，‎ ‎，所以，故．‎ ‎（2）令，，则为关于的一次函数且为增函数，根据题意，对任意，都存在，使得成立，则在上有解，‎ 令，只需存在使得即可，‎ 由于，‎ 令，，，‎ ‎∴在上单调递增，，‎ ‎①当，即时，，即，在上单调递增，∴，不符合题意．‎ ‎②当，即时，，‎ 若，则，所以在上恒成立，即恒成立，∴在上单调递减．‎ ‎∴存在，使得，符合题意．‎ 若，则，∴在上一定存在实数，使得，‎ ‎∴在上恒成立，即恒成立，在上单调递减，∴存在，使得，符合题意．‎ 综上所述，当时，对任意，都存在，使得成立。‎ ‎（22）解：（1）因为，消参得：，把，代入得，所以圆的极坐标方程为；‎ ‎（2）射线的极坐标方程是，‎ 设点，则有，解得，‎ 设点，则有，解得，‎ 由于，所以，所以线段的长为2．‎ ‎（23）解析：（1）若，原不等式可化为，解得，即；‎ 若，原不等式可化为，解得，即；‎ 若，原不等式可化为，解得，即；‎ 综上所述，不等式的解集为，所以，．‎ ‎（2）由（1）知，，所以．‎ 故，，所以，即实数的最大值为2．‎ ‎ ‎