广东省珠海一中等六校2013届高三第三次（12月）联考数学文试题

广东省珠海一中等六校2013届高三第三次（12月）联考数学文试题

广东2013届高三六校第三次联考 文科数学试题 命题学校： 惠州市第一中学 ‎ 六校分别为：广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中 本试题共4页，20小题，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.设全集U=，定义：，集合A，B分别用圆表示，则下 列图中阴影部分表示A—B的是 （ ）‎ A B B A B C A B D A B A ‎2. 如果复数为纯虚数,则实数a的值 ( ).‎ A. 等于1 B.等于‎2 C. 等于1或2 D.不存在 ‎3. 已知是单位向量，且夹角为60°，则等于（ ） ‎ ‎ A．1 B． C．3 D．‎ ‎4.在同一个坐标系中画出函数的部分图象，其中，则下列所给图象中可能正确的是（ ）‎ ‎5. 等差数列的前项和为，那么值的是（ ）‎ A．65 B．‎70 ‎C．130 D．260‎ ‎6．若且,则下列不等式恒成立的是（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎7.下面给出四个命题：‎ ‎①若平面//平面，是夹在间的线段，若//，则；‎ ‎②是异面直线，是异面直线，则一定是异面直线；‎ ‎③过空间任一点，可以做两条直线和已知平面垂直；‎ ‎④平面//平面，，//，则；‎ 其中正确的命题是（ ）‎ ‎ A．①④ B．①② C．①②③ D．①②④‎ ‎8.已知数列为公比是3的等比数列，前n项和，则实数为：( )‎ A．0 B．‎1 ‎ C． D．2‎ ‎9.对任意非零实数，，若的运算规则如右图的程序框图所示，则的值是( ).‎ A.0 B. C. D.9‎ ‎10. 设定义在R上的函数若关于x的方程 有5个不同实数解，则实数a的取值范围是（ ）‎ A．（0，1） B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎（一）必做题（11～13题）‎ ‎11.已知直线及与函数图像的交点分别为，则AB直线方程为 ‎ ‎12.点A（3，1）和B（-4，6）在直线的两侧，则a的取值范围是 。‎ A B C D O ‎13.有一个各棱长均为1的正四棱锥，先用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，可以折叠，那么包装纸的最小面积为 ‎ ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14. （几何证明选讲选做题）如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知∠D=46°，则∠A= ．‎ ‎15. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为（，则弦AB为 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16 。（本题满分12分）‎ 已知向量，，定义 ‎ ‎（1）求函数的表达式，并求其单调增区间； ‎ ‎（2）在锐角△ABC中，角A、B、C对边分别为、、，且，，求△ABC的面积．‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎8 2‎ ‎3 3 2 1‎ ‎8 2 1 1‎ ‎7 9 9‎ ‎3 4 8‎ ‎0 2 7 8 ‎ 甲 乙 ‎17. （本题满分12分）‎ 为调查某次考试数学的成绩，随机抽取某中学甲、乙两班各十名同学，获得成绩数据的茎叶图如图(单位：分)．‎ ‎（1）求甲班十名学生成绩的中位数和乙班十名学生成绩的平均数；‎ ‎（2）若定义成绩大于等于120分为“优秀成绩”，‎ 现从甲班，乙两班样本数据的“优秀成绩”中分别抽取一人，求被抽取的甲班学生成绩高于乙班的概率。‎ ‎18. （本题满分14分）‎ 一个多面体的三视图和直观图如下:‎ ‎(其中分别是DE,中点)‎ 正视图 侧视图 俯视图 H ‎ ‎ ‎（1）求证:平面;‎ ‎（2）求证:‎ ‎（3）求多面体的体积.‎ ‎19. （本题满分14分 ）‎ 已知椭圆的焦点在轴上，中心在原点，离心率，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切．‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）设椭圆的左、右顶点分别为、，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线、的斜率分别为、，证明为定值；‎ ‎20．（本题满分14分 ）‎ 已知成等差数列．又数列此数列的前n项的和Sn（）对所有大于1的正整数n都有．‎ ‎ （1）求数列的通项;‎ ‎ （2）若的等比中项,且Tn为{bn}的前n项和,求Tn．‎ ‎21.定义函数 ‎（1）求的极值点 ‎（1）求证：‎ ‎（2）是否存在区间[a，0]（a <0），使函数在区间[a，0]上的值域为 ‎？若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由。‎ ‎2013届高三六校第三次联考 文科数学参考答案 ‎ 第Ⅰ卷选择题（满分50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．‎ ‎1．（C） 2．（B） 3．（C） 4．（D） 5．（C） ‎ ‎6．（D） 7．（A） 8．（C） 9．(C) 10．（D)‎ ‎1.【解析】由题意可知 故选C ‎2.【解析】为纯虚数，则，解得，选B ‎3. 【解析】，，，‎ ‎4.【解析】若则单调递增周期小于，故A，C错；若 则单调递减周期大于，B错，D对。‎ ‎5.【解析】，故 ‎，，选C ‎6.【解析】由基本不等式，故C错；A错； ，故B错；，故，D对，选D。‎ ‎7.【解析】①对；②错，若，b可与两线同时异面；③错，过空间任一点，只能做一条直线和已知平面垂直；④对，选A ‎8. 【解析】设首项为，则，故 ‎9.【解析】由框图可知，，‎ ‎10.【解析】图像如图所示，设，则当时，关于x的方程无解；‎ 当时，关于x的方程有3解；‎ 当时，关于x的方程有2解；‎ 故关于的二次方程的两根，代入得 代入得 故另一根，解得，选D 第Ⅱ卷非选择题（满分100分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎ 11. 12. 13. 14. 15.‎ ‎11. 【解析】由题意可知： ，，由两点式可得直线方程为 ‎12.【解析】由题意，解得 ‎13.【解析】这是一个折叠与展开的问题，将展开平铺后的正四棱锥放在正方 形的纸上，当正四棱锥的顶点和正方形的顶点重合（如图所示）时，纸的面 积最小。此时，设正方形的边长为a，由余弦定理 ‎，故 ‎14.【解析】连接OB，OC，因为DB，DC是⊙O的两条切线，故，，故，，∠A=‎ ‎15. 【解析】曲线即为圆，曲线即为直线y=x，由图可知 ‎，故 。。‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16.（本题满分12分） ‎ 解：（1）……3分 令 故的递增区间为……6分 ‎（2）由即，故……8分 ‎ ，解得，又由于……10分 所以， 故……12分 ‎17．（本题满分12分）解：‎ ‎（1）由茎叶图可知：甲班的成绩的中位数是113……3分 乙班的成绩分别是：107，109，109，113，114，118，120，122，127，128‎ ‎……6分 ‎（2）设事件A：“优秀成绩”中，被抽取的甲班学生成绩高于乙班 甲班的“优秀成绩”有4个：121，121，128，122 ‎ 乙班的“优秀成绩”有4个：120，122，127，128 …………8分 ‎ 按题意抽取后，比较成绩高低的情况列举如下 ‎121‎ ‎121‎ ‎128‎ ‎122‎ ‎120‎ ‎121>120甲高 ‎121>120甲高 ‎128>120甲高 ‎122>120甲高 ‎122‎ ‎121<122乙高 ‎121<122乙高 ‎128>122甲高 ‎122=122乙高 ‎127‎ ‎121<127乙高 ‎121<127乙高 ‎128>127甲高 ‎122<127乙高 ‎128‎ ‎121<128乙高 ‎121<128乙高 ‎128=128乙高 ‎122<128乙高 ‎……10分 由表格可知……12分 ‎18. （本题满分14分）‎ 解：由三视图知,该多面体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，侧面ABCD和侧面ABFE为边长为2的正方形……2分 ‎（1）正方形ABEF，‎ ‎∴连接BE，则BE与AF交于中点M，‎ ‎∴连接EC ，中，分别是中点 故中位线，…………………………………………………………4分 而面，面 ‎∴面 ……………………………………………………………6分 ‎(2) 为等腰直角三角形，且H为中点 ‎∴①‎ 该多面体是直三棱柱，故侧棱面，而面，‎ 故②‎ 综合①②,且面 ‎∴面，……………………………………………………………… 9分 而面 ‎∴ ……………………………………………………………………10分 由（1）可知，， ‎ ‎∴………………………………………………………………………… 11分 ‎（3）由（1）可知面,为高，且 ‎ ‎∴………………………………14‎ ‎19．（本题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切．‎ ‎∴ ……………2分 ‎∴……………………3分 又由，解得……………5分 椭圆方程 ……………6分 ‎（Ⅱ）证明：由椭圆方程得， ……………7分 设点坐标，则 ……………8分 ‎，……………10分 ‎……………12分 是定值 ……………14分 ‎ ‎20. （本题满分14分）‎ 解：（1）成等差数列 即…………………………3分 所以为等差数列，首项，公差，故 ‎………………………………………………………………………………5分 时，‎ 时，…………………………7分 经检验， 亦满足，故…………………………8分 ‎（2）的等比中项，‎ ‎…………………………10分 ‎…………………………12分 ‎14分 ‎21. （本题满分14分）‎ ‎（1） ，令， 定义域 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递减 极小值 递增 为极小值点，无极大值点。……………………3分 ‎（2）证明：‎ 令，则。‎ 令得……………………5分 当时，，为奇数时，；‎ ‎ 为偶数时，；‎ 当时，，‎ 时，，故<0，函数单调递减；‎ 而，，故>0，函数单调递增；‎ ‎∴在x＝0处取得最小值。‎ ‎∴，即（当且仅当x＝0时取等号）。………………………10‎ ‎（3），‎ 令，得，‎ ‎∴当时，；‎ 当时，；‎ 当时，。故的草图如图所示。‎ 方法1：下面考察直线与曲线的相交情况 ‎①若时，∵在上增 令∴（舍） （舍） ，又∴ 得 此时存在区间 ‎ ‎ ‎②若时，如图，图象极小值点为，过A作直线，‎ 与图象交于另一点B。如果存在满足条件的区间。‎ 则须 解得。令 解得 ‎ 由 得∴ 此时 ‎ 综上：存在的最小值，相应区间……………………………（14分）‎ 方法2：①在时，最小值∴‎ ‎②在时 最小值，，‎ ‎③在时 最小值＝‎ ‎∴，时取等号。‎ 综上讨论可知的最小值为，此时。………………………（14分）‎