数学理卷·2018届四川省内江市高三第一次模拟考试（2017

数学理卷·2018届四川省内江市高三第一次模拟考试（2017

保密 ★ 启用前 【考试时间：2017年12月26日15:00—17:00】‎ 四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试题 数 学（理工类）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页. 全卷满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎2.设为虚数单位，，若是纯虚数，则 A.2 B. C. 1 D. ‎ ‎3.下列各组向量中，可以作为基底的是 A.， B.， ‎ C.， D.，‎ ‎4.下列说法中正确的是 A. 先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是分层抽样法 B. 线性回归直线不一定过样本中心点 C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1‎ ‎ D. 设随机变量服从正态分布，则 ‎5.执行如图所示的程序框图，若输入的为2，则输出的值是 A. 2 B. 1 C. D.‎ ‎6.若函数在上单调递减，则的值可能是 A. B. C. D.‎ ‎7.已知是锐角，若，则 A. B. C． 　 D．‎ ‎8.设是等比数列，则下列结论中正确的是 ‎ A. 若，则 B. 若，则 ‎ C. 若，则 D. 若，则 ‎ ‎9.函数的图象大致是 ‎10.已知实数满足，则当时，的最大值是 A. 5 B. 2 C. D. ‎ ‎11.当时，不等式恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D.‎ 12. 设，函数，，，…，，曲线的最低点为，的面积为，则 A. 是常数列 B. 不是单调数列 ‎ C. 是递增数列 D. 是递减数列 ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.的展开式中，的系数是 .（用数字作答）‎ ‎14.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 .‎ ‎15.设函数，则满足的的取值范围是 .‎ ‎16.已知菱形的边长为2，，是线段上一点，则的最小值是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分12分）设数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎18.（本小题满分12分）的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，点在边上，，求的长.‎ ‎19.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.‎ 表1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 ‎[95,100)‎ ‎[100,105)‎ ‎[105,110)‎ ‎[110,115)‎ ‎[115,120)‎ ‎[120,125]‎ 频数 ‎1‎ ‎4‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎5‎ ‎1‎ 图1：乙套设备的样本的频率分布直方图 ‎（Ⅰ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；‎ 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计 ‎（Ⅱ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；‎ ‎（Ⅲ）将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为，求的期望.‎ 附：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为：.‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）设，求函数在上的最大值.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数，其中是自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）设为整数，函数有两个零点，求的最小值.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22．（本题满分10分）[选修4-4：极坐标与参数方程]‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线上一点的极坐标为，其中. 射线与曲线 交于不同于极点的点，求的值.‎ ‎23．（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数的最小值为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设实数满足，证明：.‎ 四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试题 数学（理工类）参考答案及评分意见 一．选择题（每小题5分，共12题，共60分）‎ ‎1.B 2. C 3. B 4. D 5. A 6. C 7. D 8. D 9. B 10. C 11.A 12. D 二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分）‎ ‎13. 14. 乙 15. 16. ‎ 三．解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17.解：（Ⅰ）∵数列满足 ‎∴当时，..............................2分 ‎∴当时，，即........................................4分 当时，满足上式 ‎∴数列的通项公式..............................................6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，...................................7分 ‎∴‎ ‎...............................9分 ‎.........................................................12分 ‎18.解：（Ⅰ）∵‎ ‎∴由正弦定理知，‎ ‎...................................1分 ‎∵‎ ‎∴，于是，即..............................3分 ‎∵‎ ‎∴..................................................................5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，‎ ‎∴....................................................................7分 ‎∴.........................................9分 ‎∵在中，‎ ‎∴...........................................................11分 ‎∴..............................................12分 ‎19.解：（Ⅰ）根据表1和图1得到列联表 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 ‎48‎ ‎43‎ ‎91‎ 不合格品 ‎2‎ ‎7‎ ‎9‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎...........................................................................3分 将列联表中的数据代入公式计算得 ‎...............5分 ‎∵‎ ‎∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关................6分 ‎（Ⅱ）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为 ‎，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备..................9分 ‎（Ⅲ）由题知，................................................11分 ‎∴......................................................12分 ‎20. 解：（Ⅰ）由切线方程知，当时，‎ ‎∴....................................................1分 ‎∵....................................................2分 ‎∴由切线方程知，.......................................3分 ‎∴..........................................................4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.......................5分 ‎∴，.........................................6分 当时，当时，，故单调递减 ‎∴在上的最大值为.........................................7分 ‎②当时 ‎∵，‎ ‎∴存在，使 当时，，故单调递减 当时，，故单调递增 ‎∴在上的最大值为或....................................9分 又，‎ ‎∴当时，在上的最大值为 当时，在上的最大值为......................10分 ƒ当时，当时，，故单调递增 ‎∴在上的最大值为..................................11分 综上所述，当时，在上的最大值为 当时，在上的最大值为.........................12分 ‎21. 解：（Ⅰ）证明：设，则 令，得 当时，，单调递减 当时，，单调递增 ‎∴，当且仅当时取等号 ‎∴ 对任意，..................................................2分 ‎∴当时，‎ ‎∴当时，‎ ‎∴当时，..............................................4分 ‎（Ⅱ）函数的定义域为 当时，由（Ⅰ）知，，故无零点.......6分 当时，，‎ ‎∵，，且为上的增函数 ‎∴有唯一的零点 当时，，单调递减 ‎ 当时，，单调递增 ‎∴的最小值为.......................................8分 由为的零点知，，于是 ‎∴的最小值 由知，，即.................................10分 又，‎ ‎∴在上有一个零点，在上有一个零点 ‎∴有两个零点.........................................................11分 综上所述，的最小值为1..................................................12分 ‎(另法：由的最小值（其中）得，整数大于等于1，再用零点存在定理说明当时有两零点.)‎ ‎22.解：（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为 曲线的普通方程为，极坐标方程为..............4分 ‎（Ⅱ）∵点在直线上，且点的极坐标为 ‎∴‎ ‎∵ ∴‎ ‎∴射线的极坐标方程为 联立，解得 ‎∴.....................................................10分 ‎23.解：（Ⅰ）∵‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减 ‎∴的最小值为.................................................5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴.............................................................10分 ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎