2018届高三数学一轮复习： 第5章 第3节 课时分层训练30

2018届高三数学一轮复习： 第5章 第3节 课时分层训练30

课时分层训练(三十)‎ 等比数列及其前n项和 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)‎ ‎ 【导学号：01772184】‎ A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 D　[由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.]‎ ‎2．(2016·重庆巴蜀中学3月模拟)我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？‎ ‎(　　)‎ ‎ 【导学号：01772185】‎ A．5　　　　　　　　　 B.4‎ C．3 D.2‎ C　[设塔顶有x盏灯，则由题意知＝381，解得x＝3.故选C.]‎ ‎3．(2016·广东肇庆三模)在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于(　　)‎ A．－3 B.－1‎ C．1 D.3‎ D　[两式相减得a4－a3＝‎2a3，从而求得＝3，即q＝3.]‎ ‎4．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)‎ A．21 B.42‎ C．63 D.84‎ B　[∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.‎ ‎∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．‎ ‎∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.]‎ ‎5．(2017·合肥二次质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，a3·a5＝4，则下列说法正确的是(　　)‎ A．{an}是单调递减数列 B．{Sn}是单调递减数列 C．{a2n}是单调递减数列 D．{S2n}是单调递减数列 C　[设等比数列{an}的公比为q，则a3·a5＝a2q·a2q3＝4，又因为a2＝12，所以q4＝，则q2＝，所以数列{a2n}是首项为12，公比为的等比数列，则数列{a2n}为单调递减数列，故选C.]‎ 二、填空题 ‎6．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝__________. ‎ ‎【导学号：01772186】‎ ‎1　[∵a，b，c成等比数列，∴b2＝a·c＝(5＋2)(5－2)＝1.又b>0，∴b＝1.]‎ ‎7．(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.‎ ‎1　121　[∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，‎ ‎∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，‎ ‎∴数列是公比为3的等比数列，‎ ‎∴＝3.‎ 又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，‎ ‎∴S5＋＝×34＝×34＝，‎ ‎∴S5＝121.]‎ ‎8．(2017·深圳二次调研)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝__________尺．‎ ‎2n－＋1　[依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n天大老鼠打洞的距离共为＝2n－1.同理可得前n天小老鼠打洞的距离共为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.]‎ 三、解答题 ‎9．数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2，bn＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝4.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎[解]　(1)由bn＋1＝2bn＋2，得bn＋1＋2＝2(bn＋2)，2分 ‎∴＝2, 又b1＋2＝a2－a1＋2＝4，‎ ‎∴数列{bn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．‎ ‎∴bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，∴bn＝2n＋1－2.5分 ‎(2)由(1)知，an－an－1＝bn－1＝2n－2(n≥2)，‎ ‎∴an－1－an－2＝2n－1－2(n>2)，‎ ‎…，a2－a1＝22－2，‎ ‎∴an－2＝(22＋23＋…＋2n)－2(n－1)，9分 ‎∴an＝(2＋22＋23＋…＋2n)－2n＋2＝－2n＋2＝2n＋1－2n.‎ ‎∴Sn＝－＝2n＋2－(n2＋n＋4).12分 ‎10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列{an}是等比数列；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)证明：依题意Sn＝4an－3(n∈N*)，‎ n＝1时，a1＝‎4a1－3，解得a1＝1.2分 因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，‎ 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，‎ 整理得an＝an－1.‎ 又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列.5分 ‎(2)由(1)知an＝n－1，‎ 由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，‎ 得bn＋1－bn＝n－1.7分 可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)‎ ‎＝2＋ ‎＝3·n－1－1(n≥2).10分 当n＝1时也满足，‎ 所以数列{bn}的通项公式为bn＝3·n－1－1(n∈N*).12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2016·安徽安庆二模)数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于(　　) ‎ ‎【导学号：01772187】‎ A．1　　　　　　　　　　 B.－1‎ C. D.2‎ D　[由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.]‎ ‎2．(2016·广东肇庆三模)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＋a5＝__________.‎ ‎34　[由Sn＋a1＝2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝‎2a1，a3＝‎2a2＝‎4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋‎4a1＝2(‎2a1＋1)，解得a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n，所以a1＋a5＝2＋25＝34.]‎ ‎3．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．‎ ‎(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎[解]　(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，‎ ‎∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2).2分 ‎∵a1＝5，a2＝5，‎ ‎∴a2＋2a1＝15，‎ ‎∴an＋2an－1≠0(n≥2)，‎ ‎∴＝3(n≥2)，‎ ‎∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列.6分 ‎(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，‎ 则an＋1＝－2an＋5×3n，8分 ‎∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．‎ 又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，‎ ‎∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列.10分 ‎∴an－3n＝2×(－2)n－1，‎ 即an＝2×(－2)n－1＋3n.12分