【推荐】专题03 导数（第01期）-2016-2017学年高三数学（文）期末优质试卷
www.ks5u.com
一．基础题组
1. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，5】函数在处取到极值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：,由得，故选B.
考点：导数与函数的极值.
2. 【广东佛山2017届高三教学质量检测（一），9】对任意的，曲线在点处的切线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C.相离 D．以上均有可能
【答案】A
考点：1、导数的几何意义；2、直线与圆的位置关系．
3. 【云南大理2017届高三上学期第一次统测，14】已知函数的图象过点，则曲线在点处的切线方程为___________．
【答案】
【解析】
试题分析：由可知，，所以，所以切线方程为，即.
考点：导数的几何意义．
4. 【广西柳州2017届高三上学期10月模拟，13】曲线在处的切线斜率等于 ．
【答案】1
5. 【广东2017届高三上学期阶段性测评，14】曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：∵，∴，∴切线方程为，即.
考点：导数几何意义
【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
6. 【天津六校2017届高三上学期期中联考，9】函数在极值点处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】
试题分析：，所以，切线方程为
考点：函数极值
【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略
(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
(2)已知函数求极值.求f′(x)―→求方程f′(x)＝0的根―→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.
(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
二．能力题组
1. 【广东湛江市2017届高三上学期期中，12】已知定义在上的可导函数满足，设,,则的大小关系是（ ）
A． B． C. D．的大小与的值有关
【答案】A
2. 【河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛，10】设函数，若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
考点：1.导数与函数的极值；2.函数与方程.
3. 【河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛，12】已知是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】
试题分析：构造函数，则，故函数在上单调递增，又因为，所以成立，当且仅当，因此不等式的解集为，故选B.
考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与不等式.
【名师点睛】本题考查.导数与函数的单调性、函数与不等式，属难题.导数在不等式中的应用是每年高考的必考内容，通常通过构造函数，利用导数讨论函数的单调性，求出最值或极值、特殊点的值，从而得到不等式，解出相应的参数值或求出不等式的解集.
4. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，10】函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
5.【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，12】已知关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：设，则为偶函数，函数有个零点等价于函数在区间有两个零点.当时，时，函数在区间上单调递增，最多只有一个零点，由偶函数性质可知，有两个两个零点，不符合题意；所以，当时，，，由得，由得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以函数，函数在区间上有两个零点等价于，解之得，故选A.
考点：1.函数与方程；2.函数的奇偶性；3.导数与函数的单调性、极值、最值.
【名师点睛】本题考查函数与方程、函数的奇偶性、导数与函数的单调性、极值、最值，属难题；高考对函数零点的考查多以选择题或填空题形式出现，根据函数零点或方程的根所在区间求参数的范围应分三步：1.判断函数的单调性；2.利用函数存在性定理，得到参数所满足的不等式；3.解不等式求参数范围.
6. 【广东佛山2017届高三教学质量检测（一），12】已知函数，（是常数），若在上单调递减，则下列结论中：
①； ②；③有最小值.
正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C.2 D．3
【答案】C
考点：1、导数的运算；2、简单的线性规划问题．
【方法点睛】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优解，或是无最优解．
7. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，10】函数的图像大致为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
考点：利用导数研究函数图像
【思路点睛】(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)常利用导数研究复杂函数性质，特别是单调性，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为减函数.
8. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，12】已知函数，且，则当时，的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
9. 【贵州遵义2017届高三上学期期中联考，12】设定义在的偶函数，满足对任意都有，且时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：偶函数满足，当时，，即在上为增函数，
，因为，所以，选C.
考点：函数性质综合应用
【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.
(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系
10. 【四川2016年普通高考适应性测试，10】设是不相等的两个正数，且，给出下列结论：
①；②；③.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C.②③ D．①②③
【答案】D
考点：利用导数证明不等式
【思路点睛】利用导数证明不等式解题策略
①证明f(x)
g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)>0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)>0，即证明了f(x)>g(x)。
11. 【山西运城2017届高三上学期期中，10】已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ ）
【答案】A
考点：函数导数与图象.
12. 【山西运城2017届高三上学期期中，12】已知函数（）与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：两个函数存在关于轴的对称点，即有实根，即有实根，即左右两个函数在有交点，结合两个函数的图象可知当时有交点，故的取值范围是.
考点：函数的图象与性质.
【思路点晴】本题主要考查函数图象换和零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法.首先将已知“两个函数图象存在关于轴的对称点”，转化为有实根来求解，化简后得到有实根.先画出函数的图象，当时，，所以函数中的最大值为，由此求得.
13.【山东潍坊2017届高三上学期期中联考，10】函数，若的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
个大于的整数解只能是，所以有，故选B.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的整数解及数形结合思想的应用.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式的整数解及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数的取值范围；（3）求不等式的解集．
14. 【天津六校2017届高三上学期期中联考，14】设，函数，若对任意的，存在都有成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
考点：不等式恒成立
【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
三、拔高题组
1. 【广东湛江市2017届高三上学期期中，21】（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）令，是否存在实数，当时，函数的最小值是3，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）递增区间是，递减区间是；（Ⅱ）存在符合题意.
考点：1.导数与函数的单调性；2.导数与函数的极值、最值；3.函数与不等式.
2. 【河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛，21】 （本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直.
注：为自然对数的底数.
（1）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，.
【答案】(1) ；(2)见解析.
【解析】
又函数在区间上存在极值，所以，所以.
故实数的取值范围是.………………5分
（2）当时，，即为.………………6分
令，则.
再令，则.
又因为，所以.
所以在上是增函数.………………7分
又因为，
所以当时，.
所以在区间上是增函数.
所以当时，，又，故.………………9分
令，则.
因为，所以.
所以当时，，故函数在区间上是减函数.
又，………………11分
所以当时，，
所以，即.………………12分
考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与不等式.
3. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，22】（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）设（），讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若斜率为的直线与曲线交于，两点，其中，求证：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，在区间内是增函数，当时，在内单调递增，在内单调递减．（Ⅲ）见解析.
（Ⅱ），（），………………………（4分）
当时，恒有，在区间内是增函数；………………………………（5分）
当时，令，即，解得，
令，即，解得，………………………………………………
（6分）
综上，当时，在区间内是增函数，当时，在内单调递增，在内单调递减．…………………………………………………………………………（7分）
（Ⅲ）证明：，要证明，
考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与方程、不等式.
4. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，21】设，函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若无零点，求实数的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
试题分析：(1)求函数的导数得，当时，，由点斜式写出切线方程即可；(2)当时，由可知函数有零点，不符合题意；当时，函数有唯一零点有唯一零点，不符合题意；当时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可.
试题解析： （1）区间上，，
当时，，则切线方程为，即．
（2）①若时，则，是区间上的增函数，
∵，，
∴，函数在区间有唯一零点；
②若，有唯一零点；
③若，令，得，
在区间上，，函数是增函数；
在区间上，，函数是减函数；
故在区间上，的极大值为，
由于无零点，须使，解得，
故所求实数的取值范围是．
考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值、最值；3.函数与方程.
5. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，21】（本小题满分12分）
设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若对于任意，都有，求的取值范围.
【答案】（1）在时单调递减，在单调递增；（2）.
当时，.
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减；
若，则当时，；当时，.
所以，在时单调递减，在单调递增.
综上，在时单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，对任意的 在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值.
所以对于任意的要条件是，
即，①
令，则在单调递增，在单调递减不妨设，因为，所以，
所以，综上，的取值范围为.
【考点】1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与不等式.
6. 【河北唐山2017届高三上期期末，20】（本小题满分12分）已知为实数，.
（1）若，求在上的最大值和最小值；
（2）若在和上都递减，求的取值范围.
【答案】（1）最大值为22，最小值为；（2）．
f¢(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x－3)(x＋1)，
当－2≤x＜－1时，f¢(x)＜0，f(x)单调递减；
当－1＜x≤2时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增，
又f(－2)＝2，f(－1)＝－5，f(2)＝22，
故f(x)在上的最大值为22，最小值为－5． …6分
（2）由题意得x∈(－∞，－2]∪． …12分
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数最值与导数的关系．
7. 【广东佛山2017届高三教学质量检测（一），21】（本小题满分12分）设函数，其中，是自然对数的底.
（1）若是上的单调函数，求的取值范围；
（2）若，证明：函数有两个极值点.
【答案】（1）；（2）见解析．
考点：1、函数极值与导数的关系；2、利用导数研究函数的单调性；3、函数零点．
【方法点晴】解答单调性与函数的导数的关系的思路是依据导函数值与单调性的关系建立不等式．导函数的值大于零等价于函数是增函数；导函数的值小于零等价于函数是减函数；反之，函数是增函数则导函数的值不小于零；函数是减函数则导函数的值不大于零．
8. 【广东汕头2017届高三上学期期末，21】（本小题满分12分）设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）讨论函数的零点个数.
【答案】（1）单调增区间为和，单调减区间为；（2）有唯一零点．
【解析】
试题分析：（1）首先求得导函数，然后分、、讨论函数的单调区间；（2）首先结合（1）
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的零点．
【方法点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．
9. 【山东枣庄2017届高三上学期期末，20】（本小题满分13分）设函数
.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，讨论函数与的图象的交点个数.
【答案】(1) 时，增区间是,无减区间；时，增区间是，减区间是；(2)1个．
(2)令，问题等价于求函数的零点个数．
①当时，有唯一零点；当时，.
②当时，,当且仅当时取等号，所以为减函数．注意到,所以在内有唯一零点；
③当时，当，或时，时，，所以在和上单调递减，在上单调递增．
注意到，
所以在内有唯一零点；
④当时，，或时，时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增．
注意到，
所以在内有唯一零点.
综上，有唯一零点，即函数与的图象有且仅有一个交点.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的零点．
【方法点睛】当在区间上是增函数时在上恒成立；同样，当函数在区间上为减函数时在)上恒成立，然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了．
10. 【天津六校2017届高三上学期期中联考，19】（本题14分）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求所有实数的值；
（3）证明：.
【答案】（1）递增区间为，递减区间为（2）（3）详见解析
11. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，21】（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）令，求函数的极值；
（3）若，正实数满足，证明：．
【答案】（1）（2）当时，函数无极值；当时，函数有极大值，无极小值（3）详见解析
【解析】
（2），
则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
当时，∵，∴．
∴在上是递增函数，函数无极值点．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
当时，，令得，
∴当时，；当时，，
因此在上是增函数，在上是减函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
考点：导数几何意义，利用导数求函数极值，利用导数证不等式
【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
12. 【贵州遵义2017届高三上学期期中联考，21】（本小题满分12分）
已知函数，其中且．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）当时，的增区间是，减区间是，
当时，的减区间是，增区间是（2）
（2）时，，由得：，
设，
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
所以当时，；当时，，
所以在上递增，在上递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
，所以的取值范围是．．．．．．．．．．．．．12分
考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值
【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
13. 【四川2016年普通高考适应性测试，21】（本小题满分14分）
设，函数，（为自然对数的底数），且函数的图象与函数的图象在处有公共的切线.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）证明：当时，在区间内恒成立.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析
考点：导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。
14. 【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考，21】（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由导数几何意义得切线斜率为，所以先求导数
，再代入得，最后利用点斜式求直线方程（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：，再利用导数研究函数最值：由于，所以当时，，即符合题意；当时，可解得，不符合题意
试题解析：（Ⅰ）当时，，，所以切点坐标为，
，所以，
故曲线在点处的切线方程为：，即：.
考点：导数几何意义，利用导数研究不等式恒成立
【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
15. 【广东2017届高三上学期阶段性测评，22】（本小题满分10分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当时，在上为增函数，
当时，在，上为增函数，
在上为减函数.（Ⅱ）
当时，为减函数，
当时，，，为减函数；
若，则，当时，为增函数，故成立；
若，则，由在上为减函数可知，当时，为减函数，
与题意不符，舍去.
综上，的取值范围是.
考点：利用导数研究函数单调性，利用导数研究不等式恒成立问题
【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
16. 【广西柳州2017届高三上学期10月模拟，21】已知函数（，，且）．
（1）若，，求函数的单调区间；
（2）若存在实数，（）满足，是否存在实数，，，使在处的切线斜率为0，若存在，求出一组实数，，，否则说明理由．
【答案】（Ⅰ）增区间是和，减区间是．（Ⅱ）不存在
而
∵且，所以，
故不存在实数，，满足条件．
考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究存在性问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。
17. 【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，21】（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若对任意及时，恒有成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
18. 【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，22】（本小题满分12分）
已知函数在处的切线斜率为.
（1）求实数的值；
（2）若时，有两个零点，求实数的取值范围.
（3）设，若对于，总有，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
试题分析：（1）根据导数几何意义得，所以求导数列出等量关系，求解得（2）利用导数研究函数单调变化趋势：在单调递减，在单调递增，再考虑端点值：
，所以要有两个零点，需（3）不等式恒成立问题，一般方法为转化为对应函数最值：，由前面讨论可知，所以在有解，即的最大值，先求，最大值，而=利用导数易得时取最大值，即
试题解析：（1）时，，
由条件知，∴.…………………………3分
（2）时，，∴，
在单调递减，在单调递增，，则，
∴时，有两个零点.……………………7分
考点：导数几何意义，利用导数研究函数零点，利用导数研究不等式恒成立
【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
19. 【山东潍坊2017届高三上学期期中联考，20】（本小题满分13分）
在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据已往经验，潜水员下潜的平均速度为（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为（升）.
（1）求关于的函数关系式；
（2）若，求当下潜速度取什么值时，总用氧量最少.
【答案】（1）；（2）时，总用氧量最少.
当时，在上递增，
∴此时时，总用氧量最少.
考点：1、阅读能力、建模能力及函数的解析式；2、解决实际问题的能力及利用导数求函数的最值.
【方法点睛】本题主要考查阅读能力、建模能力及函数的解析式、解决实际问题的能力及利用导数求函数的最值，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
构建函数模型时一定要考虑变量的实际意义，以确定函数解析式的定义域，以便准确解答.本题的解答关键是将实际问题转化为函数问题求最值.
20. 【山东潍坊2017届高三上学期期中联考，21】（本小题满分14分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若且，.
（i）求实数的最大值；
（ii）证明不等式：.
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.
（2）当时，设，
①若，即时，恒成立，
即在恒成立，∴在上单调递减又，
∴时，，，，
时，，，，符合题意.
②若，即时，的对称轴，
∴在上单调递增，
∴时，，
∴，
∴在上单调递增，
∴，
21. 【云南大理2017届高三上学期第一次统测，21】（本题满分12分）
已知函数．
（1）设，求的单调递增区间；
（2）证明：当时，；
（3）证明：时，存在，当时，恒有．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）求出的定义域和导数，解不等式即可得到其单调递增区间；（2）构造新函数，求导可知，所以在上单调递增，当时，，即可证得不等式恒成立；（3），求出导函数的零点，因此存在，当时，，故在上单调递增，从而当时，得证.
试题解析：（1）由题意知，．．．．．．．．．．1分
从而．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
令得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
所以函数的单调递增区间为．．．．．．．．．．．．．．．． 4分
，
即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：利用导数研究函数的单调性及极值和最值.
【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值和最值，考查了函数的思想和考生的发散思维能力，属于中档题.利用导数研究函数的单调性，首先求出函数的定义域，忽略定义域是最常见的错误；证明不等式通过构造新函数，研究新函数的单调性，求得其最值是最常用的思想方法，本题解答的难点是（3）中通过构造新函数并求得其极值点，从而判断的范围是解题的关键.
22. 【山西运城2017届高三上学期期中，20】已知函数，且．
（1）求的值；
（2）若对于任意，都有，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
（2）由，得，
因为，所以对于任意，都有．
设，则，
令，解得，
当变化时，与的变化情况如下表：
1
增
极大值
减
所以当时，，
因为对于任意，都有成立，所以，
所以的最小值为．
考点：函数导数与不等式。
23. 【山西运城2017届高三上学期期中，22】已知函数（）．
（1）若，求函数的极值；
（2）当时，判断函数在区间上零点的个数．
【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）当时，在上有且仅有一个零点，当时，在上有两个零点.
（1），
∵，∴
递减
极小值
递增
极大值
递减
所以的极小值为，
极大值为．
（2）由（1）得，
①当时，在上单调递增，在上递减．
又因为，，，
所以在上有两个零点；
②当时，，在上有两个零点；
③当时，，
在上单调递增，在上递减，
又因为，，，
所以在上有两个零点；
