2015年高考试题——数学理（安徽卷）解析版

2015年高考试题——数学理（安徽卷）解析版

本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 3 至第 4 页.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意事项： 1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴 的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和 座位号后两位. 2． 答第 I 卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3． 答第 II 卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须 在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 参考公式： 如果事件 A 与 B 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   .[来源:学,科,网] 标准差 2 2 2 12 1[( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn       ，其中 12 1 ()nx x x xn    . 第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 个小题；每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是 符合题目要求的. （1）设 i 是虚数单位，则复数 2 1 i i 在复平面内所对应的点位于（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【答案】B 【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分 母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数 z a bi 在复平面内一一对应的点为 ( , )Z a b . （2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A） y cos x （B） y sin x （C） y ln x （D） 2 1yx （3）设 :1 2, : 2 1xp x q   ，则 p 是 q 成立的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件[来源:Z。xx。k.Com] （4）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 2yx 的是（ ） （A） 2 2 14 yx  （B） 2 2 14 x y （C） 2 2 14 y x （D） 2 2 14 xy  （5）已知 m ， n 是两条不同直线， ，  是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A）若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行 （B）若 ， 平行于同一平面，则 与 平行 （C）若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线 （D）若 ， 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面 （6）若样本数据 1x ， 2x ，， 10x 的标准差为8 ，则数据 121x  ， 221x  ， ， 1021x  的标准 差为（ ） （A）8 （B）15 （C）16 （D）32 （7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A）13 （B） 23 （C）1 2 2 （D） 22 （8） C 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a ，b 满足 2a  ， C2ab   ，则下列结论正确 的是（ ） （A） 1b  （B） ab （C） 1ab （D） 4Cab   （9）函数    2 ax bfx xc   的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） （A） 0a  ， 0b  ， 0c  （B） 0a  ， ， 0c  （C） 0a  ， ， （D） 0a  ， 0b  ， （10）已知函数    sinf x x   （  ， ， 均为正的常数）的最小正周期为 ，当 2 3x  时，函数  fx取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A）      2 2 0f f f   （B）      0 2 2f f f   （C）      2 0 2f f f   （D）      2 0 2f f f   第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）[来源:学科网] 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. （11） 371()x x 的展开式中 5x 的系数是 .（用数字填写答案） （12）在极坐标中，圆 8sin 上的点到直线 ()3 R距离的最大值是 . 【答案】6 【解析】由题意 2 sin   ，转化为普通方程为 228x y y，即 22( 4) 16xy   ；直线 （13）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的 n 为 . （14）已知数列{}na 是递增的等比数列， 1 4 2 39, 8a a a a   ，则数列 的前 n 项和等于 . （15）设 3 0x ax b   ，其中 ,ab均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的 是 .（写出所有正确条件的编号） ① 3, 3ab    ；② 3, 2ab   ；③ 3, 2ab   ；④ 0, 2ab；⑤ 1, 2ab. 与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理. 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的 指定区域内. （16）（本小题满分 12 分） 在 ABC 中， 3 , 6, 3 24A AB AC   ,点 D 在 BC 边上， AD BD ，求 AD 的长. 用数形结合的思想，找准需要研究的三角形，利用正弦、余弦定理进行解题. （17）（本小题满分 12 分） 已知 2件次品和 3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放 回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求 X 的分布列和均值（数学期望）. （18）（本小题满分 12 分） 设 *nN ， nx 是曲线 22 1nyx在点(1 2)， 处的切线与 x 轴交点的横坐标. （Ⅰ）求数列{}nx 的通项公式； （Ⅱ）记 2 2 2 1 3 2 1nnT x x x  ，证明 1 4nT n . （19）（本小题满分 13 分） 如图所示，在多面体 1 1 1A B D DCBA，四边形 11AA B B ， 11,ADD A ABCD 均为正方形， E 为 11BD 的 中 点，过 1,,A D E 的平面交 1CD 于 F. （Ⅰ）证明： 1//EF B C ；[来源:Zxxk.Com] （Ⅱ）求二面角 11E A D B余弦值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 6 3 . 【解析】 (20)（本小题满分 13 分） 设椭圆 E 的方程为   22 2210xy abab    ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 0a， ，点 B 的坐标为  0 b， ，点 M 在线段 AB 上，满足 2BM MA ，直线 OM 的斜率为 5 10 . （I）求 E 的离心率 e； （II）设点 C 的坐标为 0 b， ，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 7 2 ，求 E 的方程. 【答案】（I） 25 5 ；（II） 22 145 9 xy. 【解析】 试题分析：（I）由题设条件，可得点 M 的坐标为 21( , )33ab，利用 5 10OMk  ，从而 5 2 10 b a  ，进而得 225 , 2a b c a b b    ，算出 25 5 ce a .（II）由题设条件和（I）的计算结果知，直线 AB 的方程 为 1 5 xy bb ，得出点 N 的坐标为 51( , )22bb ，设点 关于直线 的对称点 S 的坐标为 1 7( , )2x ，则 [来源:学,科,网 Z,X,X,K] （21）（本小题满分 13 分） 设函数 2()f x x ax b   . （Ⅰ）讨论函数 (sin )fx在( , )22  内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （Ⅱ）记 2 0 0 0()f x x a x b   ，求函数 0(sin ) (sin )f x f x 在[]22  , 上的最大值 D； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取 000ab，求 2 4 azb 满足 D1 时的最大值.