数学文卷·2017届河南省南阳市第一中学高三上学期第五次周考（12

数学文卷·2017届河南省南阳市第一中学高三上学期第五次周考（12

‎ ‎ 数学（文）试题（12.24）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数（是虚数单位）的虚部是（ ）‎ A．-1 B． C．1 D．2‎ ‎2.已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知向量，，，则“”是“”的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.设是等比数列的前项和，，则的值为（ ）‎ A．-2或-1 B．1或2 C.或-1 D．或2‎ ‎5.设，，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知曲线的一条切线与平行，则切点的横坐标我、为（ ）‎ A．3 B．2 C.1 D．‎ ‎7.函数的部分图象如图所示，若，且，则（ ）‎ A．1 B． C. D．‎ ‎8.下列命题中真命题是（ ）‎ A．命题“存在，”的否定是：“不存在，”. ‎ B．线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点 ‎ C.存在，使. ‎ D．函数的零点在区间内.‎ ‎9.设，其中实数满足，若的最大值为12，则的最小值为（ ）‎ A．-3 B．-6 C.3 D．6‎ ‎10.已知是双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．2‎ ‎11.在中，分别为内角所对的边，，且满足，若点是外一点，，，平面四边形面积的最大值是（ ）‎ A． B． C.3 D．‎ ‎12.若定义在上的函数满足，，且当时，其图象是四分之一圆（如图所示），则函数在区间上的零点个数为（ ）‎ A．5 B．4 C.3 D．2‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.如下图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数，则输出的 大于49的概率为 ．‎ ‎14.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如下图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的侧面积为 ．‎ ‎15.已知直角梯形，，，，沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积 ．‎ ‎16.等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，角为锐角，已知内角所对的边分别为，向量，且向量共线.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）如果，且，求的值.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 若数列的前项和满足，等差数列满足，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和为.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 在某大学联盟的自主招生考试中，报考文史专业的考生参加了人文基础学科考试科目“语文”和“数学”的考试.某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，本次考试中成绩在内的记为，其中“语文”科目成绩在内的考生有10人.‎ ‎（Ⅰ）求该考场考生数学科目成绩为的人数；‎ ‎（Ⅱ）已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩均为，在至少一科成绩为的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩均为的概率.‎ 20. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱中，，，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆，抛物线的焦点在轴上，的中心和的顶点均为原点 ‎，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是，，，.‎ ‎（1）求的标准方程；‎ ‎（2）是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交于不同的两点且满足，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若函数的图象在处的切线斜率为1，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；‎ ‎（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.-98‎ 三、解答题 ‎17.（1）由向量共线有：，‎ 即，‎ ‎，.‎ ‎18.（1）当时，，，‎ 当时，，即，‎ 数列是以为首项，3为公比的等比数列，，‎ 设的公差为，‎ ‎，‎ ‎，，.‎ ‎（2），‎ ‎①‎ ‎②‎ 由①-②得，，‎ ‎.‎ ‎19.解：（1）该考场的考生人数为人.‎ 数学科目成绩为的人数为 人.‎ ‎（2）语文和数学成绩为的各有3人，其中有两人的两科成绩均为，所以还有两名同学只有一科成绩为，‎ 设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙的两科成绩均为，则在至少一科成绩为的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件为，共6个，‎ 设“随机抽取两人，这两人的两科成绩均为”为事件，则事件包含的事件有1个，则.‎ ‎20.解：（Ⅰ）连接交于，‎ ‎，，，‎ ‎，又为的中点，为中点，为中点，‎ ‎，；‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以，‎ 在中，，，，，，‎ ‎，.‎ ‎21.解：（Ⅰ）设抛物线，则有，‎ 据此验证4个点知，在抛物线上，易求，‎ 设，把点，代入得：‎ 解得.方程为.‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，‎ 直线的方程为，直线交抛物线于，，‎ 不满足题意，‎ 当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为，，‎ 由消去并整理得，‎ 于是，，①‎ ‎，‎ 即，②‎ 由，即，得.‎ 将①、②代入式，得，解得，‎ 所以存在直线满足条件，且的方程为：或.‎ ‎22.试题解析：（1），‎ 由已知，解得.‎ ‎（2）函数的定义域为，，‎ 当变化时，，的变化情况如下：‎ 由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是.‎ ‎（3）由得，‎ 由已知函数为上的单调减函数，‎ 则在上恒成立，即在上恒成立，‎ 即在上恒成立.‎ 令，在上，‎ 所以在上为减函数，，所以.‎ 考点：利用导数研究函数的极值；函数的单调区间；函数恒成立问题；简单复合函数的导数.‎ ‎ ‎