【推荐】专题09 圆锥曲线（第02期）-2016-2017学年高三数学（理）期末优质试卷

【推荐】专题09 圆锥曲线（第02期）-2016-2017学年高三数学（理）期末优质试卷

www.ks5u.com ‎ 第九章 圆锥曲线 一．基础题组 ‎1. 【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，4】已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，故选D.‎ 考点：双曲线的方程.‎ ‎2. 【河北沧州一中校2017届高三11月月考，4】已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线左支上有一点到右焦点距离为18，为中点，为坐标原点，则等于（ ）‎ A． B．1 C. 2 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:由双曲线的定义可得,即,则；又的中点为,故由三角形的中位线定理可得,应选D.‎ 考点：双曲线的定义与几何性质的综合运用.‎ ‎3. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，5】已知焦点在轴上的双曲线的中点是原点，离心率等于 .以双曲线的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C 考点： 双曲线的标准方程与几何性质.‎ ‎4. 【河北武邑中学2017届高三上学四调，5】若抛物线上一点到它的焦点的距离为，为坐标原点，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：∵抛物线上一点到它的焦点的距离为，∴，∴，∴时，，∴的面积为，故选：B.‎ 考点：抛物线的简单性质.‎ ‎5. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，14】已知抛物线方程为，焦点为，是坐标原点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为，若的面积为，则的值为__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线的焦点为，准线为，设，则，又因为 ，，所以，所以，，代入得，解之得或，又当时，与轴正方向的夹角为，不符合题意，所以.‎ 考点：抛物线的标准方程及几何性质.‎ ‎6. 【河北沧州一中校2017届高三11月月考，13】椭圆的短轴长为，则= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由已知可得,由于,故由题设,解之可得,故应填答案.‎ 考点：椭圆的几何性质及运用．‎ 二．能力题组 ‎1. 【重庆八中2017届高三上学期二调，11】设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于，两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若（，），，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线的渐近线为：设焦点，则，，，因为，所以，所以，，解得：，，又由，得：，解得：，得，所以，故选：D．‎ 考点：双曲线的简单性质.‎ ‎2. 【福建厦门一中2017届上学期期中，8】已知分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【答案】D 考点：双曲线的简单性质.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义、余弦定理的运用，考查向量的数量积公式，综合性较强，是高考中的高频考点，属于中档题．设，则，利用双曲线的定义，可得，利用余弦定理可得，再利用数量积公式，即可求出双曲线 的离心率．‎ ‎3. 【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，11】已知双曲线（，），、是实轴顶点，是右焦点，是虚轴端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点（），使得△（）构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，，，则直线的方程为，∵在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以线段为斜边的直角三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故选：B．‎ 考点：双曲线的简单性质.‎ ‎4. 【河北沧州一中校2017届高三11月月考，11】双曲线的右焦点为，左顶点为，以为圆心，过点的圆交双曲线的一条渐近线于两点，若不小于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C 考点：双曲线与圆的位置关系及双曲线的几何性质的综合运用.‎ ‎【易错点晴】本题考查的是双曲线的几何意义及函数方程思想与数形结合的数学思想的综合运用问题。求解时要充分借助题设中的“弦长不小于双曲线的虚轴长”这一重要信息，然后运用圆中的弦、圆心距、半径之间的关系，求出弦，再依据上述信息建立不等式，即，通过解不等式求出.‎ ‎5. 【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，11】椭圆的一个焦点为，该椭圆上有一点，满足是等边三角形（为坐标原点），则椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：椭圆的几何性质．‎ ‎【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．‎ ‎6. 【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，16】已知为双曲线的右焦点，过原点的直线与双曲线交于两点，且的面积为，则该双曲线的离心率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以．设双曲线的左焦点为，则由双曲线的对称性知四边形为矩形，则有．由双曲线的定义知，－＝，所以．因为，所以＝．在中，，即＝，所以，把代入，并整理，得，所以＝．‎ 考点：双曲线的定义及几何性质．‎ ‎【技巧点睛】离心率的求解中可以不求出的具体值，而是得出与的关系，从而求得，一般步骤如下： ①根据已知条件得到的齐次方程；②同时除以，化简齐次方程，得到关于的一元二次方程；③求解的值；④根据双曲线离心率的取值范围取舍．‎ ‎7.【河北武邑中学2017届高三上学四调，16】已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，．若，且，则双曲线的离心率为＿＿＿＿．‎ ‎【答案】‎ 考点：双曲线的简单性质.‎ ‎8. 【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，10】已知椭圆：‎ 的左焦点为，点是椭圆上一点，点是的中点，是椭圆的中心，，则点到椭圆的左准线的距离为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设右焦点为,则由椭圆的定义,依据题设可得,即, ,所以,由椭圆的第二定义可得,故,应填答案.‎ 考点：椭圆的定义与几何性质的综合运用．‎ ‎【易错点晴】椭圆是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也是高中数学的重要内容和高考必考的重要考点.本题以椭圆的标准方程所满足的条件为背景,考查的是椭圆的第一第二定义及焦点三角形的中位线的性质等有关知识和方法技巧.解答时先用三角形的中位线定理及椭圆的第一定义求出焦半径,再运用椭圆的第二定义求出点到椭圆的左准线的距离为,从而使得问题巧妙获解.‎ ‎9. 【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，9】若双曲线（，）的离心率为3，其渐近线与圆相切，则 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：双曲线的几何性质及运用．‎ ‎10. 【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，16】设抛物线（为参数，）的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与 相交于点，若，且△的面积为，则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线（为参数，）的普通方程为：焦点为，如图，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点．，，，，的面积为，，可得．即：，解得．故答案为．‎ 考点：（1）参数方程化为普通方程；（2）抛物线的简单性质.‎ 三、拔高题组 ‎1. 【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，20】（本小题满分12分）椭圆的左、右焦点分别为，离心率，过作轴垂直的直线交椭圆于两点，的面积为3,抛物线以椭圆的右焦点为焦点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据条件，进而，得出，，；（Ⅱ）由，得到当时，，进而得到直线的方程为，此时直线过定点，检验依然成立.‎ 试题解析：（Ⅰ）设，则 令代入的方程有：‎ ‎∴‎ ‎∴，故，即 ‎∴抛物线的方称为：.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，则 直线的方称为，代入抛物线的方程有：‎ 当时，，‎ ‎∴直线的方程为：，即 ‎∴此时直线过定点，‎ 当时，直线的方称为：，此时仍过点，‎ 即证直线过定点.‎ 考点：抛物线方程；直线和抛物线的位置关系.‎ ‎【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎2. 【重庆八中2017届高三上学期二调，20】已知抛物线：过点，为抛物线的准线与轴的交点，若．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）在抛物线上任取一点，过点作两条直线分别与抛物线另外相交于点和点，连接，若直线，，的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为，，，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由得；（2）点，，，直线的方程为，联立抛物线，同理得，化简可得证.‎ 试题解析：（1）解：，，‎ ‎∵，代入解得：或（舍去），‎ 所以抛物线的方程为．‎ ‎（2）证明：设点，，‎ 因为点在抛物线上，所以，‎ 故直线的方程为，‎ 由得，‎ 此方程的两个根分别为，，，‎ ‎∴，，，‎ 同理可得．‎ ‎，化简得，故，‎ ‎∴．‎ 考点：（1）抛物线的方程；（2）直线的性质.‎ ‎3. 【福建厦门一中2017届上学期期中，21】（本题满分12分）已知椭圆右焦点是抛物线的焦点，是与在第一象限内的交点，且．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）已知菱形的顶点在椭圆上，顶点在直线上，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）设，由抛物线定义，，因为，所以，即．‎ 所以，由椭圆定义得：‎ ‎，‎ 所以，∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）因为直线的方程为，为菱形，所以，设直线的方程为，‎ 代入椭圆的方程为，得，‎ 由题意知，．‎ 设，则，‎ 所以中点坐标为，‎ 由为菱形可知，点在直线上，‎ 所以．‎ ‎∴直线的方程为，即．‎ 考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与圆锥曲线的综合问题.‎ ‎【方法点晴】本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了“设而不求，整体代换”的解题思想方法，训练了特值验证法，考查了学生灵活处理问题的能力和计算能力，是高考试卷中的压轴题．在圆锥曲线与直线的位置关系中，联立直线的方程与椭圆的方程构成方程组结合韦达定理属于最常见的题型，在该题中，同时也考查了菱形的性质.‎ ‎4. 【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，20】平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．‎ ‎（i）求证：点在定直线上；‎ ‎（ii）直线与轴交于点，记△的面积为，△的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）（i）证明见解析，（ii）的最大值为，此时点的坐标为．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的，，的关系，解得，，‎ 进而得到椭圆的方程；（2）（i）设，运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点的坐标，求得的方程，再令，可得．进而得到定直线；（ii）由直线的方程为，令，可得，运用三角形的面积公式，可得，，化简整理，再，整理可得的二次方程，进而得到最大值及此时的坐标．‎ 试题解析：（1）由题意知，可得，‎ 因为抛物线的焦点为，所以，，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）（i）设（），由可得，‎ 所以直线的斜率为，‎ 因此直线的方程为，即，‎ 设，，，联立方程 得，‎ 由，得且，‎ 因此，‎ 将其代入，得，‎ 因为，所以直线方程为，‎ 联立方程得点的纵坐标为，‎ 即点在定直线上．‎ ‎（ii）由（i）知直线方程为，令，得，∴，‎ 又，，，‎ 所以，‎ ‎，所以，‎ 令，则，则，‎ 当，即时，取得最大值，此时，满足，‎ 所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为．‎ 考点：椭圆的简单性质.‎ ‎5. 【河北沧州一中校2017届高三11月月考，17】（本小题满分12分）已知抛物线的焦点，抛物线上一点点横坐标为2，.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过且倾斜角为的直线交抛物线于两点，为坐标原点，求的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)借助题设条件运用抛物线的定义求解；(2)借助题设运用直线与抛物线的位置关系探求.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由抛物线定义可知，，，‎ 抛物线方程为.‎ ‎（2），直线方程为，‎ 由得，设，，则，‎ 所以，‎ 又到直线距离，.‎ 考点：直线的方程抛物线等有关知识的综合运用．‎ ‎6. 【河北沧州一中校2017届高三11月月考，21】（本小题满分12分）定圆，动圆过点且与圆相切，记圆心的轨迹为.‎ ‎（1）求轨迹的方程；‎ ‎（2）设直线与交于两点，点关于轴的对称点为（与不重合），则直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)是，定点为，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（2）由消去得：，‎ 设，，则，则，，‎ 经过点，的直线方程为，‎ 令，则 又，，故当时，‎ ‎，‎ 即直线与轴交于定点.‎ 考点：椭圆的定义标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．‎ ‎【易错点晴】本题考查的是运用椭圆的定义求方程的问题和直线与椭圆的位置关系的处置问题.解答本题的第一问时如果不按圆锥曲线的定义求解,其解答过程会较为繁冗,而且还容易出错,因此在解答这类问题时首先要充分理解题意,寻求最为简捷的解答路径,以便达到化繁为简、避难前进的求解之目的.本题的第二问则借助直线与椭圆的位置关系分析探究,从而推证出直线与轴交于定点,从而巧妙地使问题获解.‎ ‎7. 【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，19】已知椭圆：的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设为椭圆的左焦点，为左准线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，，当最小时，求点的坐标．‎ ‎【答案】(1)；(2)或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)借助题设条件运用椭圆的几何性质建立方程组求解；(2)依据题设运用直线与椭圆的位置关系进行探求.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意解得,所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设，，，因为，故直线的方程为．‎ 由整理得，所以 ‎，，所以，‎ 令（），则，可以证明当时，为减函数，当时，为增函数；所以当时，最小，所以当最小时，，即或，此时点的坐标为或．‎ 考点：椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．‎ ‎【易错点晴】本题是一道考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念建立方程组,求得椭圆的标准方程为；第二问的求解过程中,先设直线的方程为,再借助直线与椭圆的位置关系建立关于的函数关系进行探求,从而使得问题获解.‎ ‎8. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，20】（本小题满分12分）‎ 已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于两点，且为的中点，求面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)由可得，由在椭圆上可得，又解方程组求出的值即可；（2）由题意可得的斜率不为零，当垂直轴时，的面积为，当当不垂直轴时，设直线的方程为：，从而可写出直线的方程为：，联立方程组由根与系数关系得，求出弦长及点到的距离等于点到的距离，从而求出三角形面积表达式，，可得，由二次函数知识可求其面积.‎ 试题解析： （Ⅰ）因为椭圆的右焦点，…………1分 在椭圆上，，…………2分 由得，所以椭圆的方程为.…………4分 ‎（Ⅱ）由题意可得的斜率不为零，当垂直轴时，的面积为，…………5分 当不垂直轴时，设直线的方程为：，则直线的方程为：，由消去得，所以，…………7分 则，………………8分 又圆心到的距离得，…………9分 又，所以点到的距离等于点到的距离，设为，即，………………10分 所以面积 ‎，…………11分 令，则，‎ 综上，面积的取值范围为.…………12分 考点： 1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.‎ ‎9. 【河北武邑中学2017届高三上学四调，21】(本小题满分12分)已知椭圆的离心率,以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线相切．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程；‎ ‎(Ⅱ)对于直线和点,是否椭圆上存在不同的两点与关于直线对称,且,若存在实数的值,若不存在,说明理由．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)存在，.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：(Ⅰ)由椭圆的离心率得，得………………1分 上顶点为，右焦点为，‎ 以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为，‎ 所以，，，，………………3分 椭圆的标准方程为………………4分 ‎(Ⅱ)由题意设，，直线方程为：.‎ 联立消整理可得：，………………5分 由，解得………………6分 ‎，，‎ 设直线之中点为，则，………………7分 由点在直线上得：，‎ 又点在直线上，，所以……①………………9分 又，，‎ 解得：或……②………………11分 综合①②，的值为.………………12分 考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合.‎ ‎10. 【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，20】（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）以曲线上的点为切点作曲线的切线，设分别与轴交于两点，且恰与以定点为圆心的圆相切，当圆的面积最小时，求与面积的比.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用抛物线的定义求解；（2）首先根据条件设出直线的方程，然后联立抛物线方程，求得点的坐标，再利用点到直线的距离公式结合基本不等式求得距离的最小值，从而求得两个三角形面积的比．‎ 试题解析：（1）由题意得，‎ 点到直线的距离等于它到定点的距离，…………2分 点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，‎ 点的轨迹的方程为 …………………4分 ‎（2）解法一：由题意知切线的斜率必然存在，设为，则 ．‎ 由 ，得，即 由，得到． ‎ ‎∴，……………………6分 解法二：由，当时，，‎ 以为切点的切线的斜率为 以为切点的切线为 即，整理………………6分 令则，‎ 令则，………………7分 点到切线的距离(当且仅当时，取等号)．‎ ‎∴ 当时，满足题意的圆的面积最小．………………9分 ‎∴，．‎ ‎，．……………11分 ‎∴．‎ ‎△与△面积之比为． ………………12分 考点：1、抛物线的方程及几何性质；2、直线与抛物线的位置关系；3、点到直线的距离公式；4、基本不等式．‎ ‎【方法点睛】设而不求就是指在解题过程中根据需要设出变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的关系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到一种“化难为易、化繁为简”的效果．此法在圆锥曲线问题解答中常与韦达定理联用．‎ ‎ ‎