2018-2019学年江西省赣州市南康中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年江西省赣州市南康中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省赣州市南康中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．Φ ‎【答案】B ‎【解析】由，由交集的定义，即可得到所求集合．‎ ‎【详解】‎ 解：集合，‎ 由，‎ 可得则，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集的求法，注意运用对数函数的性质，考查定义法解题，属于基础题．‎ ‎2．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接由有理指数幂的运算性质求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了有理指数幂的化简求值，属于基础题．‎ ‎3．已知函数，，则的值为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】当时，，当时， ，由此能求出的值．‎ ‎【详解】‎ 解：函数，‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得，不成立．‎ 综上，的值为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．‎ ‎4．设是函数的零点，且，则的值为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数是单调递增函数，，故，所以，故选B.‎ ‎5．若函数（且）的图象与函数的图象关于直线对称，且，则（ ）‎ A．2 B． C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】 因为函数（ 且）的图象关于对称，‎ 所以函数与互为反函数，故.‎ 又，则，‎ 所以，故选B.‎ ‎6．函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，，当时，，当时，，函数的值域是，选B.‎ ‎7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知函数定义域，可得，求解分式不等式得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数的定义域为， ∴由，得，则． ∴函数的定义域为． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．‎ ‎8．下列函数 ：①；②；③；④为奇函数的有（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，依次分析四个所给函数的奇偶性，综合即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，依次分析个函数：‎ 对于①，，其定义域为，不关于原点对称，不是奇函数；‎ 对于②，，有，解可得，即函数的定义域为，‎ 则，即函数为奇函数，‎ 对于③，，其定义域为R，‎ ‎，有，‎ 即，即函数为奇函数；‎ 对于④，若为无理数，则也为无理数，则，‎ 同理当为有理数时，也有，‎ 即函数为偶函数；‎ 则②③为奇函数；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性的判断，注意先分析函数的定义域．‎ ‎9．下列三个数的大小顺序是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用对数运算性质可得：，，．根据．即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：，，．‎ ‎．‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 ‎10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）‎ A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，‎ ‎∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；‎ 对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，‎ ‎∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；‎ 对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，‎ 即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；‎ 对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，‎ ‎∴用丙车比用乙车更省油，故D正确 故选D．‎ ‎【考点】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.‎ ‎11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:， ，已知函数，则函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用分离常数法可得,求得的值域, 由表示不超过的最大整数,即可求得函数的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，由于 ‎ ‎ ‎ 的值域为:‎ ‎ 根据表示不超过的最大整数 ‎ 函数的值域是.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查新定义函数的理解和运用,考查分离常数法求函数的值域,考查化归与转化的数学思想方法.解题关键是在解答时要先充分理解的含义.‎ ‎12．已知函数，若关于的方程有7个不同实数解则（ ）‎ A．且 B．且 C．且 D．且 ‎【答案】A ‎【解析】作出函数的图象，令，由图象可知 有4个不等实根，时，有3个不相等的实数根，时无实根.题中原方程有且只有7个不等实根，即 有两个实根，一根为0，另一根大于零，则，所以选A.‎ ‎【点睛】涉及较复杂复合型的方程的根的个数问题解决方法是换元法，令，先画出函数的图象，根据根的个数判断原方程的根应该有几个，每个根应在哪个区间？问题转化为一元二次方程的根的分布问题，利用一元二次方程的根的分布列不等式，求出参数的取值范围.‎ 二、填空题 ‎13．已知幂函数过点，则函数的单调递增区间为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用待定系数法求出幂函数的表达式，然后利用幂函数的性质确定函数的单调性．‎ ‎【详解】‎ 解：设幂函数为，因为幂函数的图象过点，‎ 所以，解得，‎ 所以，‎ 所以幂函数的单调递增区间为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数的解析式的求法和幂函数的性质，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键．‎ ‎14．已知是定义在上的偶函数，当时，则时，_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，设，则，由函数的解析式可得的表达式，结合函数的奇偶性可得的解析式，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，设，则，‎ ‎，‎ 又由函数为偶函数，则，‎ 则；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的性质与应用，涉及函数解析式的求法，属于基础题．‎ ‎15．已知，设函数的最大值为，最小值为，则的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，因为是上的增函数，所以是上的增函数．函数在上的最大值是，最小值是．所以函数的最大值与最小值之和，由此能求出的值．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎，‎ 设，‎ 则，‎ 即有，‎ 因为是上的增函数，所以是上的增函数．‎ 函数在上的最小值是，最大值是．‎ 所以函数的最大值与最小值之和 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数在闭区间上函数的最值，解题时要认真审题，注意函数性质的综合运用，属于中档题.‎ ‎16．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教材第82页第8题的函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：‎ ‎①同学甲发现：函数的定义域为；‎ ‎②同学乙发现：函数是偶函数；‎ ‎③同学丙发现：对于任意的都有；‎ ‎④同学丁发现：对于任意的，都有；‎ ‎⑤同学戊发现：对于函数定义域中任意的两个不同实数，总满足.‎ 其中所有正确研究成果的序号是__________．‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】①，故①正确；② ，奇函数，故②错误；③对于任意的，，故③正确；④对于任意的，有，而 ‎，故④正确；⑤对于函数定义域 中任意的两个不同实数，总满足，即说明是 增函数，但是减函数，故⑤错误，综上①③④‎ 正确，故答案为①③④.‎ ‎【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的定义域、单调性、函数的奇偶性以及对数式的运算，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ 三、解答题 ‎17．计算：（1）；‎ ‎（2）已知，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）1.‎ ‎【解析】（1）直接利用有理指数幂的运算性质求解；‎ ‎（2）直接利用对数的运算性质求解．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎；‎ ‎（2）由，得，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，是基础题．‎ ‎18．已知三个集合：，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）已知求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）解方程求出集合，计算；‎ ‎（2）根据，且，求出集合的元素特征，求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ ‎，，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ ‎；‎ 又，‎ ‎；‎ 解得或，‎ 当时满足条件，‎ 当时不满足条件，舍去；‎ 所以实数的取值是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的定义与运算问题，属于基础题题．‎ ‎19．已知函数 ‎ ‎（1）判断函数的奇偶性和单调性；‎ ‎（2）当时，有，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）先确定函数的定义域，再由与的关系，即可判断出奇偶性；再由指数函数的单调性即可判断出函数的单调性；‎ ‎（2）由（1）中函数的奇偶性可得 ，再由函数的单调性，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)函数的定义域为 ,所以为奇函数， ‎ 当时，单调递减，所以单调递增; ‎ 当时，单调递增，所以单调递增，‎ 综上所述函数增函数.‎ ‎(2)因为所以即,‎ 由(1)得为奇函数且是R上的增函数所以由得 ，‎ 即 ，‎ 解得综上得 ‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的基本性质，判断函数的单调性只需借助基本初等函数的单调性即可，判断函数的奇偶性，需要结合定义处理，利用函数基本性质解不等式，也是常考内容，属于基础题型.‎ ‎20．已知，函数．‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）求函数的最大值及此时的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）时，函数有最大值．‎ ‎【解析】（1）由已知的定义域及复合函数的定义域的求解可知，，解不等式可求 ‎（2）由已知可求，结合二次函数的性质可求函数的最值及相应的x．‎ ‎【详解】‎ 解：（1），．‎ 由题意可得，，‎ 解可得，‎ 即函数的定义域；‎ ‎（2），‎ 设，则，‎ 而在单调递增，‎ 当，即时，函数有最大值．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数的定义域是容易出错点．‎ ‎21．某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：‎ 时间 ‎ 第4天 ‎ 第32天 ‎ 第60天 ‎ 第90天 ‎ 价格（千元） ‎ ‎23 ‎ ‎30 ‎ ‎22 ‎ ‎7 ‎ ‎（1）写出价格关于时间的函数关系式；（表示投放市场的第天）；‎ ‎（2）销售量与时间的函数关系：，则该产品投放市场第几天销售额最高？最高为多少千元？‎ ‎【答案】（1）；（2）第天和第天，最高销售额为（千元）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）直线上升或直线下降都是直线方程，利用直线方程两点式求出两段函数的解析式；（2）价格乘以销售量等于销售额，销售额是二次函数，利用二次函数的对称轴求出最大值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意，设 同样设 ‎(2)‎ 设该产品的日销售额为 此时当 此时 综上，销售额最高在第10天和第11天，最高销售额为808.5（千元）‎ ‎【考点】函数应用问题.‎ ‎【方法点晴】对函数应用问题的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现.对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数.应用问题首要问题是阅读问题，将实际问题转化为函数问题来求最优解.‎ ‎22．设二次函数满足下列条件：当时，的最小值为0，且成立；当时，恒成立.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若对，不等式恒成立、求实数的取值范围；‎ ‎（3）求最大的实数，使得存在实数，只要当时，就有成立.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）9.‎ ‎【解析】（1）由知函数图象的对称轴是，最小值为0，因此顶点为，这样函数解析式可写为，在不等式令得，从而有，由此可求得；‎ ‎（2）不等式化为，当时，应有，当，应有．由此可得的取值范围；‎ ‎（3）由，即的图象与直线切于点，因此把的图象向右平移，就有一部分满足，由此可找到的最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意，函数的顶点坐标为，‎ 解析式可设为，‎ 又，∴，∴，∴，‎ 经检验，当时，恒成立，‎ ‎∴函数解析式为.‎ ‎（2）不等式变形为：，‎ 令，对称轴为，‎ 当即时，在上单调增，∴，解得，∴.‎ 当时，，解得，‎ ‎∴.‎ 综上所述.‎ ‎（本小问也可用分离参数的方法来求）‎ ‎（3）当时，与相切于点，向右平移的过程中，‎ 令与相交于两点和（在左），‎ 由图可知，当点与重合时，点的横坐标即为的最大值.‎ 此时，得或-4，∴.‎ 消去得：，解得或9，‎ ‎∴的最大值为9.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求二次函数的解析式，考查二次函数的图象与性质．图象变换解题是本题得以解决的得力工具．‎