数学理卷·2019届安徽省六安市第一中学高二下学期开学考试（2018-02）

数学理卷·2019届安徽省六安市第一中学高二下学期开学考试（2018-02）

六安一中2017～2018年度高二年级第二学期开学考试 数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知直线的方向向量，直线的方向向量，若，且，则的值是（ ）‎ A．-1或3 B．1或-3 C．-3 D．1‎ ‎2.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎3.如图，在四面体中，是底面的重心，则等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4.设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知直线：和直线：，抛物线上一个动点到直线与的距离之和的最小值为（ ）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎6.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个交点，则的形状是（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随，的变化而变化 ‎7.已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交于，两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.如图所示，在直二面角中，四边形是边长为的正方形，是等腰直角三角形，其中，则点到平面的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知椭圆：，动圆与椭圆相交于，，，四点，当四边形的面积取得最大值时，的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为（ ）‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若，分别是椭圆：短轴上的两个顶点，点是椭圆上异于，的任意一点，若直线与直线的斜率之积为，则 ．‎ ‎14.已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于、两点，若，则的离心率为 ．‎ ‎15.正方体中，棱长为，则直线与的距离为 ．‎ ‎16.已知是椭圆上的点，，分别是圆和上的点，则的最小值是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知双曲线过点和点.‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）若点在双曲线上，，为双曲线的左、右焦点，且，求 的余弦值.‎ ‎18.如图，三棱柱中，，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.已知动圆恒过点，且与直线：相切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）探究在曲线上，是否存在异于原点的两点，，当时，直线恒过定点？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎20.设，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为.‎ ‎（1）若直线的斜率为，求的离心率；‎ ‎（2）若直线在轴上的截距为，且，求，.‎ ‎21.如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎22.设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围.‎ 六安一中2017～2018年度高二年级第二学期开学考试 数学试卷（理科）‎ 一、选择题 ‎1-5: BAACD 6-10: BADBC 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 2 14. 15. 16. 7‎ 三、解答题 ‎17.（1）.‎ ‎（2）因为点在双曲线上，且，所以点在双曲线的右支上，‎ 则有，故，，‎ 又，因此在中，‎ ‎.‎ ‎18.【解析】‎ 证明：（1）取的中点，连结，，.‎ 因为，所以.‎ 由于，，故为等边三角形，所以.‎ 因为，所以平面.‎ 又平面，故.‎ ‎（2）解：由（1）知，.‎ 又平面平面，交线为，所以平面，故，，两两相互垂直.以为坐标原点，的方程为轴的正方向，‎ 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由题设知，，，.‎ 则，，.‎ 设是平面的法向量，则即 可取.‎ 故.所以与平面所成角的正弦值为.‎ ‎19.【解析】‎ ‎（1）因为动圆，过点且与直线：相切，所以圆心到的距离等于到直线的距离.‎ 所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且，，‎ 所以所求的轨迹方程为.‎ ‎（2）假设存在，在上，‎ 所以直线的方程：，即.‎ 即的方程为：，即.‎ 即：，令，得，‎ 所以，无论，为何值，直线过定点.‎ ‎20.【解析】（1）由题意得：，，∵的斜率为，∴，又，解得或-2（舍），故直线的斜率为时，的离心率为.‎ ‎（2）由题意知，点在第一象限，，，∴直线的斜率为：，则：；∵在直线上，∴，‎ 得…①，∵，∴，且，‎ ‎∴，∴，又∵在椭圆上，‎ ‎∴…②，联立①、②解得：，.‎ ‎21.【解析】‎ ‎（1）∵为正方形，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴面，面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∵，平面，平面，‎ ‎∴平面，平面，‎ ‎∵面面，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴四边形为等腰梯形，‎ 以为原点，如图建立坐标系，设，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，设面法向量为，‎ ‎，即，，，，，‎ 设面法向量为，.即，‎ ‎，，，，，设二面角的大小为.‎ ‎，∴二面角的余弦值为.‎ ‎22.解：（1）圆整理为，坐标，如图，‎ ‎，则，由，则，‎ ‎∴，则，∴，‎ 根据椭圆定义为一个椭圆，方程为；‎ ‎（2）：；设：，因为，设：，‎ ‎.‎ 联立与椭圆：，，‎ 则圆心到距离，‎ 所以，‎ ‎∴.‎