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文档介绍
2020年高中数学第三章空间向量与立体几何3
第1课时 空间向量与平行关系 [课时作业] [A组 基础巩固] 1.若平面α,β的法向量分别为a=,b=(-1,2,6),则( ) A.α∥β B.α与β相交但不垂直 C.α⊥β D.α∥β或α与β重合 解析:∵a=-b,∴a∥b,∴α∥β. 答案:A 2.下列各组向量中不平行的是( ) A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4) B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0) C.e=(2,3,0),f=(0,0,0) D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40) 解析:A项中,b=-2a⇒a∥b;B项中,d=-3c⇒d∥c;C项中,零向量与任何向量都平行.只有D中两向量不平行. 答案:D 3.已知直线l与平面 α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z等于( ) A.3 B.6 C.-9 D.9 解析:∵l⊥α,v与平面α平行,所以u⊥v,即u·v=0, ∴1×3+3×2+z×1=0, ∴z=-9,故选C. 答案:C 4.若u=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1) 解析:同一个平面的法向量平行,故选D. 答案:D 5.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) 5 A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 解析:建立如图所示的空间直角坐标系如图, ∵A1M=AN=, ∴M(a,,),N(,,a), ∴=(-,0,),∴MN∥平面BB1C1C. 答案:B 6.已知直线l的方向向量为v=(1,-1,2),平面α的法向量为n=(2,4,1),且l⊄α,则l与α的位置关系是________. 解析:因为v·n=2-4+2=0,所以v⊥n,又l⊄α ,所以l∥α. 答案:l∥α 7.若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系是_______. 解析:∵=λ+μ(λ,μ∈R), ∴与,共面. ∴AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE. 答案: AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE 8.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是________. 解析:∵l∥平面ABC, ∴存在实数x,y,使a=x +y,=(1,0,-1),=(0,1,-1), ∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1) =(x,y,-x-y), ∴∴m=-3. 答案:-3 9.如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC, △ODE,△ODF都是正三角形.求证:直线BC∥EF. 解析:过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,连接QE,由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,以Q为坐标原点,为x轴正向,为y 5 轴正向,为z轴正向,建立如图所示空间直角坐标系. 由条件知 E(,0,0),F(0,0,), B,C. 则有=, =(-,0,). 所以=2,即得BC∥EF. [B组 能力提升] 1.直线l的方向向量为a,平面α内两共点向量,,下列关系中能表示l∥α的是( ) A.a= B.a=k C.a=p+λ D.以上均不能 解析:A,B,C均能表示l∥α或l⊂α. 答案:D 2.若A,B,C是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=( ) A.2∶3∶4 B.2∶3∶(-4) C.(-2)∶3∶(-4) D.(-2)∶(-3)∶4 解析:=, =,由 得解得 则x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4). 答案:B 3.设直线l1的方向向量为a=(1,-2,2),l2的方向向量为b=(2,3,2),则l1与l2的关系是________. 解析:∵a·b=1×2-2×3+2×2=0, ∴a⊥b,∴l1⊥l2. 5 答案:垂直 4.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点,点P在棱AA1上,且DP∥平面B1AE,则AP的长为______. 解析:建立以AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴的空间直角坐标系, 设|AB|=a,点P坐标为(0,0,b) 则B1(a,0,1),D(0,1,0),E(,1,0) 1=(a,0,1),=(,1,0) =(0,-1,b),∵DP∥平面B1AE, ∴存在实数λ,μ,设=λ+μ 即(0,-1,b)=λ(a,0,1)+μ(,1,0) =(λa+,μ,λ) ∴∴b=λ=,即|AP|=. 答案: 5.如图,在长方体OAEBO1A1E1B1中,OA=3,OB=4, OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上, 且SB1=2BS,点Q,R分别是O1B1,AE的中点,求证:PQ∥RS. 证明:如图所示,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0), ∵AP=2PA1, ∴=2=, 即=(0,0,2)=(0,0,), ∴P点坐标为. 同理可得Q(0,2,2),R(3,2,0),S. ∴=(-3,2,)=,∴∥, 又∵R∉PQ,∴PQ∥RS. 6.如图,四棱锥PABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和 5 △PAD是两个边长为2的正三角形,DC=4,O为BD的中点,E为PA的中点. 求证:OE∥平面PDC; 解析:过O分别作AD,AB的平行线,以它们为x,y轴,以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得: A(-1,-1,0),B(-1,1,0),D(1,-1,0),F(1,1,0),C(1,3,0),P(0,0,), E, 则=,=(1,1,-),=(1,-1,-), =(1,3,-). ∴=-, ∴OE∥PF. ∵OE⊄平面PDC,PF⊂平面PDC, ∴OE∥平面PDC. 5查看更多