2020年高中数学第三章空间向量与立体几何3

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2020年高中数学第三章空间向量与立体几何3

第1课时 空间向量与平行关系 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.若平面α,β的法向量分别为a=,b=(-1,2,6),则(  )‎ A.α∥β B.α与β相交但不垂直 C.α⊥β D.α∥β或α与β重合 解析:∵a=-b,∴a∥b,∴α∥β.‎ 答案:A ‎2.下列各组向量中不平行的是(  )‎ A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)‎ B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)‎ C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)‎ D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40)‎ 解析:A项中,b=-‎2a⇒a∥b;B项中,d=-‎3c⇒d∥c;C项中,零向量与任何向量都平行.只有D中两向量不平行.‎ 答案:D ‎3.已知直线l与平面 α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z等于(  )‎ A.3    B.‎6 ‎    C.-9    D.9‎ 解析:∵l⊥α,v与平面α平行,所以u⊥v,即u·v=0,‎ ‎∴1×3+3×2+z×1=0,‎ ‎∴z=-9,故选C.‎ 答案:C ‎4.若u=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是(  )‎ A.(0,-3,1) B.(2,0,1)‎ C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)‎ 解析:同一个平面的法向量平行,故选D.‎ 答案:D ‎5.如图所示,在正方体ABCDA1B‎1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A‎1M=AN=,则MN与平面BB‎1C1C的位置关系是(  )‎ 5‎ A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 解析:建立如图所示的空间直角坐标系如图,‎ ‎∵A‎1M=AN=,‎ ‎∴M(a,,),N(,,a),‎ ‎∴=(-,0,),∴MN∥平面BB‎1C1C.‎ 答案:B ‎6.已知直线l的方向向量为v=(1,-1,2),平面α的法向量为n=(2,4,1),且l⊄α,则l与α的位置关系是________.‎ 解析:因为v·n=2-4+2=0,所以v⊥n,又l⊄α ,所以l∥α.‎ 答案:l∥α ‎7.若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系是_______.‎ 解析:∵=λ+μ(λ,μ∈R),‎ ‎∴与,共面.‎ ‎∴AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE.‎ 答案: AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE ‎8.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是________.‎ 解析:∵l∥平面ABC,‎ ‎∴存在实数x,y,使a=x +y,=(1,0,-1),=(0,1,-1),‎ ‎∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)‎ ‎=(x,y,-x-y),‎ ‎∴∴m=-3.‎ 答案:-3‎ ‎9.如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,‎ ‎△ODE,△ODF都是正三角形.求证:直线BC∥EF.‎ 解析:过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,连接QE,由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,以Q为坐标原点,为x轴正向,为y 5‎ 轴正向,为z轴正向,建立如图所示空间直角坐标系.‎ 由条件知 E(,0,0),F(0,0,),‎ B,C.‎ 则有=,‎ =(-,0,).‎ 所以=2,即得BC∥EF.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.直线l的方向向量为a,平面α内两共点向量,,下列关系中能表示l∥α的是(  )‎ A.a= B.a=k C.a=p+λ D.以上均不能 解析:A,B,C均能表示l∥α或l⊂α.‎ 答案:D ‎2.若A,B,C是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=(  )‎ A.2∶3∶4 B.2∶3∶(-4)‎ C.(-2)∶3∶(-4) D.(-2)∶(-3)∶4‎ 解析:=,‎ =,由 得解得 则x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4).‎ 答案:B ‎3.设直线l1的方向向量为a=(1,-2,2),l2的方向向量为b=(2,3,2),则l1与l2的关系是________.‎ 解析:∵a·b=1×2-2×3+2×2=0,‎ ‎∴a⊥b,∴l1⊥l2.‎ 5‎ 答案:垂直 ‎4.如图,在长方体ABCDA1B‎1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点,点P在棱AA1上,且DP∥平面B1AE,则AP的长为______.‎ 解析:建立以AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴的空间直角坐标系,‎ 设|AB|=a,点P坐标为(0,0,b)‎ 则B1(a,0,1),D(0,1,0),E(,1,0)‎ 1=(a,0,1),=(,1,0)‎ =(0,-1,b),∵DP∥平面B1AE,‎ ‎∴存在实数λ,μ,设=λ+μ 即(0,-1,b)=λ(a,0,1)+μ(,1,0)‎ ‎=(λa+,μ,λ)‎ ‎∴∴b=λ=,即|AP|=.‎ 答案: ‎5.如图,在长方体OAEBO‎1A1E1B1中,OA=3,OB=4,‎ OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,‎ 且SB1=2BS,点Q,R分别是O1B1,AE的中点,求证:PQ∥RS.‎ 证明:如图所示,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0),‎ ‎∵AP=2PA1,‎ ‎∴=2=,‎ 即=(0,0,2)=(0,0,),‎ ‎∴P点坐标为.‎ 同理可得Q(0,2,2),R(3,2,0),S.‎ ‎∴=(-3,2,)=,∴∥,‎ 又∵R∉PQ,∴PQ∥RS.‎ ‎6.如图,四棱锥PABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和 5‎ ‎△PAD是两个边长为2的正三角形,DC=4,O为BD的中点,E为PA的中点.‎ 求证:OE∥平面PDC;‎ 解析:过O分别作AD,AB的平行线,以它们为x,y轴,以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由已知得:‎ A(-1,-1,0),B(-1,1,0),D(1,-1,0),F(1,1,0),C(1,3,0),P(0,0,),‎ E,‎ 则=,=(1,1,-),=(1,-1,-),‎ =(1,3,-).‎ ‎∴=-,‎ ‎∴OE∥PF.‎ ‎∵OE⊄平面PDC,PF⊂平面PDC,‎ ‎∴OE∥平面PDC.‎ 5‎
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