陕西省西安市长安区第一中学2018-2019学年高二下学期寒假学情检测数学试题（理科实验班）

陕西省西安市长安区第一中学2018-2019学年高二下学期寒假学情检测数学试题（理科实验班）

长安一中2017级高二寒假学情检测数学试卷 ‎（理科实验）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知i为虚数单位，若复数z满足（1﹣i）z=1+i，则|z|=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎2．cos10°sin70°﹣cos80°sin20°=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎3．函数y=f（x）为可导函数，“方程 =0有解”是“可导函数有极值”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知向量，且，则（ ）‎ ‎（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8‎ ‎6．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）‎ A．8π B．12π C．20π D．24π ‎7．已知x、y满足 ，则4x﹣y的最小值为（　　）‎ A．4 B．‎6 ‎ C．12 D．16‎ ‎8. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎9．设，则展开式的常数项为（　　）‎ A．﹣20 B．‎20 ‎ C．﹣160 D．240‎ ‎10、函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A．2 B． ‎4 C． 6 D．8‎ ‎11．设A、B、P是双曲线（a＞0，b＞0）上不同的三个点，且A、B连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率之积为，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．定义在R上的函数f（x），是其导函数，且满足f（x）+＞2，f（1）=2+，则不等式ex f（x）＞4+2ex的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）=2x，则f（log4）的值为　 　．‎ ‎14. __________．‎ ‎15．过点H（1，﹣1）作抛物线Γ：x2=4y的两条切线HA、HB，切点分别为A，B，则以线段AB为直径的圆方程为　 　．‎ ‎16．在Rt△ABC中，A=，AB=2，AC=2，线段EF在斜边BC上运动，且EF=1，设∠EAF=θ，则tanθ的取值范围是　 　．‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在△中，已知a、b、分别是三内角、、所对应的边长,且 ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，试判断△ABC的形状并求角的大小.‎ ‎18．（12分）在多面体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCE，四边形ABED为平行四边形，AB=AC=BC=2，CE=1，BE=，O为AC的中点．‎ ‎（1）求证：BO⊥AE；‎ ‎（2）求平面ABC与平面ACD所成锐二面角的大小．‎ ‎19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如表：‎ 年龄（岁）‎ ‎[15，25）‎ ‎[25，35）‎ ‎[35，45）‎ ‎[45，55）‎ ‎[55，65）‎ ‎[65，75]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）若从年龄在[55，65），的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中赞成“车辆限行”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎20．已知椭圆C： （a＞b＞0），其焦距为2，点P（1，）在椭圆C上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=mx+t（m∈R），使得•=0成立？若存在，求出实数t的取值范围，若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数g（x）=lnx，f（x）=ag（x）+﹣2（a+1），（a∈R）．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）将函数f（x）解析式中的g（x）改为g（x）的反函数得函数h（x），若x＞0时，‎ h（x）≥0．求a的取值范围．‎ ‎22．选修题（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=，曲线C的参数方程为（θ为参数）．‎ ‎（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；‎ ‎（2）曲线C交x轴于A、B两点，且点A的横坐标小于点B的横坐标，P为直线l上的动点，求 ‎△PAB周长的最小值．‎ ‎　‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．A ‎【解析】由（1﹣i）z=1+i，‎ 得=，‎ 则|z|=1．‎ 故选：A．‎ ‎2．B ‎【解析】cos10°sin70°﹣cos80°sin20°=sin80°cos20°﹣cos80°sin20°‎ ‎=sin（80°﹣20°）‎ ‎=sin60°‎ ‎=．‎ 故选：B．‎ ‎3．B ‎【解析】“函数y=f（x）有极值”⇒“方程f′（x）=0有解”，反之不成立．‎ ‎∴“方程f′（x）=0有解”是“函数y=f（x）有极值”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎4．A ‎【解析】甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，‎ 不同的送法有四种：甲送丙，乙送丙；甲送丙，乙送丁；甲送丁，乙送丙；甲送丁，乙送丁．‎ 甲、乙将贺年卡送给同一人的送法有两种：甲送丙，乙送丙；甲送丁，乙 送丁．‎ ‎∴甲、乙将贺年卡送给同一人的概率p=．‎ 故选A．‎ ‎5．C ‎【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，‎ ‎∴根据图形可得： =+=，‎ ‎==，‎ ‎∴=，‎ ‎∵=•（）=2﹣，‎ ‎2=2 2，‎ ‎=22，‎ ‎||=6，||=4，‎ ‎∴=22=12﹣3=9‎ 故选：C ‎6．C ‎【解析】∵三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为的球O表面上，且AB=，AC=，BC=2，‎ ‎∴OA=OB=OC=AB=AC=，‎ ‎∴OC2+OB2=BC2，AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=∠BOC=90°，‎ 取BC中点D，连结AD，OD，则AD⊥BC，OD⊥BC，‎ AD=OD===1，∴AD2+OD2=AO2，‎ ‎∴OD⊥AD，∵BC∩AD=D，∴OD⊥平面ABC，‎ ‎∴三棱锥O﹣ABC的体积为：‎ VO﹣ABC==‎ ‎=．‎ 故选：C．‎ ‎7．B ‎8.B ‎9．D ‎【解析】令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x﹣）5‎ 故其常数项为﹣22×C53+‎23C52=40．‎ 故选：D．‎ ‎10.D ‎11．A ‎【解析】根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，‎ 设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y），‎ 则，‎ ‎∴kPA•kPB==﹣=﹣，‎ ‎∴该双曲线的离心率e==．‎ 故选：A．‎ ‎12．B ‎【解析】令g（x）=exf（x）﹣2ex﹣4，g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣2ex ‎=ex[f（x）+f′（x）﹣2]；‎ ‎∵f（x）+f′（x）＞2；‎ ‎∴g′（x）＞0；‎ ‎∴g（x）在R上单调递增；‎ ‎；‎ ‎∴；‎ ‎∴x＞1时，g（x）＞0；‎ ‎∴原不等式的解集为（1，+∞）．‎ 故选B．‎ 二、填空题 ‎13． 3‎ ‎【解析】∵f（x）是R上的偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）=f（x），‎ ‎∵当x＞0时，f（x）=2x，‎ ‎∴f（log4）=f（log49）=f（log23）=3，‎ 故答案为3．‎ ‎14. ‎ ‎15．　‎ ‎【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∵抛物线x2=4y，∴y′=x，‎ ‎∴过点A的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），即x1x﹣2y﹣2y1=0．‎ H（1，﹣1）代入可得x1﹣2y1+2=0，‎ 同理x2﹣2y2+2=0，‎ ‎∴A（x1，y1），B（x2，y2）都满足方程x﹣2y+2=0，即为直线AB的方程，‎ 与抛物线Γ：x2=4y联立，可得x2﹣2x﹣4=0，∴AB的中点坐标为（1，），‎ ‎|AB|==5‎ ‎∴以线段AB为直径的圆方程为，‎ 故答案为．‎ ‎16． [，]　‎ ‎【解析】如图建立直角坐标系，设BF=k，k∈[0，3]．‎ ‎∴∠B=60°，∴F（2﹣，），E（，）．‎ ‎∴tan∠EAB=，tan∠FAB=，．‎ tanθ=tan（∠EAB﹣∠FAB）=；‎ ‎∵k∈[0，3]．∴，tanθ的取值范围是[]‎ 故答案为[]．‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：‎ ‎，………………………………………………………2分 又∵ ………………………………………………………5分 ‎ ∵ ∴ …………6分 ‎（Ⅱ）∵，由正弦定理得…………8分 即: 故△ABC是以角C为直角的直角三角形……………10分 又…………………………………………………………12分 ‎18．证明：（1）∵AB=AC=BC=2，‎ 又O为AC中点，∴BO⊥AC 又，∴BC2+CE2=BE2，∴BC⊥CE 又∵平面ABC⊥平面BCE，且平面ABC∩平面BCE=BC，∴CE⊥平面ABC ‎∴CE⊥BO，又CE∩AC=C，∴BO⊥平面ACE ‎∵AE⊂平面ACE，∴BO⊥AE．‎ ‎（2）以C为原点，CB为x轴，CE为y轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则 ‎∵‎ 由（1）知，是平面ABC的平面角，‎ 设平面ACD的法向量为 =（x，y，z），‎ ‎，‎ ‎∴，取x=1，得 设平面ABC与平面ACD所成锐二面角为θ，‎ 则 ‎∴，∴平面ABC与平面ACD所成锐二面角的大小为．‎ ‎19．解：（Ⅰ）由已知得各组的频率分别是：‎ ‎0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，‎ ‎∴图中各组的纵坐标分别是：‎ ‎0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，‎ 由此能作出被调查人员的频率分布直方图，如右图：‎ ‎（Ⅱ）由表知年龄在[55，65）内的有5人，‎ 不赞成的有2人，因此X=0，1，2．‎ 则P（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=0）=．‎ 可得X的分布列：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E（X）=0+=．‎ ‎20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，且过点，‎ ‎∴‎ 设△PF‎1F2内切圆的半径为r，点P的坐标为（x0，y0），‎ 则△PF‎1F2重心G的坐标为，‎ ‎∵IG∥F‎1F2，∴|y0|=3r．‎ 由△PF‎1F2面积可得）r=，‎ 即a=‎2c，，‎ 则解得，‎ 即所求的椭圆方程为则椭圆方程为 ‎（2）设M（x1，y1），A（x2，y2），B（x3，y3）则切线MA，MB的方程分别为，．‎ ‎∵点M在两条切线上，‎ ‎∴，，‎ 故直线AB的方程为．‎ 又∵点M为直线x﹣y=4上，‎ ‎∴y1=x1﹣4‎ 即直线AB的方程可化为，整理得（3x+4y）x1=16y+12，‎ 由解得，‎ 因此，直线AB过定点．‎ ‎21．解：（1）∵g（x）=lnx，‎ ‎∴f（x）=ag（x）+﹣2（a+1）=alnx+﹣2（a+1），（a∈R）；‎ ‎∴f（x）定义域为（0，+∞），‎ 且；‎ ‎①当﹣1≤a≤0时，f'（x）＜0，即f（x）的单调减区间为（0，+∞）；‎ ‎②当a＞0时，f（x）的单调增区间为，‎ 单调减区间为；‎ ‎③当a＜﹣1时，f（x）的单调增区间为，‎ 单调减区间为；‎ ‎（2）由题意得，‎ ‎∵x＞0时，h（x）≥0，∴h（1）≥0，‎ 则a（e﹣1）≥1，即；‎ 则由，得，‎ 即，x∈（0，+∞）；‎ 设，‎ 则；‎ 令u'（x）=0，解得x=1或x=﹣∉（0，+∞）舍去；‎ u'（x）＜0时，x∈（0，1）；u′（x）＞0 时，x∈（1，+∞）；‎ ‎∴[u（x）]min=u（1）=，‎ ‎∴≥，解得a≥；‎ 故a的取值范围是[，+∞）．‎ 四、选修题 ‎22．解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=，‎ ‎∴由直线l的极坐标方程，得= ，‎ 即ρcosθ﹣ρsinθ=1，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x﹣y=1，即x﹣y﹣1=0，‎ ‎∵曲线C的参数方程为（θ为参数），‎ ‎∴由曲线C的参数方程得C的普通方程为：（x﹣5）2+y2=1．‎ ‎（2）由（1）知曲线C表示圆心（5，0），半径r=1的圆，‎ 令y=0，得x=4或x=6．‎ ‎∴A点坐标为（4，0），B点坐标为（6，0）．‎ 作A关于直线l的对称点A1得A1（1，3）．‎ 由题设知当P为A1B与l的交点时，△PAB的周长最小，‎ ‎∴△PAB周长的最小值为：|AP|+|PB|+|AB|=|A1B|+|AB|=．‎