专题01 集合与常用逻辑用语-备战2018年高考数学（理）之纠错笔记系列

专题01 集合与常用逻辑用语-备战2018年高考数学（理）之纠错笔记系列

专题01 集合与常用逻辑用语 易错点1 忽略集合中元素的互异性 设集合，若，则实数的值为 A． B．‎ C． D．或或 ‎【错解】由得或，解得或或，所以选D.‎ ‎【参考答案】B 集合中元素的特性：‎ ‎（1）确定性. 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合；‎ ‎（2）互异性. 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素 ‎（3）无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系 ‎1．已知集合，若，则的值为________．‎ ‎【解析】由题意得或，则或.‎ 当时，且，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；‎ 当时，，而，故.‎ ‎【答案】‎ 易错点2 误解集合间的关系致错 已知集合，则下列关于集合A与B的关系正确的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【错解】因为，所以，所以，故选B.‎ ‎【参考答案】D ‎（1）元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一.判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.‎ ‎（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或）；如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.‎ ‎2．已知集合，则下列关于集合A与B的关系正确的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A 易错点3 忽视空集易漏解 已知集合，，若，则实数m的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【错解】∵，∴，∴.‎ 由知，∴，则.‎ ‎∴m的取值范围是.‎ ‎【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合A，都有，所以错解中忽略了时的情况.‎ ‎【参考答案】C ‎（1）对于任意集合A，有，，所以如果，就要考虑集合可能是；如果，就要考虑集合可能是.‎ ‎（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即，.‎ ‎3．若，若，则实数m的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【解析】当时，，∴m>2；‎ 当时，由题意，得，解得.‎ ‎∴m≥−1，即所求m的取值范围是.‎ ‎【答案】D 易错点4 A是B的充分条件与A的充分条件是B的区别 ‎ 设,则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【错解】选A.‎ ‎【参考答案】B ‎（1）“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B，即B⇒A且AB；‎ ‎（2）“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A，即A⇒B且.‎ ‎4．已知，，若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解析】由基本不等式得，，由，又因为的一个充分不必要条件是，则，故选A.‎ ‎【答案】A 易错点5 命题的否定与否命题的区别 命题“且”的否定形式是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【错解】错解1：“”的否定为“”，“且”的否定为“ 且”，故选C.‎ ‎【参考答案】D ‎1．命题的否定与否命题 ‎“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．‎ ‎2．命题的否定 ‎（1）对“若p，则q”形式命题的否定；‎ ‎（2）对含有逻辑联结词命题的否定；‎ ‎（3）对全称命题和特称命题的否定．‎ ‎（4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．‎ ‎5．已知，则¬p是¬q A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】A 将命题的否定形式错误地认为：，∴x2＋4x−5<0导致错误．‎ 一、集合 ‎1．元素与集合的关系：.‎ ‎2．集合中元素的特征：‎ ‎（1）确定性：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.‎ ‎（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.‎ ‎（3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系.‎ ‎3．常用数集及其记法：‎ 集合 非负整数集(自然数集)‎ 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 ‎4．集合间的基本关系 ‎ 表示 关系 自然语言 符号语言 图示 基 本基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 ‎（或 ‎）‎ 真子集 ‎（或 ‎）‎ 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 学*‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎（1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．‎ ‎（2）子集关系的传递性，即.‎ ‎（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.‎ ‎5．集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 ‎ ‎ 并集 ‎ ‎ 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ‎ ‎ ‎（1）集合运算的相关结论 交集 并集 补集 ‎（2）‎ 二、命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎1．四种命题 命题 表述形式 原命题 若p，则q 逆命题 若q，则p 否命题 若，则 逆否命题 若，则 ‎2．四种命题间的关系 ‎（1）常见的否定词语 正面词语 ‎=‎ ‎>(<)‎ 是 都是 任意(所有)的 任两个 至多有1(n)个 至少有1个 否定词 ‎()‎ 不是 不都是 某个 某两个 至少有2(n+1)个 ‎1个也没有 ‎（2）四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件与必要条件的概念 ‎(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；‎ ‎(2)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(3)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(4) 若p⇔q，则p是q的充要条件； ‎ ‎(5) 若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.‎ ‎(1)等价转化法判断充分条件、必要条件 ‎①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；‎ ‎②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；‎ ‎③p是q的充要条件是的充要条件；‎ ‎④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.‎ ‎④若，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎⑤若，则p是q的充要条件；‎ ‎⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件.‎ 三、逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎2．复合命题的真假判断 ‎“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：‎ p q 真 真 假 假 真 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 ‎3．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 ‎4．含有一个量词的命题的否定 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：‎ 命题 命题的否定 含有逻辑联结词的命题的真假判断：‎ ‎（1）中一假则假，全真才真．‎ ‎（2）中一真则真，全假才假．‎ ‎（3）p与真假性相反．‎ 注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念.‎ ‎1．[2017新课标Ⅱ卷理]设集合，．若，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎2．[2017新课标Ⅲ卷理]已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为 A．3 B．2‎ C．1 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆 与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.‎ ‎【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.‎ ‎3．[2016浙江卷理]命题“，使得”的否定形式是 A．，使得 B．，使得 ‎ C．，使得 D．，使得 ‎【答案】D ‎【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．‎ ‎4．[2017北京卷理]设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：‎ ‎（1）根据定义，若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若，那么就是既不充分也不必要条件.‎ ‎（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知,若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.‎ ‎（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断.‎ ‎5．[2017天津卷理]设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，但时，不满足，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A．‎ ‎【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分而不必要条件，若是的真子集，则是的必要而不充分条件．‎ ‎6．已知集合，则实数a的值为 A．−1 B．0 ‎ C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，1+a=0，∴a=−1，本题选择A选项.‎ ‎7．已知集合，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．设命题p:,则为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】命题p:，则为.故选C.‎ ‎9．“若，则，都有成立”的逆否命题是 A．，有成立，则 ‎ B．，有成立，则 C．，有成立，则 ‎ D．，有成立，则 ‎【答案】D ‎【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若，则，都有 成立”的逆否命题是“，有成立，则”.本题选择D选项.‎ ‎10．已知集合，集合，则集合 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎11．已知集合A={x|1<‎2‎x≤16}‎，B={x|x4‎ B．a≥4‎ ‎ C．a≥0‎ D．‎a>0‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知：A={x|04‎.本题选择A选项.‎ ‎12．“”是“函数在区间无零点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若函数在区间无零点，则 ‎，故选A.‎ ‎13．设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是 A． B． ‎ C． D．且 ‎【答案】C ‎【解析】因为时表示两向量的方向相反，所以不是充分条件；当时，也不能推出，故也不充分；‎ 当时，能够推出，故是充分条件；‎ 而且则是成立的既不充分也不必要条件，‎ 应选C.‎ ‎14．已知命题:对任意,总有是的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎15．已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】命题p：，为，又为真命题的充分不必要条件为，故 ‎16．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是 A．为真命题 B．为真命题 C．为真命题 D．为真命题 ‎【答案】A ‎【解析】命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题是“第一次射击没击中目标”，命题是“第二次射击没击中目标”，命题 “两次射击中至少有一次没有击中目标”是，故选A.‎ ‎17．已知集合，集合，若，则实数=________．‎ ‎【答案】1‎ ‎(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.‎ ‎18．若命题“”是假命题，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为命题“”是假命题，所以为真命题，即，故答案为.‎ ‎19．已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】条件p:log2(1−x)<0，∴0<1−x<1，解得0a，‎ 若p是q的充分不必要条件，∴.‎ 则实数a的取值范围是：(−∞,0].‎ 故答案为：(−∞,0].‎ ‎20．设，集合，若，则_________.‎ ‎【答案】1或2‎ ‎21．设有两个命题，:关于的不等式（,且）的解集是；:函数的定义域为.如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易知p:0

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