2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

‎2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）.‎ ‎1.是虚数单位，计算的结果为（ ）‎ A． B． C．1 D．-1‎ ‎2.极坐标方程所表示的图形是 （ ）‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 ‎3.用数学归纳证明：时，从到时，左边应添加的式子是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 随机变量服从正态分布，若，则的值（ ）‎ A． 0.6 B．0.4 C. 0.3 D．0.2‎ ‎5. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为（ ）‎ A． 100 B．200 C. 300 D．400‎ ‎6.通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：‎ 做不到“光盘”‎ 能做到“光盘”‎ 男 ‎45‎ ‎10‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ ‎ 则有（ ）以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’与性别有关”，附表及公式 ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ A． 90% B．95% C. 99% D．99.9%‎ ‎7. 若，则的值为（ ）‎ A． 2 B． 0 C. -1 D．-2‎ ‎8. 已知函数，若是从1，2，3中任取的一个数，是从0，1，2中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排，若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（ ）‎ A． 60 B． 72 C. 84 D．96‎ ‎10.重庆一中为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的赛，两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时队的得分高于队的得分的概率为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）‎ A． 16种 B． 12种 C. 9种 D．6种 ‎12. 已知函数，对任意，都存在，使得，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置 ‎13. 的展开式中的常数项是 ．‎ ‎14.甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为三个层次），得的同学直接进入第二轮考试.从评委处得知，三外同学中只有一人获得.三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得或；‎ 乙说：我肯定得；丙说：今天我的确没有发挥说，我赞同甲的预测.‎ 事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得的同学是 ．‎ ‎15.袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取1个球，取2次，则事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率为 ．‎ ‎16.已知椭圆为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，（为极角）‎ ‎（1）分别写出曲线的普通方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）已知为曲线的上顶点，为曲线上任意一点，求的最大值.‎ ‎18.某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制）的茎叶图如下：‎ ‎（1）写出该样本的中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；‎ ‎（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记表示测试成绩在80分以上的人数，求的分布列和数学期望.‎ ‎19. 如图，已知直角梯形所在平面垂直于平面，.‎ ‎（1）点是直线中点，证明平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎20.一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：‎ 温度 ‎21‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎29‎ ‎32‎ 产卵数/个 ‎6‎ ‎11‎ ‎20‎ ‎27‎ ‎57‎ ‎77‎ ‎（1）若用线性回归模型，求关于的回归方程（精确到0.1）；‎ ‎（2）若用非线性回归模型求关的回归方程为，且相关指数 ‎①试与（1）中的线性回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好.‎ ‎②用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.‎ 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为；相关指数.‎ ‎21.在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，定点，点为的中点，动点满足.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线交轨迹于两点，为上任意一点，直线交于两点，以为直径的圆是否过轴上的定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由.‎ ‎22.已知函数，曲线在原点处的切线为.‎ ‎（1）证明：曲线与轴正半轴有交点；‎ ‎（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方；‎ ‎（3）若关于的方程（为正实数）有不等实根，求证：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BDCCB 6-10: ACDCA 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 60 14. 甲 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）；‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，‎ 当或时，最大为.‎ ‎18.（1）中位数为76，测试成绩在70分以上的约为2000人；‎ ‎（2）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的分别列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴.‎ ‎19.（1）证明：取的中点，连结，则，取的中点，连结，∵且，∴是正三角形，∴.‎ ‎∴四边形为矩形，∴，‎ 又∵，∴且，四边形是平行四边形，‎ ‎∴，而平面平面，∴平面；‎ ‎（2）∵，平面平面 ‎∴以点为原点，直线所在直线为轴，直线所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内内（如图）.设，由已知，得.‎ ‎∴，设平面的法向量为，则，‎ ‎∴，取，得平面的一个法向量为，又∵平面的一个法向量为.‎ ‎.‎ ‎20.解：（1）由题意得，，所以，‎ ‎∴，∴关于的线性回归方程为；‎ ‎（2）①由所给数据求得的线性回归方程为，，相关指数为 ‎.因为，‎ 所以回归方程比线性回归方程拟合效果更好.‎ ‎②由①得当温度时，，‎ 即当温度时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个.‎ ‎21.解析：（1）由已知得，又轴，则，结合抛物线的定义得轨迹的方程为；‎ ‎（2）假设以为直径的圆过轴上的定点设，则，‎ 直线的方程为，令得，‎ 即，同理可得，‎ 由已知得恒成立即，‎ 即，‎ 设直线的方程为，代入抛物线方程得，‎ 所以，于是，整理得：‎ ‎，解得或，‎ 故以为直径的圆过轴上的定点和.‎ ‎22.证明（1）因为，由已知得：，解得，‎ 即，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以，存在，‎ 使得，即曲线与轴正半轴有交点；‎ ‎（2）曲线在点处的切线，令，则，又，‎ 当时，单调递增，当时，单调递减，所以对任意实数都有，即对任意实数都有，‎ 故曲线上的点都不在直线的上方；‎ ‎（3）因为，所以为减函数，设方程的根为，由（2）可知，‎ 所以，‎ 记，则，当时，单调递增，当时，，单调递减，所以，对任意的实数，都有，即，‎ 设方程的根，则，所以，‎ 于是，令，又，则，所以在上为增函数，又，所以，，所以.‎